1、2017 届湖南郴州市高三上学期质监（二）数学（理）试题一、选择题1设集合 ，集合 ，则 （ ）|2Ax2|30BxABA B (,)(3,)(1,C D2)【答案】C【解析】试题分析： ，所以2|30(,1)(3,)xUAB，选 C.(,2(3,)【考点】集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合2求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解3在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数
2、轴表示时要注意端点值的取舍2设复数 满足 （其中 为虚数单位） ，则 的模为（ ）z(12)iiizA1 B C D35【答案】A【解析】试题分析： ，选 A.225(12)|111iiziizz【考点】复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概()()(),(.)abicdabdciabdR念，如复数 的实部为 、虚部为 、模为 、对应点为 、,iR2ab(,)ab共轭为 .3下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ）(0,)A B cosyx|1yxC D|22lo
3、g【答案】B【解析】试题分析： 是偶函数，但在区间 上有增有减；csyx(0,)是偶函数且在区间 上单调递减； 是偶函数且在区间|1yx(0,)|2xy上单调递增； 在区间 上单调递减但无奇偶性，选 B.(0,)12logyx,【考点】函数性质4已知某三角函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）A B sin()4yx3sin(2)4yxC. Dcoco【答案】C【解析】试题分析： ,31,214TAT所以3 3sin() ()2()4 4kZkZ所以它的解析式可能是 ，选 C.3sin(2)cos()4yxx【考点】三角函数解析式【方法点睛】已知函数 的图象求解析式si()(A0,)
4、yAxB(1) .maxinmaxin,22yAB(2)由函数的周期 求T,.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 .5某程序框图如图所示，若 ， ， ， ， .则该3n01a23,a2x程序运行后输出的值为（ ）A1 B0 C.-1 D2【答案】A【解析】试题分析：第一次循环： ；第二次循环：3,vai；第三次循环： ；第四次循环：231,vi120,i；结束循环，输出0v【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程
5、图研究的数学问题，是求和还是求项.6在等差数列 中， ， .设 ，则数列 的前 100 项na4571a()nnbagnb之和 为（ ）10SA-200 B-100 C.200 D100【答案】D【解析】试题分析： ，所以7442,()23nadadn，因此数列 的前 100 项之和 为 ，21(1)3,nnnbbnb10S250选 D.【考点】等差数列通项，分组求和【方法点睛】分组转化法求和的常见类型(1)若 anb ncn，且b n，c n为等差或等比数列，可采用分组求和法求a n的前 n项和；(2)通项公式为 anError!的数列，其中数列b n，c n是等比数列或等差数列，可采用分组
6、求和法求和.7已知一正方体截去两个三棱锥后，所得几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A.8 B.7 C. D.2323【答案】B【解析】试题分析：截去的两个三棱锥的高为 2，底分别为腰为 1 的等腰直角三角形以及直角边为 1 和 2 的直角三角形，所以几何体的体积为，选 B.32173【考点】三视图【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几
7、何体的直观图，然后根据条件求解.8已知约束条件 表示面积为 1 的直角三角形区域，则实数 的值为（ 40xky k）A.0 B.1 C.1 或 3 D.3【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个等腰直角三角形，面积为，选 B.1(2)()1,(2)1kk【考点】线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.9如下图， 中的阴影部分是由曲线 与直线 所围成，向ABC2yx20y内随机投
8、掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D.732932716916【答案】D【解析】试题分析：阴影部分面积为 ，所求23221 9()()12xxd概率为 选 D.92164【考点】定积分，几何概型概率【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.2.利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数.当图形的边界不同时，要分不同情况讨论.10已知椭圆 的左焦点 关于直线 的对称点21(0)x
9、yab(,0)Fc0bxcy在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）MA. B. C. D.243423【答案】C【解析】试题分析：设右焦点为 ，则 ,因此可设FM，从而由 得,Fbtctat2aFc，选 C.222cabcbcet【考点】椭圆定义及离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11已知 是单位圆 上的两点（ 为圆心） ， ，点 是线段 上,ABO120AOBCAB不与 重合的
