1、2017 届广西梧州高三（上）摸底联考数学（理）试题一、选择题1已知集合 ，则 （ ）|31,|24AxBx或 RCABA B C ,32,3D 24【答案】C【解析】试题分析： ， ，故选 C.31xACR3,2BACR【考点】集合的运算.2设 是虚数单位 ，如果复数 的实部与虚部是互为相反数，那么实数 的值为i 2aia（ ）A B C3 1313D-3【答案】C【解析】试题分析： ，由实部与虚部是互为52122iaiai 相反数得 ，解得 ，故选 C.a13【考点】复数的概念.3若 ，则 （ ）,/babmA B2 C-2 2D 1【答案】D【解析】试题分析：由 ， ，得 ，1,2a,b
2、3,2ba，由于 ，故 ，解得mba,2m/ m21，故选 D.1【考点】共线向量的坐标表示.4若 ，则 （ ）1cos23cos2A B C 4297979D【答案】B【解析】试题分析：由 得 ，则1cos2331sin，故选 B.97in2cos【考点】 （1）诱导公式；（2）二倍角公式.5在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）6x7xA60 B160 C180 D240【答案】D【解析】试题分析： 的展开式中421x，令 ，则含 的项的系rrrrrr xCxCT2516621 7r7x数为 ，故选 D.4026【考点】二项式定理.6下列有关命题的说法正确的是（ ）A命题“若 ，则 ”的否
3、命题为“若 ，则 ”2x224x2B命题“ ”的否定是“ ”,10R,10RxC命题“若 ，则 ”的逆否命题为假命题xysinxyD若“ 或 ”为真命题，则 至少有一个为真命题pq,pq【答案】D【解析】试题分析：命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”，24x242x2故 A错误；命题“ ”的否定是“ ，故 B,10R01,R错误；命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”xysinxyyxsinx为真命题，故 C错误；故选 D.【考点】命题的真假.7直线 被圆 截得的弦长为 ，则直线的倾斜角为3ykx2234y23（ ）A B56或 3或C D或 6【答案】A【解析】试题分析：圆 的圆
4、心 ，半径 ，圆心 到2234xy3,2r3,直线 的距离 ，直线 被圆 截3ykx12kdkx4y得的弦长为 ，由勾股定理得 ，即 ，解得2223dr 3142k，故直线的倾斜角为 或 ，故选：A3k65【考点】直线与圆的位置关系.【方法点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用求出圆 的圆2234xy心，半径，圆心 到直线 的3,23ykx距离，由此利用直线 被圆 截得的弦长为 ，由勾224y2股定理能求出 ，在由倾斜角和斜率的关系得到倾斜角.k8若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（
5、主）视图和侧（左）视图如图 1所示，则此几何体的表面积是（ ）A B4262C D68【答案】C【解析】试题分析：圆柱的侧面积为 ，半球的表面积为4211S，圆锥的侧面积为 ，所以几何体的表面积为212S3，故选 C.63【考点】由三视图求表面积.9执行如图的程序框图，若输出的结果是 ，则输入的 为（ ）156aA3 B4 C5 D6【答案】B【解析】试题分析：由程序框图知：算法的功能是求 的值，nS21211212nnS ，跳出循环的 值为 ，判断框的条件为 即 故选：1564nn44nB【考点】程序框图.10正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的体积为（
6、 ）A B C 24316816814D 7【答案】A【解析】试题分析：如图，正四棱锥 中， 为正四棱锥的高，根据球的ABCDPE相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心 必在正四棱锥的高线 所在的直线上，P延长 交球面于一点 ，连接 ， ，由球的PEFEF性质可知 为直角三角形且 ，根据平面几何中的射影定理可得，因为 ，所以侧棱长 ， ，所A2 2A2316RF以 ，所以 ，所以 故选 A418R949343V【考点】球的表面积和体积.11给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，fxyfxfxfx若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点” ，已知0f00,y函数 的拐点是 ，则点
7、 （ ）34sincoxx0MxfA在直线 上 B在直线 上3yx3yxC在直线 D在直线 上44【答案】B【解析】试题分析： ， ，xxfsinco3 0cosin4xf，所以 ，故 在直线 上故选：0cosin40x00,M3yB【考点】导数的运算.【方法点晴】本题是新定义题，考查了函数导函数零点的求法；解答的关键是函数值满足的规律，是中档题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.在该题中求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于，即可得到拐点，问题得以解决012已知椭圆 的左
