1、2016-2017 学年度高三年级模拟试题（一）数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）若复数 z满足 (3)2i5，则 z的共轭复数为（A） 2i （B） （C） i （D） 5i【解析】选 D； izi，所以 z的共轭复数为 i。（2）已知集合 2|1,|ln()xyxyx，则 AB（A） (,) （B） 2) （C） 0, （D） 1,2答案：B解析：集合 A |，B |0，故 1,)（3）已知向量 (3,1)(,)(,3)abck，若（ 2ab）与 c互相垂直，则 k的值为（A）-3 （B）-1
2、 （C ）1 （D ）3答案：A解析： 2b (,)，因为 2a与 垂直，所以， k3 0，所以，k3（4）已知函数 fx是定义在 D上的奇函数，下列说法错误的是 （A） ,()0f （B） 000,()(xffx（C ） 2200()xx （D ） 22【解析】选 C；已知函数 f是定义在 上的奇函数，所以 ,()xDffx，故（C）不正确。（5 ）已知双曲线21(0,)xyab两条渐近线的夹角为 60，则该双曲线的离心率为（A） 3 （B） 43 （C） 23或 2 （D）4答案：C解析：（1）双曲线两条渐近线在 y 轴两旁的夹角为 60时，由双曲线的对称线知，两条渐近线的倾斜角分别为 6
3、0、120，所以， tan60b，又 222(3)cab，解得离心率 2ce。（2）双曲线两条渐近线在 x 轴两旁的夹角为 60时，其中一条渐近线的倾斜角为 30，所以，tn30，又 2223()caba，解得离心率 cea23。（6）已知函数 2,(1)()xff，则 2(log9)f的值为（A）9 （B） 9 （C） 4 （D） 98答案：D解析： 22logl83，所以， 2(log)f 2(l91)f 2(log)f 2(log3)f9(l93) 。（7）函数 log|()axf（ 01）图象的大致形状是答案：C解析：特殊值法。取 12a，当 x2 时，f（2）10，排除 A，B；当
4、x2 时，f（2）10，排除 D，所以，选 C。（8）若直线 yx上存在点 (,)y满足条件30,.xym则实数 的最大值为（A） 2 （B） 1 （C）1 （D） 3答案：B解析：不等式表示的平面区域如图所示，解 20xy得： 12xy，所以，当 m1 时，由图可知，直线 2yx与图没有交点，故 m 的最大值为1。（9）已知 ,ABC三点都在以 O为球心的球面上， ,OABC两两垂直，三棱锥 OABC的体积为 43，则球 的表面积为（A） 3 （B） 16 （C ） 32 （D） 32【解析】选 B；设球 O的半径为 R，则 AOBR，所以三棱锥 OABC的体积为 316R。由3146R，解
5、得 2。故球 的表面积为 。(10)九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减比例分配的意思，通常称递减比例（即百分比）为“衰分比”.如：有 A、B、C、D 四人分别分得100、60、36、21.6 个单位，递减的比例为 40%，那么“衰分比”就为 40%。今有粮 a（a0)石，按 A、B、C、D 的顺序进行“衰分” ，已知 C 分得 36 石，B、D 所得之和为 75 石，则“衰分比”与 a 的值分别是：（A）75%， 524 （B）25%， 524 （C）75%，175 （D）25%，175 【解析】设 A、B、C、D 四人分别分得粮为 1234,a石，则可知 1234,
6、a成等比数列，设公比为q(0q1),则： 324675a有 q= 34或 （ 舍 ） ，故“衰分比”为 1-q=25%则 268aq， 41,qa，故 1234175a，因此选 D（11）某组合体的三视图如图示，则该组合体的表面积为(A) (62)1 (B) 8(1) (C) 4(D) 2答案：A 解析：该组合体下面为半圆柱，上面为半圆锥，故其表面积为： 2111242484(6)2.（12）已知 P 是直线 0kxyk上一动点，PA、PB 是圆 C： 2的两条切线，切点分别为 A、B ，若四边形 PACB 的最小面积为 2，则 k的值为 （A）3 （B）2 （C）1 （D） 12答案：B解析
7、： PACBSPA四 边 形 22P，可知当| |最小时，即 l 时，其面积最小，由最小面积 21C得 min|5P，由点到直线的距离公式得： min25|1CPk，因 0k，所以 2k.第卷(满分 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答第（22）题第（ 23）题为选考题，考生根据要求做答二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上（13 ） （ 13）曲线 23fx在点 1,f处的切线方程为 . 答案： 40xy解析：(14)执行如图所示的程序框图，则输出的 k值为 .答案：6解析
8、：第 1 步：s1，k2；第 2 步：s2，k3；第 3 步：s6，k4；第 4 步：s15，k5；第 5 步：s31，k6；第 6 步：s56，退出循环，此时 k=6(15)若数列 na， b的通项公式分别是 aann2014)(， nbn2015)(，且 nba对任意 N恒成立，则实数 a的取值范围是 【解析】由题 nba对任意 N恒成立，当 为偶数时，可得 32;当 为奇数时，可得122即 3，(16)如图，过抛物线 20ypx的焦点 F 的直线 l交抛物线于点 A、B，交其准线于点 C，若2BCF，且 3A，则此抛物线方程为 .解析： 作 D准线交准线于点 D,由抛物线的定义得 DF.