10、动点. 是圆 的一条直径，则 的取值范围是（ ）AB、 MNOCMNurgA. B. C. D.3,0)41,)1,)21,0)【答案】A【解析】试题分析：,而22()()()()1CNOCNOCOCurrururrururggg,所以 的取值范围是 ，选 A.1|,2ABdMr3,04【考点】向量数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ab|a|b|cos ；二是坐标公式 abx 1x2y 1y2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.12若函数 在区间 上，对
11、， ， ， 为一个三角()fAabcA， ， ()fafb()fc形的三边长，则称函数 为“三角形函数”.已知函数 在区间()fx lnxm上是“三角形函数” ，则实数 的取值范围为（ ）21,emA. B. C. D.(,)2(,)e1(,)e2(,)e【答案】D【解析】试题分析：由题意得 ，而 ，minax2()()fxf1()ln0fxe所以 ，因此min ax1()(),fxfffee，选 D.22()【考点】利用导数求函数最值二、填空题13已知 ，则使 成立的 值是_.21,0()xf()1faa【答案】-4 或 2【解析】试题分析：由题意得200421(1)2aaa或 或【考点】分
12、段函数求值14已知 展开式的二项式系数之和为 64，则其展开式中常数项是1(2)nx_.【答案】60【解析】试题分析：由题意得，由 得3666211264,(2)(2)1rnrrrrrTCxCx0r，其展开式中常数项是r464(0【考点】二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数.15已知 ，则 _.1sin()3sin(2)【答案】79【解析】试题分析： ，1sin(
13、)sin327sin(2)coi9【考点】二倍角公式16设 ， 分别为等差数列 ， 的前 项和，且 .设点()STnnabn()3245SnT是直线 外一点，点 是直线 上一点，且 ，则实ABCPBC143aAPBACbururg数 的值为_.【答案】325【解析】试题分析： ，因此可设12()361614588nnaaSnTbb，因此 ，于是(61),(8)nnakbk1435k2831525【考点】等差数列性质，向量性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行
14、适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.三、解答题17设集合 ，集合2|1,03Ayxx.已知命题 ，命题 ，且命题2|(1)()Bxm:pxA:qxB是命题 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.pqm【答案】 ,4【解析】试题分析：求一元二次函数 值域得集合21,03yxx，根据因式分解的集合 ，再根据命题 是|0Ay|Bmp命题 的必要不充分条件，得两集合包含关系 ，最后结合数轴列不等关系qA，确定实数 的取值范围.104mm试题解析：解：由已知得 ， |04Ay. |1Bx 是 的必要不充分条件，pq .A则有 104m ，故 的取
15、值范围为 1,4【考点】充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法.1.定义法：直接判断“若 p 则 q”、 “若 q 则 p”的真假.并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则 p 是 q 的充分条件.2.等价法：利用 pq 与非 q非 p，q p 与非 p非 q，p q 与非 q非 p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.3.集合法：若 AB，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 AB，则 A 是 B 的充要条件.18已知函数 .2 2()3cosincos3infxxx（I）求函数 的最小正周期及单调递增区间；（II）求函数 在区间 的最大值
16、及所对应的 值.()fx0,2x【答案】 （I） （II）最大值为 ，所对应的 值为 051,()2kkZ3x【解析】试题分析：（I）先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数： ()3cosinfxx2si()3x，再根据正弦函数性质求最小正周期T及单调递增区间：由2()kkZ解得51()122kZ（II）根据0,确定正弦函数定义区间2,3x，再根据正弦函数对应函数图像确定最值：当23x时，取最大值试题解析：解：（I）由已知得 ()cos2infx.2sin()3x函数 的最小正周期 . fT由 ， 22()3kxkZ得 ，51()1函数 的单调增区间为 . ()fx51,()2kkZ
17、（II）当 ，则 ， 0,2,3x . sin(),13x故函数 的最大值为f3有23x得 ，故函数 去最大值是对应的0x()fx0x【考点】二倍角公式，三角函数性质【思路点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑” 。(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦” 、 “升幂与降幂”等。(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换” 、 “逆用变用公式” 、 “通分约分” 、 “分解与组合” 、 “配方与平方”等。19已知数列 的首项 ，且 .