8、、右焦点分别为 ，过 且与 轴垂直210xyab12,F1x的直线交椭圆于 两点，直线 与椭圆的另一个交点为 ，若 ，AB、 2AFC23ABCFS则椭圆的离心率为（ ）A B C 53105D 310【答案】A【解析】试题分析：设椭圆的左、右焦点分别为 ， ，由 ，代0,1cF,2cx入椭圆方程可得 ，可设 ， ，由 ，可得aby2abcA2,yxC, 23ABCFS，即有 ，即 ，可得CFA2xc,2 yabc,2，代入椭圆方程可得 ，由 ， ，即有abycx,142abce22c，解得 故选：A1422e5e【考点】椭圆的简单性质.【方法点晴】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方
9、程和向量的共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题在该题中，可设 ，代入椭圆cx方程，求得 的坐标，设出 ，由 ，可得 ，运用向AyxC, 23ABCFSCFA2量的坐标运算可得 ， ，代入椭圆方程，运用离心率公式，解方程即可得到所求值二、填空题13若 满足 ，则 的最小值为_,xy012zxy【答案】 2【解析】试题分析：由 得 ，作出不等式组 对应的平2zxy21zx01xy面区域如图（阴影部分），平移直线 ，由图象可知当直线 ，2zxy过点 点，由 可得 时，直线 的截距最大，此时 最小，A10yx2,A21zxy目标函数 的最小值是 故答案为： 2z【考点】简单的线性规划.【
10、方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14在 上随机取一个实数 ，能使函数 在 上有零点4,m2fxmxR的概率为_【答案】 37【解析】试题分析：若 有零点，则 ，解得2fxmx082m或 ，则函数 有零点的概率 ，故2mfy7343P答案为 73【考点】几何概型.15函数 的部分图象如图所示，则2sin0,2fxx的图象
11、可由函数 的图象至少向右平移_个单位得到fsig【答案】 6【解析】试题分析：由图可知 ，故 则4312543TT，故 ，将点 代入解析式得2Txfsin215，即 结合 得 ，15sin2 Zk,2653即 ，故 向右平移 个单位得到32ixf xgsin6，故答案为 .sinxf 6【考点】 （1）由 得部分图象求其解析式；（2）三角函数图象的变换.xAysi16已知 中，角 成等差数列，且 的面积为 ，则 边BC3, ABC12AB的最小值是_【答案】 .2【解析】试题分析： 成等差数列， ，又,2A3 ， ，由 得 ，CBA421sin2CabSABC2ab ，及 ，abaccos22
12、2 ，解得： ， 的最小值为 故答案为： 【考点】 （1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题由已知及等差数列的性质可得 ，结合三角形内角和定理可求 的值，CBA3B利用三角形面积公式可得 ，利用余弦定理及基本不等式即可解得2ab边的最小值AB三、解答题17已知数列 的前 项和为 ，且 nanS12n（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求使 对任意 恒成2122logllogn nba 8nbknN立的实数 的取值范围k【答案】 （1） ；（2） .*
13、naN10k【解析】试题分析：（1）首先利用递推关系式得出 ，由 得其通项1nS1nnSa公式；（2）利用（1）的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围试题解析：（1）因为 ，所以12nS12,n所以当 时， ，2n1nna又 ，满足上式，1aS所以数列 的通项公式n*2nN（2） 2122 1logllog132n nnbaa 由 对任意 恒成立，即使 对 恒成立8nk*nN8k*N设 ，则当 或 时， 取得最小值为 ，所以 .12nc34nc1010【考点】 （1）数列递推式；（2）数列求和.18质检部门从企业生产的产品中抽取 100件，测量这些产品的质量指标值，由测
14、量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间内的频率之比为：4：2：15,6,75,8（1）求这些产品质量指标值落在区间 内的频率；75,8（2）若将频率视概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取 3件，记这 3件产品中质量指标值位于区间 内的产品件数为 ，求 的分布列与数学期望45,7X【答案】 （1） ；（2）分布列见解析， .0. 81xE【解析】试题分析：（1）由题意，质量指标值落在区间 ，5,6,7内的频率之和，利用之比为 ，即可求出这些产品质量指标值落在区间75,8:24内的频率；（2）求出每件产品质量指标值落在区间 内的概率为 ，4,6.0利用题意可得： ，根据概率分布知
15、识求解即可3,0.6BX试题解析：（1）设区间 内的频率为 ，则区间 内的频率分758x5,6,7别为 和4x2依题意得 解得 ，010.9.310421x0.5所以区间 内的频率为 ；75,85（2）从该企业生产的该种产品中随机抽取 件，相当于进行了 次独立重复试验，3所以 服从二项分布 ，其中X,Bnp3由（1）得，区间 内的频率为 ，4570.2.106将频率视为概率得 0.6P因为 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 ；023.40.6PXC； ；12.4.8PXC2633066所以 的分布列为：0 1 2 3P0.064 0.288 0.432 0.216所以 的数学期望为 ，X0