9、故由 2F,得 2BD,所以 30B.故直线 l的倾斜角为 60.所以直线 l的方程为 3pyx.联立AB CDAB CDE23,pyx消去 y得 22103xp，解得 3,26ABpx.故由抛物线的定义得 2AF.所以此抛物线的方程为 23yx.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17 ） （本小题满分 12 分）已知如图，ABC 中，AD 是 BC 边的中线， 120BAC，且 152AC.()求ABC 的面积； ()若 5AB，求 AD 的长. 解析: 解：() 12C， 115cos22ABCAC,-2 分即 5，-3 分 351sin24ABCS.-5 分()解法
10、1：由 得 3，延长 AD 到 E，使 AD=DE，连结 BE，-6 分BD=DC, 四边形 ABEC 为平行四边形， 60ABE,且 3AC-8 分设 ADx，则 2x，在ABE 中，由余弦定理得：2()cos2591B,-10 分 解得 19，即 AD 的长为 19.-12 分【解法 2：由 5得 3C，在ABC 中，由余弦定理得： 22cos25914ABCABC,得 7BC，-7 分由正弦定理得： sinsiBD，得352si 714ACD，-9 分 090 21cossin4AC，-10 分在ADC 中， 22 49719cos234ADCACD，解得 19.-12 分】（18 ）
11、（本小题满分 12 分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪 70 元，每单抽成 2 元；乙公司无底薪，40 单以内(含 40 单)的部分每单抽成 4 元，超出 40 单的部分每单抽成 6 元假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 100 天的送餐单数，得到如下频数表：（）现从甲公司记录的这 100 天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于 40 的概率；（）若将频率视为概率，回答以下问题：（）记乙公司送餐员日工资为 X(单位：元),求 X的分布列和数学期望；（）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑
12、，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由解：（） 记“抽取的两天送餐单数都大于 40”为事件 M，则2019()45CP（） （）设乙公司送餐员送餐单数为 a，则当 38a时， 4152X； 当 39时， 456X； 当 40时， 60；当 41时， 01；当 2时， 7 所以 的所有可能取值为 152,156,160,166,172故 X的分布列为： X152 156 160 166 172 P10512510()1526676E所 以（）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为 380.9.40.21.420.1395所以甲公司送餐员日平均工资为 7395元由（）得乙公司送餐员日平均
13、工资为 6元因为 14962，故推荐小明去乙公司应聘（19）（本小题满分 12 分）在三棱柱 CBA中， 平面 ,ABC2B, CA,点 FE分别是棱BCA,上的动点，且 FE,（）求证： ;（）当三棱锥 的体积最大时，求二面角EF正切值。解析：（）因为 BCA、三线两两互相垂直，故以为原点建立如图所示坐标系，设 aBFAE，则得到下列坐标， )0,(),2(),0(aFA， ， )2(，C,所以 ,2 ,CFA)()(aE，,故 ； （5 分）（）因为 EFBV，因为三棱锥 BEF的高为B为定值，所以 BEFS最大时三棱锥 的体积最大，21)(21)( aaSEF，(当且仅当 ，即 时三棱锥
