1、2017 届安徽屯溪一中高三上学期月考（二）数学（理）试题一、选择题1已知集合 ，集合 ，则 （ ）032xA40xBBACR)(A B 3,0( ),1C D4(【答案】A【解析】试题分析： ,31,13xACxAR或,故选 A.0)(xBR考点:集合运算2若复数 ，则 等于（ ）iz22zA B 55C Di i【答案】B【解析】试题分析：复数 ，则 ，iz2iz,故选 B.54)2(22 iiiz【考点】复数的运算3若双曲线 的一条渐近线为 ，则离心率 等于（ ）)0(12abyx xy3eA B 223C D3【答案】D【解析】试题分析：双曲线 的一条渐近线为 ，故 ，因为12byax
2、xy33ab，解得 ，则 ，故选 D.222ecab2e2e考点:双曲线的简单几何性质4已知向量 ，且 ，则实数 的值为（ ）)1,(),63(bkbakA B 22C D3【答案】D【解析】试题分析：因为 ，所以 ，即 ，解得ba0 0)6(2)3(k.3k【考点】平面向量垂直关系的坐标表示5数字“ ”中，各位数字相加和为 ，称该数为“长久四位数” ，则用数字20169组成的无重复数字且大于 的“长久四位数”有（ ）个,4, 2016A B 394C D【答案】C【解析】试题分析：卡片上的四位数字之和等于 ，四个数字为 组成的无重复96,210数字且大于 的“长久四位数”共有： ， 组成的无
3、重复数字且2016153A5,大于 的“长久四位数”共有 个； 组成的无重复数字且大于234,0的“长久四位数”共有 个，故共 （个）.1838【考点】排列、组合与计数原理6函数 的部分图象大致是（ ）21)(xf【答案】C【解析】试题分析： ，函数 为偶函数，排除 A，B，)(2)(1xfxfx)(xf，排除 D，故选 C.02)(1xf【考点】函数图象与函数性质7某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则此几何体的体积是（ ）A B 32438C D1616【答案】B【解析】试题分析：该几何体是一个底面为矩形的四棱锥，四棱锥的高，32416h体积 .8V【考点】三视图与几何体的
4、体积8程序框图如图所示，则该程序输出的结果为（ ）A B 10536C D572【答案】B【解析】试题分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求的值，194231S由 )19(2)41(2)3( ，故选 B.53603( 【考点】程序框图中的循环结构9函数 的图象向左平移 个单位后与函数 的图象重合，)(xfy12)2cos(xy则 的解析式为（ ）A B )2cos(xy )6cos(xyC D32in【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，把函数 的图象向右平移xy2sin)cos(个单位后，可得函数12的图象,故选 D.)62sin()1(2sin)( xxfy考点:函数图象的平移变
5、换.10 展开式中常数项为（ ）4)(A B 1819C D2021【答案】B【解析】试题分析：因为 4404134011 1()()()()()xxCxxCx， 中含有的常数项为 ，623 24C中含有的常数项为 ，故 展开式中常数项为 ，2)(6x14)1(x 1924故选 B.【考点】二项式展开式的系数【方法点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的系数问题，属于基础题.本题给出了一个三项式求展开式的常数项，解答时首先通过分组化为二项式，分组时要根据三项式的特征把 作为一个整体，用二项式定理展开，再在 根据二项式1x 1nx定理分别求得其常数项，通过计数原理即可得到原式的常数项，本质上就
6、是多次使用二项式定理的过程.11已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线 与抛物)0(2pxyF60l线在第一、四象限分别交于 两点，则 等于（ ）BA,A B 325C D5【答案】A【解析】试题分析：设 ，则 ，),(),(21yxA 3860sin221 ppxAB ，解得 ， ，故选 A.421px6,321px32xF【考点】直线与抛物线的位置关系【方法点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单几何性质特别是其焦点弦问题，解答时应重点把握好抛物线定义的应用.设出 两点坐标，利用,AB抛物线的焦半径公式求出 ,结合抛物线焦点弦的性质得到 ，求出AB214px两点坐
