2017年湖南师大附中高三（上）月考（三）数学（理）试题（解析版）.doc

1、2017 届湖南师大附中高三（上）月考（三）数学（理）试题一、选择题1已知集合 ， ，则 （ ）2|log1Ax|2,0xByABA B |xC D|x|【答案】C【解析】试题分析：因 ,则 ,1|,20|xBxA 21|xBA故应选 C.【考点】不等式的解法与集合的运算.2将直线 绕原点逆时针旋转 ，再向右平移 1 个单位，所得到的直线为（ 3yx9）A B 113yxC D3yx【答案】A【解析】试题分析：因直线 绕原点逆时针旋转 后,其斜率 ,故直线3yx9031k方程为 ,再向右平移 个单位可得 ,故应选 A.xy31113yx【考点】直线的点斜式方程及直线的位置关系的运用.3已知命题

2、 ： ， ；命题 ： ， ，则下列p(,0)2xq(0,)2sinx命题为真命题的是（ ）A B q()qC D()pp【答案】C【解析】试题分析：因命题 是假命题,故 是真命题,而命题 是真命题,故是真命pq题,所以应选 C.【考点】命题的真假与判定.4某工厂生产某种产品的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨标准煤）有如下几组xy样本数据： x3 4 5 6y2.5 3 4 4.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为 0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）A B 0.72.5yx0.71yxC D0.735yx0.745yx【答案】C【解析

3、】试题分析：因 ,经检验直线2745.3.2,96y经过点 ,故应选 C.0.735yx)279(【考点】回归方程及运用.5已知 ，则 的值为（ ）sin()2cos()A B C D475245【答案】B【解析】试题分析：因 ,故 ,则3sin()3coscos(2),故应选 B.25791co21cos【考点】诱导公式及余弦二倍角公式的运用.6等比数列 中， ， ，则数列 的前 8 项和等于（ ）na45algnaA6 B5 C4 D3【答案】C【解析】试题分析：因 ,故1063728154 ,故应选 C.4lg)lg(lg821 aaa【考点】等比数列通项的性质及运用.7已知 ，则 的最

4、小值为（ ）01A B C D24527【答案】D【解析】试题分析：因 ,故应选 D.81a 2714218)( a【考点】基本不等式的灵活运用.8已知 与 为单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的范围为（ abbc|b|c）A 1,2B C ,D 32【答案】B【解析】试题分析：因 ,故 ,设 ,则将ab0 bacr,|两边平方并整理可得 ,即 ,解之|2cab 02os2r rr2|2得 ,故应选 B.r【考点】向量的数量积公式及二次不等式的解法.9已知两定点 和 ，动点 在直线 上移动，椭圆(1,0)A(,)B(,)Pxy:3lyx以 ， 为焦点且经过点 ，则椭圆 的离心率的最大值为（ ）

5、CCA B C D525210【答案】A【解析】试题分析：设 关于直线 的对称点为 ,则(1,0)A:3lyx)(/nmA,解之得 ,即 ,因 是定值,故当 最小时椭圆的231mn23n)2(/ 1ca离心率 最大.由于 （当且仅当ae 5420/ BAPBPAa共线时取等号）,即 ,则 ,故应选 A.BPA/ 551ae【考点】椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系及运用.【易错点晴】本题是一道考查直线与椭圆的位置关系及最值等问题的综合性问题.解答时先建立方程组 求 关于直线 的对称点为 ,然213mn(,0)A:3lyx)(/nmA后通过运用转化化归的数学思想将问题转化为求“当 最小时椭圆的离心

6、率 最aae1大”的问题然后借助 （当且仅当5420/ BAPBPAa共线时取等号）求出 ,使得问题获解.BPA,/ 510已知偶函数 对于任意的 满足 （其()yfx0)2x()cos()in0fxfx中 是函数 的导函数） ，则下列不等式中成立的是（ ）()fxA 2()34fB (fC (0)2()4ffD 36【答案】D【解析】试题分析：令 ,因 ,故由题设xfFcos)(xffF2/ cosin)()(可得 ,即函数 在 上单调递增且是偶函数.又因0)(/xFf)()2,0,故 ,即 ,所以346)3(4)6(F21)3(426(fff,故应选 D.()()ff【考点】导数在研究函数

7、的单调性方面的运用.【易错点晴】本题将导数的知识和函数的单调性及不等式的解法等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将巧妙地构造函数 ,再运用求导法则求得xfFcos)(,故由题设可得 ,即函数 在xffxF2/ cosin)()( 0)(/xFxfFcos)(上单调递增且是偶函数.再运用检验的方法逐一验证四个答案的真伪,从而使得)20问题获解.11定义 ，已知实数 ， 满足 ， ，设()max,abxy|2|y，则 的取值范围是（ ）4,3zyzA B C D7,106,106,87,8【答案】A【解析】试题分析：画出不等式组表