14、 EFB体积最大). （9 分）易知 (0,1)m是平面 AC的一个法向量，(,),(,2)EFB(1,0)(1,2)EFBE，设平面 BEF的法向量是 (,)nabc则,0n即 0,abc令 2,a则 ,1即 (2,)时平面 的一个法向量，又 cos,34nm由题中图可知所求的二面角为锐角，故所求二面角的正切值是 2. （12 分）（20 ） （本小题满分 12 分）已知椭圆21:(0)yxCab与抛物线 2:1Cxy有公共弦 AB（A 在 B 左边） ，AB =2，2的顶点是 的一个焦点，过点 B 且斜率为 k()的直线 l 与 、 2C分别交于点 M、N（均异于点A、B ） （）求 1的
15、方程；（）若点 A 在以线段 MN 为直径的圆外，求 k的取值范围解析：解：（）抛物线 21yx的顶点为 (0,1)，即椭圆的下焦点为 (0,1)， c，-1 分由 AB=2 知 1Bx，代入抛物线得 ,)B，得 b，-2 分 22ab=2， C的方程为21yx；-4 分（）依题意知直线 l 的方程为 ()k，-5 分联立21yx消去 y 得： 220k，则 2MBk，得 2Mxk， 24My，-7 分由 2()1yx，得 210，由 4()k，得 ，则 NBx，得 Nxk， (2)Nyk，-9 分点 A 在以 MN 为直径的圆外，即 ,AM0,，-10 分 0M，又 (1,)， ,)MNxy
16、xy224()kk2(4)0k，解得 4k，综上知 (,)(0k.-12 分（21 ） （本小题满分 12 分）已知函数 ln1()2xf（ ） () 判断函数 的单调性；()若存在实数 a，使得 ()fa对 (2,)x均成立，求 a的取值范围解析：解：() 解法 1： 2ln1()fx2(1)lnx， -2 分记 )(2)lgx（ x） ， )l0g，-3 分即 在 ,上单调递减， (0从而 0f，函数 ()f在 2,)上的单调递减.-5 分() 解： ()fxa对 (2,)均成立，等价于 ln1x对 (,)均成立，-6 分由 ()y得 y，由此可得函数 ln(1)yx的图象在点（2,0）处
17、的切线为 y=x-2，-7 分（1 ）当 a时，在 (2,)上，直线 (2)a与函数 l()的图象相交，不合题意；-9 分（2 ）当 时，在 上，直线 yx在函数 n1yx的图象的上方，符合题意-11 分综上得：要使 ()fxa对 (2,)均成立， 1,)a.-12 分请考生在第（22） 、 （23 ）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分(22)(本小题满分 10 分) 选修 44：坐标系与参数方程已知椭圆 C的普通方程为：219xy() 设 2yt，求椭圆 以 t为参数的参数方程；() 设 与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴的交点分别为 A、B，点 P 是 C上位于第一象限
18、的动点，求四边形 AOBP 面积的最大值 （其中 O为坐标原点）解析：解：()将 2yt代入椭圆的普通方程得22249(1)()txt，-1 分于是得 31xt，-2 分椭圆 C的参数方程为231,.xty（ 为参数）和231,.xty（ 为参数）-4 分()依题意知点 A(3,0)，B(0,2)，-5 分设点 P 的坐标为 (cos,2in)， (0)2-6 分则 BPOAASS四 边 形 113cossin-8 分3sicsi()4， (0)2-9 分当 sin()14，即 4时，四边形 AOBP 面积取得最大值，其值为 3.-10 分(23)(本小题满分 10 分) 选修 45：不等式选讲已知 (|2|(,0)fxxaR，() 若 的最小值是 3，求 a 的值；()求 |)|f的解集解析：解：（）解法 1： 0a， (2),()axfxa，-2 分当 2xa时， 2()2f，当 R时， ()2f，-4 分 min()()3f，a=1；-5 分（）由（）知(),()2xfxa， （ 0）当 2x时， ()fa， |()|2f，不等式 |()|2fx解集为空集-6 分当 a时， 2x，不等式 |x解集也为空集；-7 分当 时， |()|f，即 a2ax 2， a，当 x时， |()|fx的解为 2-9 分综上得所求不等式的解集为 |2-10 分
