1、2016-2017 学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知 x20，1，x，则实数 x 的值是 2命题“xR，x 20”的否定是 3已知向量 =（1，m） ， =（3，2）且（ + ） ，则 m= 4函数 f（x）= 的定义域为 5将函数 y=sin（2x ） 1 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式为 6已知集合 A=x|x5，集合 B=x|xa，若命题“xA”是命题“ xB”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 7函数 f（x）=
2、x 2+ax1，若对于 xa，a+1恒有 f（x） 0，则 a 的取值范围 8已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且 5tanB= ，则 sinB 的值是 9设 为锐角，若 sin（+ ）= ，则 cos（2 ）= 10如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADC=90，AB=3，AD= ，E 为 BC 中点，若 =3，则 = 11已知函数 f（x）在定义域 2a，3上是偶函数，在0，3上单调递减，并且 f（m 2 ）f（ m2+2m2） ，则 m 的取值范围是 12已知函数 f（x）= kx2（kR）有两个零点，则 k 的取值范围 13若曲线 y=alnx 与曲线
3、 y= x2 在它们的公共点 P（s，t）处具有公共切线，则 = 14设函数 f（x）=e x（2x1）ax +a，其中 a1，若存在唯一的整数 x0，使得 f（x 0）0，则 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知命题：“xx|1 x1，使等式 x2xm=0 成立 ”是真命题，（1）求实数 m 的取值集合 M；（2）设不等式（xa ） （x+a 2）0 的解集为 N，若 xN 是 xM 的必要条件，求 a 的取值范围16在ABC 中，三个内角分别为 A，B ，C，已知 sin（A+ ）=2cos
4、A（1）求角 A 的值；（2）若 B（0， ） ，且 cos（A B）= ，求 sinB17已知函数 f（x）= ， （其中 m、n 为参数）（1）当 m=n=1 时，证明：f（x）不是奇函数；（2）如果 f（x）是奇函数，求实数 m、n 的值；（3）已知 m0，n0，在（ 2）的条件下，求不等式 的解集18在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，cosC= （）若 ，求 c 的最小值；（）设向量 ， ，且 ，求 sin（B A）的值19如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD，其中 BMN 是半径为 1 百米的扇形，ABC= 管理部门欲在该地从 M
5、到 D 修建一条小路：在弧 上选一点 P（异于 M、N 两点） ，过点P 修建与 BC 平行的小路 PQ问：点 P 选择在何处时，才能使得修建的小路 与 PQ 及 QD 的总长最小？并说明理由20已知函数 f（x）= x2， g（x）=alnx （1）若曲线 y=f（x）g（x）在 x=1 处的切线的方程为 6x2y5=0，求实数 a 的值；（2）设 h（x）=f（x）+g（x） ，若对任意两个不等的正数 x1，x 2，都有 2 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）若在1，e上存在一点 x0，使得 f（x 0）+ g（x 0） g（x 0）成立，求实数 a 的取值范围2016-2017 学年
6、江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1已知 x20，1，x，则实数 x 的值是 1 【考点】元素与集合关系的判断【分析】根据集合元素和集合的关系确定 x 的值，注意元素的互异性的应用【解答】解：x 21，0，x ，x 2=1，x 2=0，x 2=x，由 x2=1 得 x=1，由 x2=0，得 x=0，由 x2=x 得 x=0 或 x=1综上 x=1，或 x=0当 x=0 时，集合为1，0，0不成立当 x=1 时，集合为1，0，1不成立当 x=1 时，集合为1，0
7、，1，满足条件故答案是：12命题“xR，x 20”的否定是 x R，x 20 【考点】命题的否定【分析】根据一个命题的否定定义解决【解答】解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是 xR，x 203已知向量 =（1，m） ， =（3，2）且（ + ） ，则 m= 8 【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量垂直的等价条件转化为向量数量积为 0 进行求解即可【解答】解：（ + ） ，（ + ） =0，即（4，m2）（3，2）=0 即 122（ m2）=0，得 m=8，故答案为：84函数 f（x）= 的定义域为 （0， ）（2，+） 【考点】对数函数的定义域【分析】根据偶次根号下的被