8、示的区域如图,当 时,即yx34时,则 ,结合图形可知当动直线 过点 时, xy21yxz4 zy)2(取最大值 ；当动直线 过点 时, z4102max1取最小值 .当 时,即 时,yx 7)(inz y34x2则 ,结合图形可知当动直线 过点 时, 取最大值z3zxy3)2(z；当动直线 过点 时, 取最小值82maxz1yx,故 的取值范围是 ,应选 A.71)2(4minzz107C(2,-2)B(-2,1)A(2,2)y=-12xO-2-2 22yx【考点】不等式组表示的区域及线性规划的知识及运用.【易错点晴】本题考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的综合问题,解答时先构建平面直

9、角坐标系,再分类画出满足题设条件的不等式组 ， 表示的平|2x|y面区域,然后再依据题设条件将目标函数变为 和 ,进而结合图形yz4z3根据其经过定点的情形分别求出其最大值和最小值,最终求其公共部分确定出 的取值z范围是 ,从而使得问题获解.10712将圆的一组 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次n记录 （ ）个点的颜色，称为该圆的一个“ 阶色序” ，当且仅当两个 阶色序kkk对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的 阶色序若某国的任意两个“阶色序”均不相同，则称该圆为“ 阶魅力圆” “3 阶魅力圆”中最多可有的等分点k个数为（ ）A4 B6 C8 D10【答案】

10、C【解析】试题分析：因“ 阶色序”中每个点的颜色有两种选择,故“ 阶色序”共有3 3种,一方面, 个点可以构成 个“ 阶色序”,故“ 阶魅力圆”中的等2nn3分点的个数不多于 个；另一方面,若 ,则必须包含全部共 个“ 阶色序”,不88妨从 开始按逆时针确定其它各点颜色,显然 符),(红红红 ),(蓝红蓝蓝蓝红红红合条件.故“ 阶魅力圆”中最多可有 个等分点,故应选 C.3【考点】定义的新信息的迁移及综合运用.二、填空题13如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形A(1,0)C(2,4)2()fx内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 BCD【答案】 512【解析】试题分析：

11、因 与 轴的面积为 ,故阴影部2xy 37)12(321dxS分的面积为 ,而 ,故由几何概型的计算公式得3574d4ABCD,应填答案 .12DP【考点】定积分及几何概型的计算公式的运用14若 ，则 5234501()xaxaxx135a【答案】【解析】试题分析：令 可得 ,令 可得24543210 1x，以上两式两边相减可得 ,即543210 aa )(531a,故应填答案 .5【考点】赋值法及运用15对于数列 ，若对任意 ，都有 成立，则称数列 为nx*nN21nnxnx“减差数列” 设 ，若数列 ，21nntb5b， ， （ ， ）是“减差数列” ，则实数 的取值范围是 6b7n5*t

12、【答案】 3(,)【解析】试题分析：由题设可得 ,即6752b,解之得 ,故应填答案 .)3(27495456ttt 53t3(,)5【考点】 “减差数列”的定义及运用【易错点晴】本题新定义了一个新概念和信息“减差数列”,然后借助这个新概念精心设置了一道求参数 的取值范围问题.求解时充分借助“减差数列”的定义与题设条件,t巧妙建构不等式 ，然后通过解该不等式求得)263(27495456tt，从而使得问题简捷巧妙地获解.53t16如图，一块均匀的正三角形的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力 ，106kg1F， ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都是 ，2F3 且 要提起这块钢板， 均要

13、大于 ，则 的最小值123|123|,|Fxk为 【答案】 10【解析】试题分析：建立如图所示的空间直角坐标系,设 ,则123|Ft,故 ,设 ,则tOAtCBA32, 36cosOSASCBa,故 ,由于 ,因此222 14tSSat|AW在 中运用余弦定理可得 ,解之得 ,故W 3640)6(22tt 5t,应填答案 .102txWaSCBAzO yx【考点】向量的几何运算及在实际生活中运用【易错点晴】本题考查的是空间向量的有关概念及在实际生活中的运用与计算问题,求解时充分借助题设中提供的有效信息,凭借几何体的几何特征,巧妙地将问题转化为空间向量的几何运算问题.求解时依据空间向量的有关知识