18、na1*14()2nnaN（I）证明：数列 是等比数列.2n（II）设 ，求数列 的前 项和 .nbanbnS【答案】 （I）详见解析（II）2nnS【解析】试题分析：（I）证明数列为等比数列，一般方法为定义法，即确定相邻两项的比值为非零常数：利用 代入化简142nna，再说明不为零即可（II）由（I）先根121()4nn nna据等比数列通项公式求 ，即得 ，代入11()2nnA12na，可得 ，因此其前 项和应用错位相减法求2nbanb试题解析：解（I）证明： 11()2nna又 ， ，11所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. 12na12（II）解：由（I）知， ，1()nnA即
19、 . 12na .nnb于是 ，231nnS，2312nn由-得， ，2111()122nnn nS即 ，12nnn数列 的前 项和 .nb2nnS【考点】等比数列定义及通项，错位相减法求和20在 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边， 为 的面积，ABCabcABCSABC且 .223()4S（I）求角 的大小；（II）若 ， ， 为 的中点，且 ，求 的值.7abcDBC3ADsinC【答案】 （I） （II）23A21sin4【解析】试题分析：（I）解三角形问题，一般根据条件利用正余弦定理及面积公式，本题条件结构符号余弦定理，因此代入对应公式得 ，解3sin(2bcosA)24bcA
20、得 ， （II） 为 的中点，这一条件，利用向量比较方便：tan3A2DBC，再根据余弦定2 2cos4312BCbAbc理得 ，解得 ， ，最后根据正2 2cos88bAbc4b2c弦定理可得3in1si 427Ca试题解析：解：（I）由已知得 ， 22sin()bcAabc .22sin3bcaA即 .ios .tan3又 ， ，(0,)A2（II）由 得：coscosDBAC，又 为 的中点，2222ADBC， ，7BC3 ，即 .2020bc又 ，81os3bc .又 ， ， ，42c .sin1i7cACa【考点】正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据
21、正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.21已知函数 ， ，其中 且 ， .()logafx()2log(2)axxt0a1tR（I）若 ，且 时， 的最小值是2,求实数 的值；4t1,)Ff（II）若 ，且 时，有 恒成立，求实数 的取值范围.01a,24x()fxgt【答案】 （I） （II）5,)【解析】试题分析：（I）根据对数运算法则得，因此当 时， 的最小值是24(1)(
22、)2log()loglaaaxFxx1a()Fx2，等价于 最小值为 ；当 时， 的241()()hx20()最小值是2，等价于 最大值为 ；再根据对勾函数21()4()x2a可得 ， ，因此有 或 ，解min()(1)6hxmax()()5h2162015得 （II）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题：5a max()log2l(2)2(2)aafxxxtxttx，求二次函数最值可得实数 的取值范围t试题解析：解：（I） ，424(1)()()2log()loglaaaxFxgfxx， 1lo4a易证 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，()2)hx1,41,21()
23、24h ， ，min()()6max()()5h当 时， ，由 ，解得 （舍去）1ain()log1aFxl62a14a当 时， ，由 ，解得 . 0min()l25aloga5综上知实数 的值是 . a1（II） 恒成立，即 恒成立，()fxglog2l(2)aaxt . 1logl(2)2aaxt又 ， ， ，01,42xt恒成立，2tx .max()令 ，21712()(,2)484yxx . max故实数 的取值范围为 .t2,)【考点】复合函数最值，不等式恒成立【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问
24、题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina即可；f(x)a 恒成立，只需 f(x)maxa 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.22已知函数 ，其中 .21()()lnfxax0a（I）讨论函数 的单调性；（II）若 ，证明：对任意 ，总有 .1a12,(,)x12)x12|()|fxfa【答案】 （I）详见解析（II）详见解析【解析】试题分析：（I）先求函数导数 ，再()()()xfxa求导函数零点 或 ，根据两个零点大小分三种情况讨论：若 ，1xa 0
25、1a在 ， 上单调递增，在 上单调递减.若 时，则 在()f0,(,)1(,)a()fx上单调递增.若 时，则 在 ， 上单调递增，在 上(,)1a()fx0,(,)1,a单调递减.（II）同（1）可得：当 时， 在 上单调递增，因此将所证f1不等式变量分离得 ，构造函数2211()()fxafxa12x（ ），只需利用导数证明函数单调递减21()ln()1hxfaxx试题解析：解：（I） ， ， (0,)1()1()axfax令 ，得 或()0fx1ax若 ，则 时， ；(,)()0f时， ；1(,)xa0fx时， ，()故函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减()fx0,1,a1(,)a若 时，则 在 上单调递增a()f,)若 时，则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减1()fx0,a(1,)1(,)a（II）由（I）可知，当 时， 在 上单调递增，不妨设 ，fx, 12x则有 ， ，于是要证 ，即证12()fxf21ax12|()|ffxa，2即证 ， 2112()()fxafxa令 ，2()ln()1hf x ， 1()()ax ， ，2a10x 在 上单调递减，即有 .()hx,)12()hx故 .12|ffa【考点】利用导数研究函数单调性，利用导数证明不等式