8、开方数大于等于零，分母不为 0，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来【解答】解：要使函数有意义，则log 2x1 或 log2x1解得：x2 或 x所以不等式的解集为：0x 或 x2则函数的定义域是（0， ） （2，+ ） 故答案为：（0， ）（2， +） 5将函数 y=sin（2x ） 1 的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数解析式为 y=sin（2x+ ） 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，可得到答案【解答】解：函数 y=sin（2x ） 1，向左平移 个单位，可得：y
9、=sin 2（x+ ） 1=sin（2x+ ） 1，再向上平移 1 个单位，可得：y=sin（2x+ ）1+1=sin（2x+ ） 所以所得图象的函数解析式为 sin（2x+ ） 故答案为 y=sin（2x+ ） 6已知集合 A=x|x5，集合 B=x|xa，若命题“xA”是命题“ xB”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 a5 【考点】充分条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由判断充要条件的方法，我们可知命题“xA ”是命题“xB”的充分不必要条件，则 AB，集合A=x|x5，集合 B=x|xa，结合集合关系的性质，不难得到 a5【解答】解：命题“xA” 是命题“ xB”
10、的充分不必要条件AB故 a5故选 A57函数 f（x）=x 2+ax1，若对于 xa，a+1恒有 f（x） 0，则 a 的取值范围 【考点】二次函数的性质【分析】根据二次函数的性质结合函数的图象得到不等式组，解出即可【解答】解：二次函数 f（x） =x2+ax1 开口向上，要它在区间a，a+1上恒小于零，结合二次函数的图象，只需满足： ，即 ，解得： a0故答案为： 8已知ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，且 5tanB= ，则 sinB 的值是 【考点】余弦定理；余弦定理的应用【分析】利用余弦定理可得 cosB= ，代入已知 ，化简后即可得结果【解答】解：cosB= ，
11、 = =5sinB=3sinB=故答案为9设 为锐角，若 sin（+ ）= ，则 cos（2 ）= 0 【考点】三角函数的化简求值【分析】利用整体构造思想，将 cos（2 ）=cos（+ ）+（ ）利用诱导公式和同角三角函数关系即可求解【解答】解：0 ， ， sin（+ ）=sin（+ ） =故 ， cos（+ ）= ；又 ，sin （+ ）=cos （ + ）=cos（ ）= ，sin（ ）= cos（2 ）=cos（+ ）+（ ）=cos（ + ）cos（ ）sin （ + ）sin（ ）= =0故答案为：010如图，在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADC=90，AB=3，AD= ，E
12、 为 BC 中点，若 =3，则 = 3 【考点】平面向量数量积的运算【分析】以 A 为坐标原点， AB，AD 所在直线为 x，y 轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值【解答】解：以 A 点为原点， AB 所在的直线为 x 轴，AD 为 y 轴，建立如图所示的坐标系，AB=3，AD= ，E 为 BC 中点，A（0，0） ，B（3，0） ，D（0， ） ，设 C（x， ） ， =（3，0） ， =（x， ） ， =3，3x=3，解得 x=1，C（1， ） ，E 为 BC 中点，E（ ， ） ，即为（2， ） ， =（2， ） ， =（ 2， ） ， =2（ 2）+ =4+1=
13、3故答案为：311已知函数 f（x）在定义域 2a，3上是偶函数，在0，3上单调递减，并且 f（m 2 ）f（ m2+2m2） ，则 m 的取值范围是 【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据函数奇偶性的定义先求出 a 的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可【解答】解：因为函数 f（x）在定义域 2a，3上是偶函数，所以 2a+3=0，所以 a=5所以 f（ m2 ） f（ m2+2m2） ，即 f（m 21）f （ m2+2m2） ，所以偶函数 f（x）在3，0上单调递增，而m 210，m 2+2m2=（m1） 210，所以由 f（ m21）f（ m2+2m2）得 ，
14、解得 故答案为 12已知函数 f（x）= kx2（kR）有两个零点，则 k 的取值范围 k0 或 0k1 【考点】函数零点的判定定理【分析】若函数 f（x）有 2 个不同的零点，则 kx2=0 有 2 个不同的实数根再分（1）当 x=0 时、（2）x0 时 2 种情况，分别求出方程的根，综合可得方程有 2 个不相等的实数根的条件【解答】解：若函数 f（x）= kx2（kR）有两个零点，则 kx2=0 有两个不同的实数根（1）当 x=0 时，不论 k 取何值，方程恒成立，即 x=0 恒为方程的一个实数解（2）故只需 x0，函数 f（ x）= kx2（kR）有 1 个零点 kx2=0 有 1 个不