14、和余弦定理先求出及模的大小,再运用余弦定理构设方程SCBa,然后通过解方程求出 ,进而求得3640)61(41222tt 5t,从而使得问题获解.0x三、解答题17在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ABCCabc260C（1）求 的值；sinab（2）若 ，求 的面积【答案】 （1） ；（2） .34【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用正弦定理求解；（2）借助题设运用余弦定理及三角形的面积公式求解.试题解析：（1）由正弦定理可得： ，243sinisini60abcABC所以 ， ， 43asinA43sinbB43(sin)43isabABA（2）由余弦定理得 ，即

15、，22cocaC22()abab又 ，所以 ，解得 或 （舍去） ab()340b4a1所以 1sin22ABCS【考点】正弦定理余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合运用.18为了参加师大附中第 30 届田径运动会的开幕式，高三年级某 6 个班联合到集市购买了 6 根竹竿，作为班期的旗杆之用，它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1（单位：米） （1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过 0.5 米的概率；（2）若长度不小于 4 米的竹竿价格为每根 10 元，长度小于 4 米的竹竿价格为每根元从这 6 根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为 18 元，求

16、 的a a值【答案】 （1） ；（2） .57a【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用古典概型的计算公式求解；（2）借助题设运用数学期望的计算公式建立方程求解.试题解析：（1）因为 6 根竹竿的长度从小到大依次为 3.6,3.8,4.0,4.1,4.3,4.5，其中长度之差超过 0.5 米的两根竹竿长可能是 3.6 和 4.3,3.6 和 4.5,3.8 和 4.5，所以 ，2631()5PAC14()1()5PA故所求的概率为 4（2）设任取两根竹竿的价格之和为 ，则 的可能取值为 ， ，20，2a10其中 ， ， ，261()5PaC12468(0)5CPa246()5CP所以 8(0)

17、53E令 ，得 2401837a【考点】古典概型的计算公式及数学期望公式的综合运用.19已知正三棱柱 中， ， ，点 为 的中点，点1ABC2AB13DAC在线段 上E1（1）当 时，求证： ；1:2AE1DEBC（2）是否存在点 ，使二面角 等于 ？若存在，求 的长；若不存A60AE在，请说明理由【答案】 （1）证明见解析；（2）存在点 ，且 .2【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用线面垂直的性质定理推证；（2）借助题设运用空间向量的数量积公式建立方程求解.试题解析：（1）证明：连接 ，1DC因为 为正三棱柱，所以 为正三角形，ABABC又因为 为 的中点，所以 ，又平面 平面 ，平面

18、平面 ，11A所以 平面 ，所以 DCABDE因为 ， ， ，所以 ， ，1:2AE1331D所以在 中， ，Rt0在 中， ，所以 ，即 ，1DC16190EDC1EC又 ，B所以 平面 ， 平面 ，所以 E1B11B（2）假设存在点 满足条件，设 ，AEm取 的中点 ，连接 ，则 平面 ，1ACD111DC所以 ， ，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，B1xyzDxyz则 ， ， ，(1,0)A(,30)(,)Em所以 ， ， ， ，(0,3)DB(1,0)Em(1,30)AB(,0)AEm设平面 的一个法向量为 ，1,nxyz则 即 令 ，得 ，1,0nE1,0

19、yxz11(,0)n同理，平面 的一个法向量为 ，AB22(,)xyz则 即 取 ，得 ，2,0n23,xymz212(3,10)n所以 ，解得 ，122|cos,cos601 m故存在点 ，当 时，二面角 等于 EADBEA60【考点】线面垂直的性质定理及空间向量的数量积公式的综合运用.20如图，抛物线 ： 与双曲线 ： （ ， ）有公共1C28yx2C21xyab0ab焦点 ，点 是曲线 ， 在在第一象限的交点，且 2FA12 2|5AF（1）求双曲线 的方程；2C（2）以 为圆心的圆 与双曲线的一条渐进线相切，圆 已知1FM2:()1Nxy点 ，过点 作互相垂直分别与圆 、圆 相交的直线

20、 和 ，设 被圆(,3)P 1l2l解得的弦长为 ， 被圆 截得的弦长为 试探索 是否为定值？请说明理由s2lNtst【答案】 （1） ；（2） .13yx3【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用双曲线的定义求解；（2）借助题设运用直线与圆的位置关系探求.试题解析：（1）抛物线 ： 的焦点为 ，1C28yx2(,0)F双曲线 的焦点为 ， ，2(,0)设 在抛物线 ： 上，且 ，0(,)Axy12yx2|5A由抛物线的定义得 ， ，05x03 ， ，2083y26y，21|()()7AF又点 在双曲线上，由双曲线定义得 ，所以 ，2|5|a1a双曲线的方程为： 213yx（2） 为定值.下面