7、标，根据抛物线焦半径公式即可求得 .,ABBF12函数 ，若实数 满足 ，则实数 的所有取0,14log)(2xxf a1)(fa值的和为（ ）A B 15167C D562【答案】C【解析】试题分析：令 ，则 ，当 时，由 得)(aft1)(tf0t 1log)(2ttf；当 时，由 得 或 ，所以 或2t0t 424a或 .若 ，当 时， ，此时 ；)(af)(f)(f l)(2af 4当 时，由 得 （或 舍去）.若212a55，当 时， ，此时 ；当 时，由0)(f0log)(f 10得 或 ；若 ，当 时，142a334)(af，此时 ；当 时，由 ，此时方log)(2f 61a12
8、程无解.综上可知， 所有可能值为 ， ， ， ， ，其和45236为 .516考点:函数与方程.【方法点睛】本题主要考查了函数与方程，考查了分类讨论的思想和运算能力，属于难题.为方便理解可对 进行换元处理，设 ，则 ，先通过1)(af )(aft1)(tf分段函数解析式，结合讨论求出 的解，再进一步解方程 ，即可求得 的解，t a解答的过程中，要注意分段函数各解析式的适用范围，保证正确解题.二、填空题13已知命题 ：“ ，有 成立” ，则 为_.p0x12xp【答案】 成立12,【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以原命题的否定 为“p成立”.,0x考点:全称命题及其否定14设 满足
9、约束条件 ，则 的最小值为_.yx,031yxyxz2【答案】 2【解析】试题分析：由题可得，该不等式组表示的平面区域是以 为)2,1(03),(顶点的三角形及其内部区域，当 时， .0,1yx2minz【考点】简单的线性规划15若圆 关于直线 对称，则由点 向8)2()1(:yxC062bax),(baM圆所作的切线长的最小值是_.【答案】 0【解析】试题分析：由题意知直线 过圆心 ，所以062byax)2,1(C.当点 到圆心距离最小时，切线长最短，3ba),(bM， 时，切线8)(28)1( 2222 aC a长最小，此时 ，切线长等于 .10rC【考点】直线与圆的位置关系【方法点睛】本
10、题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.本题解答的关键是根据“圆 关于直线 对称”即直线 经过圆心 ，C062byax 62byax1,2C得到 的关系，根据勾股定理列出切线长与 的关系，通过消元构造二次函数，,ab,利用配方法求出切线长的最小值.16已知 中，角 的对边分别为 ，若 ，且ABC, cba,2,3b，则 的值为_.Bcbasin76sinisin【答案】 2【解析】试题分析：由已知及正弦定理得 ，Cabcbacos2sin7622 所以 ，可得 ，所以 .由余弦定理可得Ccos2sin7637tn43oC，所以 42322 abc 2c【考点】正弦定理和余弦定理解三角形.【
11、方法点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形问题，属于基础题.本题中给出了 中边 和角 的混合式，而且式子中均有一个内角的正弦，ABC,cCBA,应该首先考虑利用正弦定理把左边的 用 代替，这样左边得到sin,si,abc，结合余弦定理右边应该保留 ,消去 即可求得 和 ，22abc nBtanCcos再利用余弦定理即可求得边 .c三、解答题17在公差不为 的等差数列 中，已知 ，且 成等比数列.0na11452,a（1）求数列 的通项公式；na（2）令 ，求数列 的前 项和 .bnbnT【答案】 （1） ；（2） .1n )32(61【解析】试题分析：（1）根据等差数列的通项公式和
12、等比中项列出公差，即可得到其通项公式；（2）因为 是等差数列乘等比数列的形式，所以采用乘公nnb)(比错位相减法求和.试题解析：（1）设数列 的公差为 ，由题知， ， ，nad1425a1，即 ，又 ，)13()4(2d02,d， .nann（2） ， ，b2)( nT2)1(25331 ，432 )()(51 nnnT-得 ，11nn 1111 2)(28)2(82 nnn，)3(6611nn .)32(Tn【考点】等差数列的通项公式与乘公比错位相减法求和18 公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了 名男生和 名女生，这M146名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分） ，公司规定：成
13、绩在 分以上者20 80到甲部门工作； 分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于 分才能担任助理180工作。（1）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取 人，再从这 人中选8人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？3（2）若从所有甲部门人选中随机选 人，用 表示所选人员中能担任助理工作的男3X生人数，写出 的分布列，并求出 的数学期望.X【答案】 （1） ；（2）分布列见解析， .4395【解析】试题分析：（1）根据分层抽样和茎叶图可知甲乙两部门选中的人数均为 人，4要求“至少有一人是甲部门人选的概率” ，可求其对立事件“选中的 人都是乙部门”3的概率即可；（2）设选毕业生中能担