15、同的实数根 =k|x|有 1 个异根，函数 y= 与 y=k|x|有 1 个交点，如图示：，k0 时，由 =kx 得：kx 2+2kx+1=0，=4k 24k=0，解得：k=1，结合图象，k0 或 0k1，故答案为：k0 或 0k113若曲线 y=alnx 与曲线 y= x2 在它们的公共点 P（s，t）处具有公共切线，则 = 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出两个函数的导数，然后求出公共点的斜率，利用斜率相等且有公共点联立方程组即可求出 a的值【解答】解：曲线 y=alnx 的导数为：y= ，在 P（s，t ）处的斜率为：k= 曲线 y= x2 的导数为：y= ，在 P（s，
16、t ）处的斜率为：k= 由曲线 y=alnx（a0）与曲线 y= x2 在它们的公共点 P（s，t）处具有公共切线，可得 = ，并且 t= =alns，得 lns= ，s 2=e则 a=1，t= ，s= ，即 故答案为： 14设函数 f（x）=e x（2x1）ax +a，其中 a1，若存在唯一的整数 x0，使得 f（x 0）0，则 a 的取值范围是 ，1） 【考点】函数恒成立问题【分析】设 g（x）=e x（2x1 ） ，y=ax a，则存在唯一的整数 x0，使得 g（x 0）在直线 y=axa 的下方，由此利用导数性质能求出 a 的取值范围【解答】解：函数 f（x）=e x（2x1）ax +
17、a，其中 a1，设 g（x）=e x（2x1） ，y=axa，存在唯一的整数 x0，使得 f（x 0）0，存在唯一的整数 x0，使得 g（x 0）在直线 y=axa 的下方，g（x）=e x（2x+1） ，当 x 时， g（x）0，当 x= 时，g（x） min=g（ ）= 2e 当 x=0 时，g（0）= 1，g（1）=e0，直线 y=axa 恒过（1，0） ，斜率为 a，故ag（0）= 1，且 g（1 ）= 3e1a a，解得 a 的取值范围是 ，1） 故答案为： ，1） 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知
18、命题：“xx|1 x1，使等式 x2xm=0 成立 ”是真命题，（1）求实数 m 的取值集合 M；（2）设不等式（xa ） （x+a 2）0 的解集为 N，若 xN 是 xM 的必要条件，求 a 的取值范围【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法【分析】 （1）利用参数分离法将 m 用 x 表示，结合二次函数的性质求出 m 的取值范围，从而可求集合M；（2）若 xN 是 xM 的必要条件，则 MN 分类讨论当 a2a 即 a1 时，N=x|2axa，当a2a 即 a1 时，N=x|ax2a ，当 a=2a 即 a=1 时，N= 三种情况进行求解【解答】解
19、：（1）由 x2xm=0 可得 m=x2x=1 x 1M=m| （2）若 xN 是 xM 的必要条件，则 MN当 a2a 即 a1 时，N=x|2 axa，则 即当 a2a 即 a1 时，N=x|a x2a，则 即当 a=2a 即 a=1 时，N=，此时不满足条件综上可得16在ABC 中，三个内角分别为 A，B ，C，已知 sin（A+ ）=2cosA（1）求角 A 的值；（2）若 B（0， ） ，且 cos（A B）= ，求 sinB【考点】正弦定理；三角函数的化简求值【分析】 （1）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简可得 sinA= cosA，结合A（0，） ，可求 t
20、anA= ，进而可求 A 的值（2）由已知及（1）可求 AB= B（0， ） ，利用同角三角函数基本关系式可求 sin（AB）的值，利用 B=A（A B） ，根据两角差的正弦函数公式即可计算得解【解答】 （本题满分为 10 分）解：（1）因为 sin（A+ ） =2cosA，得 sinA+ cosA=2cosA，即 sinA= cosA，因为 A（0，） ，且 cosA0，所以 tanA= ，所以 A= （2）因为 B（0，） ，cos（ AB）= ，所以 AB= B（0， ） ，因为 sin2（AB）cos 2（AB）=1，所以 sin（AB ）= ，所以 sinB=sinA（A B）=si
21、nAcos（AB ）cosAsin（A B）= 17已知函数 f（x）= ， （其中 m、n 为参数）（1）当 m=n=1 时，证明：f（x）不是奇函数；（2）如果 f（x）是奇函数，求实数 m、n 的值；（3）已知 m0，n0，在（ 2）的条件下，求不等式 的解集【考点】函数奇偶性的性质；其他不等式的解法【分析】 （1）当 m=n=1 时，根据函数奇偶性的定义进行判断即可；（2）如果 f（x）是奇函数，根据奇函数的性质建立了方程关系即可求实数 m、n 的值；（3）根据函数的奇偶性将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：（1） ， ， ，f（ 1）f（1） ，f（x）不是奇函数； （2）f（x