21、给出说明：st设圆 的方程为 ，双曲线的渐近线方程为 M22()xyr3yx圆 与渐近线 相切，圆 的半径为 ，3M221()r故圆 ： 2()xy依题意 、 的斜率存在且均不为零，1l2所以设 的方程为 ，即 ，3(1)ykx30kyk设 的方程为 ，即 ，2l1点 到直线 的距离 ，点 到直线 的距离 ，M1l12|kdN2l22|31|kd直线 被圆 截得的弦长 ，1lM223632()11kks直线 被圆 截得的弦长 ，2lN22()t kk ，故 为定值 263sktst3【考点】双曲线的标准方程及直线与圆的位置关系等知识的综合运用.【易错点晴】本题是一道考查直线与双曲线的位置关系的

22、综合性问题.解答本题的第一问时,直接依据题设条件和抛物线的定义和双曲线的定义分析推证,最终求出双曲线的标准方程为 ；第二问的求解过程中,先设 的方程为 ，213yxM22()xyr然后再借助其与双曲线的渐近线方程为 的位置关系圆 与渐近线3yx相切，求出圆 的半径为 ,进而求得 的值,从而使3yxM221()rts得问题获解.21设函数 （ ， ， ， ）的图象在点321()faxbcxabcR0a处的切线的斜率为 ，且函数 为偶函数若函数(,xf ()k1()2gkx满足下列条件： ；对一切实数 ，不等式 恒成)k1021()x立（1）求函数 的表达式；()kx（2）设函数 （ ）的两个极值

23、点 ， （212()ln(3)fxhm01x2）恰为 的零点当 时，求12x2()lxst32的最小值1212(y【答案】 （1） ；（2） .1()4kxx2ln3【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数及二次函数的有关知识求解；（2）借助题设构设函数运用导数的有关知识探求.试题解析：（1）由已知可得 ，2()kxfaxbc函数 为偶函数，1()g ，1()22xkxkx即 恒成立，2211axbcxabcx所以 又 ， ， ，(1)0k02c2又对一切实数 ，不等式 恒成立，x1()kx 恒成立，2()ac10,14()0,2ac ， 1c24kxx（2）由（1）得， ，3211()f

24、 （ ） ， ，2()lnhxxm0x2(1)()2xmhx由题意得 124,x又 ，3m ，解得 ，221()9x120x ， （ ）为 的零点，1212()lnst ， ，1()lnxsxt022l0xxt两式相减得， ，1212122l()()t又 ，从而()xst1212121212()()()xy sxt1212()lnxx，1212()lnx设 （ ） ，12x0则 （ ）记为 ，121()()xy(1)ln102()Mn，22()()nM 在 上单调递减，()10, ，min()l23故 的最小值为 112(xy2ln3【考点】二次函数导数的有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是

25、研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数 的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方cba面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助二次函数的判别式及函数的奇偶性等知识建立方程和不等式获解；第二问则借助题设条件构造函数,再运用导数等知识进行分析推证,从而使得问题获解.2()lnxstx22选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，曲线 的极坐标方程1C210cos,iny 2C为 2cos6in（1）将曲线 的参数方程化为普通方程，将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；1 2（2）在同一坐标系下，曲线

26、， 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相1C2交，请说明理由【答案】 （1） ， ；（2） .2()0xy2()(3)10xy【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用极坐标与直角坐标的关系及参数方程与直角坐标方程的互化求解；（2）借助题设运用圆与圆的位置关系求解.试题解析：（1）由 （ 为参数）得 ，210cos,inxy 2()10xy曲线 的普通方程为 ，1C2()10xy ， ，2cos6incos6in有 ，即 为所求曲线 的直角坐标方程xy22()(3)xy2C（2）圆 的圆心坐标 ，圆 的圆心坐标为 ，1C,02C(1,3) ，所以两圆相交22|()()0设相交弦长为 ，因为

27、两圆半径相等，所以公共弦平分线段 ，d 12C ，2223()(10) ，即所求公共弦的长为 d【考点】极坐标与直角坐标之间的关系和参数方程与直角坐标之间的互化关系的综合运用.23选修 4-5：不等式选讲设对于任意实数 ，不等式 恒成立x|7|1|xm（1）求实数 的取值范围；m（2）当 取最大值时，解关于 的不等式： |3|21x【答案】 （1） ；（2） .81|x【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用绝对值不等式的几何意义求解；（2）借助题设运用分类整合思想建立不等式组求解.试题解析：（1） 可以看做数轴上的点 到点 和点 的距离之和，|7|1|xx71 ， min(|)8（2）由（1）得 的最大值为 8，原不等式等价于 ，|3|24x有 或3,4x3,24,x从而 或 ，1原不等式的解集为 1|3x【考点】绝对值不等式的几何意义与分类整合思想的综合运用.