14、任助理工作的男生人数 ，其可能的取值分别X为 ，根据超几何分布求出 取各值的概率，得其分布列和期望.3,0X试题解析：（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为 ，根据茎叶图，5208有甲部门人选 人，乙部门人选 人，所以选中的甲部门人选有 （人） ，1041乙部门人选有 （人） ，用事件 表示“至少有一名甲部门人被选中” ，则它4520A的对立事件 表示“没有一名甲部门人被选中” ，则A，因此至少有一人是甲部门人选的概率是 .143561)()(384CP 143（2）依据题意，所选毕业生中能担任助理工作的男生人数 的取值分别为 ，X,20， ， ，301)0(64X103)2(264CX
15、)(31064CP，)(31064CP因此 的分布列如下：XX 0 1 2 3P 36数学期望 .59613210)( E【考点】茎叶图、对立事件的概率及离散型随机变量的分布列和期望19如图，四棱柱 的底面 是菱形， ，1DCBA OBDAC底面 ， .OA1 2（1）证明： 平面 ；BDCOA1（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.60DA1【答案】 （1）证明见解析；（2） .72【解析】试题分析：（1）由 底面 可证 ，根据菱形性质可知OA1BCDBOA1，所以 平面 ；（2）由（1）可知 两两垂直，则以BDCO 1,分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面1,Azyx,
16、的法向量和直线 的方向向量，根据线面角是平面法向量和直线方向向量1C1夹角的补角可求得直线 与平面 所成角的正弦值.DA1试题解析：（1） 底面 ， 平面 ， .O1BABCBDO1 是菱形， .又 ， 平面 .ABCDO1（2）由（1）知 两两垂直，则以 分别为 轴建立如图所1,OAB1,OABzyx,示的空间直角坐标系. ， ， ，则60BAD21,3,1D(3,)(,)， ，C1 ),0(),0(),03( 11 CAAA设平面 的一个法向量为 ，由 得DA1 ,zyxn31zxynD，令 ，得 ， ，所以 ，xzy33),(，直线 与平面 所成角72,cos11 CAnCA1D1的正弦
17、值为 .72【考点】空间中直线与平面垂直关系的证明及直线与平面所成的角.20如图，设椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴上，上顶点为 ，左、右焦点分别为OxA，线段 的中点分别为 ，且 是面积为 的直角三角形.21,F21, 21,B214（1）求该椭圆的离心率和标准方程；（2）过 作直线交椭圆于 两点，使 ，求 的面积.1BQP, 21BQP2【答案】 （1） ， ；（2） .25402yx609【解析】试题分析：（1）根据 是面积为 的直角三角形， ，可21A421AB知 为直角，从而 ，即 ，又 ，消去 即得离心2ABOBcb22ab率， 可得 ，从而求得椭圆方程；（2）设直线21cSb,的方
18、程为 ，代入椭圆方程可得 ，根据韦达PQmyx 0164)5(my定理，可得 ，写出 的坐标，由于121246,52,BPQ，据此可求得 的值，因为 的面积2,B0PB 2，所以求出 即得 的面积.12Sy21211()4yyyB2试题解析：（1）设椭圆的方程为 ， ， 是面02bax),(2cF21A积为 的直角三角形， ， 为直角，从而 ，得41AB12O，2cb2222,5,4,abcb，在 中， ， ，5e11O221bcABS24,S，椭圆标准方程为 .250ab1420yx（2）由（1）知 ，由题意，直线 的倾斜角不为 ，故可设直线),(,2(1BPQ0的方程为 ，代入椭圆方程，消
19、元可得 ，PQmyx 164)5(2my设 ，16,54),(),( 212121 y，),(,2 xByxB ，5641)2(212 myxQBP， ， ，当 时，可0,22022m化为 ，1689y ，10984)(21221y 的面积 .QPB 10964BS【考点】椭圆的标准方程与几何性质及直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程与几何性质及直线与椭圆的位置关系，考查了方程的思想和运算能力，属于中档题.求椭圆的离心率通常根据条件求 的,abc一个关系即可，求椭圆方程通常采用待定系数法.研究圆锥曲线中三角形的面积时通常采用分割的方法把要求面积的三角形分成两个同底的三