22、）是奇函数时 f（ x）= f（x） ，即 对定义域内任意实数 x 成立化简整理得关于 x 的恒等式（2m n）2 2x+（2mn 4）2 x+（2m n）=0， 即 或 10 分（注：少一解扣 2 分）（3）由题意得 m=1，n=2， ，易判断 f（x）在 R 上递减， ， ， ，2 x3，xlog 23，即 f（x）0 的解集为（，log 23）18在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，cosC= （）若 ，求 c 的最小值；（）设向量 ， ，且 ，求 sin（B A）的值【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理【分析】 （）根据数量积的应用，结合余弦定理即可求 c 的
23、最小值；（）根据向量平行的坐标公式，利用三角函数的三角公式即可得到结论【解答】解：（） ，abcosC=ab = ，ab=15 ，c ，即 c 的最小值为 ；（） ， ，即 ， ，即 tan2B= ，2B= 或 ，即 B= 或 cosC= ，C ，sinC= B= 或 （舍去） =19如图，某广场中间有一块边长为 2 百米的菱形状绿化区 ABCD，其中 BMN 是半径为 1 百米的扇形，ABC= 管理部门欲在该地从 M 到 D 修建一条小路：在弧 上选一点 P（异于 M、N 两点） ，过点P 修建与 BC 平行的小路 PQ问：点 P 选择在何处时，才能使得修建的小路 与 PQ 及 QD 的总长
24、最小？并说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】连接 BP，过 P 作 PP1BC 垂足为 P1，过 Q 作 QQ1BC 垂足为 Q1，设PBP 1=，NBP= ，则总路径长 f（ ）= +4cos sin， （0 ） ，求导，可得函数的最小值点【解答】解：连接 BP，过 P 作 PP1BC 垂足为 P1，过 Q 作 QQ1BC 垂足为 Q1，设PBP 1= ，NBP= 若 ，在 RtPBP 1 中，PP 1=sin，BP 1=cos，若 ，则 PP1=sin，BP 1=cos，若 ，则 PP1=sin，BP 1=cos（ ）= cos， 在 Rt QBQ1 中，QQ 1=PP1=
25、sin，CQ 1= sin，CQ= sin， 所以总路径长 f（）= +4cos sin， （0 ） ，令 f（）=0， 当 时，f（）0 当 时，f（ ）0 所以当 时，总路径最短答：当 BPBC 时，总路径最短20已知函数 f（x）= x2， g（x）=alnx （1）若曲线 y=f（x）g（x）在 x=1 处的切线的方程为 6x2y5=0，求实数 a 的值；（2）设 h（x）=f（x）+g（x） ，若对任意两个不等的正数 x1，x 2，都有 2 恒成立，求实数 a 的取值范围；（3）若在1，e上存在一点 x0，使得 f（x 0）+ g（x 0） g（x 0）成立，求实数 a 的取值范围【
26、考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】 （1）求出函数 y 的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得 a 的方程，解得 a 即可；（2）由题意可得即为 0，令 m（x）=h（x）2x，可得 m（x）在（0，+）递增，求出导数，令导数大于等于 0，分离参数 a，由二次函数的最值，即可得到 a 的范围；（3）原不等式等价于 x0+ alnx 0 ，整理得 x0alnx0+ 0，设 m（x）=x alnx+ ，求得它的导数 m（x） ，然后分 a0、0ae1 和 ae1 三种情况加以讨论，分别解关于 a 的不等式得到 a 的取值，最后综上所述可得实数 a 的取值
27、范围是（ ，2） （ ，+） 【解答】解：（1）y=f（x）g（x）= x2alnx 的导数为 x ，曲线 y=f（x）g（x）在 x=1 处的切线斜率为 k=1a，由切线的方程为 6x2y5=0，可得 1a=3，解得 a=2；（2）h（x）=f（x）+g（x）= x2+alnx，对任意两个不等的正数 x1，x 2，都有 2 恒成立，即为0，令 m（x）=h（ x） 2x，可得 m（x）在（0，+）递增，由 m（x）=h （x）2=x + 20 恒成立，可得 ax（2x）的最大值，由 x（2x）=（x1） 2+1 可得最大值 1，则 a1，即 a 的取值范围是1，+ ） ；（3）不等式 f（x
28、 0）+ g（x 0） g（x 0）等价于 x0+ alnx 0 ，整理得 x0alnx0+ 0，设 m（x）=x alnx+ ，则由题意可知只需在1，e上存在一点 x0，使得 m（x 0）0对 m（x）求导数，得 m（x）=1 = = ，因为 x0，所以 x+10，令 x1a=0，得 x=1+a若 1+a1，即 a0 时，令 m（1）=2+a0，解得 a2若 11+a e，即 0ae 1 时，m（x）在 1+a 处取得最小值，令 m（1+a）=1+a aln（1+a ）+10，即 1+a+1aln（1+a） ，可得 ln（a +1）考察式子 lnt，因为 1t e，可得左端大于 1，而右端小于 1，所以不等式不能成立当 1+ae，即 ae 1 时，m（x）在1，e上单调递减，只需 m（e）0，得 a ，又因为 e1 = 0，则 a 综上所述，实数 a 的取值范围是（ ，2） （ ，+） 2016 年 12 月 24 日