20、角形，根据韦达定理求，本题中，先根据向量的垂直关系求出参数的值，再求 ，这是圆锥曲12y 12y线中最常见的题型之一.21已知函数 .xaxfln)2()(（1）当 时，若 在区间 上的最小值为 ，求 的取值范围；0a,1e2a（2）若对任意 ，且 恒成立，求 的221),(,xx21)()(xfxfa取值范围.【答案】 （1） ；（2） .a80a【解析】试题分析：（1）求出 的零点，通过讨论 与区间 的关系，得到fx a,e其单调性，找到最小值点，求出最小值，即得 的取值范围；（2）根据可构造函数 ，题中的条件本质上就是给21)(2)(xfxfxfg)(出了函数 在 单调递增，求参数的范围
21、，即 在 上恒成立，g0,()0g(,)分类讨论即可.试题解析：（1）函数 的定义域是 .当 时，xaxfln)2()(),(a，01)(12)(axf令 ，得 ，所以 或0)(f )1(2)(2)( xaxaxf 21x.ax1当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 在 上的最小值是10a)(xf,1e)(xf,1e；2)(f当 时， 在 上的最小值是 ，不合题意；e)(xf,e2)(faf当 时， 在 上单调递减，所以 在 上的最小值是a11x,1e，不合题意，2)(fe综上： .（2）设 ，即 ，xfxg)(xagln)(2只要 在 上单调递增即可，而 ，)(,0xa121)( 当 时，
22、，此时 在 上单调递增；a1xgxg,0当 时，只需 在 上恒成立，因为 ，只要00)(),( ),0(x，12x则需要 ，对于函数 ，过定点 ，对称轴 ，只需a12axy),(041x，082即 ，综上， .8【考点】利用导数研究函数的单调性和给定区间上的最值及函数的恒成立【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和给定区间上的最值及函数的恒成立，考查了分类讨论的数学思想和转化的数学思想，属于中档题.本题（1）中，求函数在给定区间上最值，通过比较两个极值点的大小得到其单调性，判断出最小值点，验证是否符合题意；（2）根据 的形式构造函数21)(2)(xfxf，也就是函数 在 上单调递增
23、，即 恒成立，xfxg2)(g0,0g分别讨论 及 两种情况，求出 的范围即可.0aa22选修 4-1：几何证明选讲如图， 是 边 上的高， ，垂足为 .CFABACFQBP, QP,（1）证明： 四点共圆；QPBA,（2）若 ，求 的长.354,1,4PFAQCCB【答案】 （1）证明见解析；（2） 6【解析】试题分析：（1）由 四点共圆可知,，又 ，所以 ，2FAPQFPCPQA得证；（2）由于 ，在直角三角形 中，求得 ，所以2CAC103.26BP试题解析：（1）证明：连接 ，由已知 四点共圆，QPQF,， ，即四点2, CPACFQF CPA四点共圆.PBA,（2）解： ，直角三角形
24、 中，20542F，31)(2FC又 .6,22PBP【考点】四点共圆的应用与直角三角形的基本性质.23选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点 ，直线为 .)4,(1)4sin(（1）求点 的直角坐标系下的坐标与直线的普通方程；),4(（2）求点 到直线 的距离.1)sin(【答案】 （1） ；（2） 0xy3【解析】试题分析：（1）根据 可把点 化成直角坐标，cos,inxy)4,(根据两角和的正弦公式把 展开，代换即得直线的普通方程；（2）在1)4sin(（1）化直角坐标方程的基础上，利用点到直线的距离公式即可求得结论.试题解析：（1）点 化成直角坐标为 ，),4( ),(直线
25、 ，1cos2sin1sin( 化成直角坐标方程为. 0212yxx（2）由题意可知，点 到直线 的距离，就是点 到直)4,()4sin()2,(线 的距离，由距离公式可得为 .0yx 312d【考点】点与直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化及其应用.24选修 4-5:不等式选讲已知函数 .1)(xf（1）求不等式 的解集 ；2M（2）设 ，证明： .Mba, )()(bfabf【答案】 （1） ；（2）证明见解析.1x或【解析】试题分析：（1）分 ， ， 三种情况分别去掉绝对1x2值符号，解出不等式的解，取并集即得集合 ；M（2） 根据绝对值的三角不等式可证得()(1abb，结合 可得()f a01,ab.试题解析：（1）当 时，原不等式可化为 ，解得 ，此时1x 2x1x原不等式的解是 ；当 时，原不等式可化为 ，解得21x，此时不等式无解；x当 时，原不等式可化为 ，解得 ，此时原不等式的解是 ，2x1x综上， .1xM或（2）因为 ，babababaf 1)()(因为 ，所以 ，所以 ，即b, 0,f.)()(ff【考点】绝对值不等式的解法与绝对值中的三角不等式.