16、.6410.28.4320.16.8EX【考点】 （1）频率分布直方图；（2）离散型随机变量的期望与方差；（3）离散型随机变量及其分布列.19如图，已知四棱锥 中，底面 为菱形，且 ，PABCDAB06DAB是边长为 的正三角形，且平面 平面 ，已知点 是 的中PABaCMP点（1）证明： 平面 ；/PBAMC（2）求直线 与平面 所成角的正弦值D【答案】 （1）证明见解析；（2） .2391【解析】试题分析：（1）连结 交 于 ，连结 利用三角形中位线与底边BOM平行得 ，运用线面平行判定定理可得结果；（2）取 的中点 ，连结/POABN，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，分别求出直线,ND
17、,N,xyz的方向向量 和平面 的法向量 根据 得结果.BAMCnnD,cosi试题解析：（1）连结 交 于 ，连结 ，BO因为 为菱形， ，所以 ，ACD/PB由直线 不在平面 内， 平面 ，所以 平面 .P/ACM（2）取 的中点 ，连结 ，则 ，ABN,PD09AN分别以 为 轴建立空间直角坐标系，,D,xyz则 3333,0,0,0,a0,0,222224aaBCAPaMa，则 ，,4AaM设平面 的法向量为 ，则 ，AMC,nxyz3024axyz令 ，则 ，3y31,xz即 ，又 ，,n,02aBD设直线 与 所成的角为 ，则 ，BD239cos1nPBA故直线 与平面 所成角的正
18、弦值为 AMC3【考点】 （1）直线与平面平行的判定；（2）直线与平面所成的角.【方法点睛】本题主要考查了利用线面平行判定定理判定线面平行以及利用向量法求直线与平面所成的角，属于基础题；常见的证明线面平行方法有：1、利用三角形的中位线；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等，在该题中利用（1） ，向量法在立体几何中的应用相当广泛，在该题中考查了在直线与平面所成的角中的应用即直线与平面所成角的正弦值即为直线的方向向量与平面的法向量所成角余弦值的绝对值.20已知点 的坐标为 ， 是抛物线 上不同于原点 的相异的两个动C1,0,AB2yxO点，且 OAB（1）求证：点 共线；,（2）若 ，当 时，求
19、动点 的轨迹方程QR0OQABQ【答案】 （1）证明见解析；（2） .214xyx【解析】试题分析：（1）利用 ，可得 ，根据 0AB12t， ，即可证明 ；（2）由题意知，点21,ACt21,Ct/ACB是直角三角形 斜边上的垂足，又定点 在直线 上， ，即可QO09Q求点 的轨迹方程试题解析：（1）设 ，则221122,0AtBttt，212,OAt因为 ，所以 ，又 ，所以0B120t12,t12t因为 ， ，21,ACt21,BCt且 ，22212120t ttt所以 ，又 都过点 ，所以三点 共线/, ,ABC（2）由题意知，点 是直角三角形 斜边上的垂足，又定点 在直线 上，QOA
20、B，所以设动点 ，则 ，09CB,xy,1,Qxyxy又 ，所以 ，即OA2102104动点 的轨迹方程为 Q24xyx【考点】抛物线的简单性质.21已知函数 2lnf（1）求函数 的单调区间；x（2）证明：当 时，关于 的不等式 恒成立；2ax21afxx（3）若正实数 满足 ，证明12,x2121120ff125x【答案】 （1）单调减区间为 ，函数 的增区间是 ；（2）证明见解析；1,fx0,1（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求导函数，从而可确定函数的单调性；（2）构造函数，利用导数研究其最值，将恒成立问题进行转化；12axxfg（3）将代数式 放缩，构造关于 的一元二次不等式
21、，解不2121ff 21x等式即可试题解析：（1） ，由 ，得20xfx0f，20x又 ，所以 ，所以 的单调减区间为 ，函数 的增区间是1xfx1,fx，,1（2）令 ， 2211ln1agxfxxax所以 21xx因为 ，2a所以 ，令 ，得 ，1xagx0gx1a所以当 ；当 时， ，10,0gx,a0gx因此函数 在 是增函数，在 是减函数，,a,1x故函数 的最大值为gx 211ln ln2gaaa令 ，因为 ，又因为 在 是减函1lna2ha2l04hh0,数，所以当 时， ，即对于任意正数 总有 ，0xg所以关于 的不等式 恒成立；x21afx（3）由 ，2121120ffx即
22、，22lnlnxx从而 121112lnxA令 ，则由 得， ，txAttt可知 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，0, ,所以 ，所以 ，又 ，1t2112xx120x因此 成立125x【考点】 （1）利用导数研究函数的单调性（2）函数恒成立问题.22几何证明选讲在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 是参数） ，以原点xOy1C3cos2inxtyt为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为C24sin4（1）求曲线 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；2C（2）若曲线 与曲线 交于 两点，求 的最大值和最小值12,AB【答案】 （1） ，其表示一个以 为圆心，半
23、径为 的圆；4xy2,2（2）最大为 ，最小值 .43【解析】试题分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法 ，即可得sinco22yx出结论；（2）由题意知曲线 是过点 的直线，结合图形可知，当直线1C3,2P过圆心时，弦长最长，当 为过点 且与 垂直时，弦长最短.1CAB， C试题解析：（1）对于曲线 有 ，即2 24sincos4，因此曲线 的直角坐标方程为 ，其表24xyC2xy示一个以 为圆心，半径为 的圆；,（2）曲线 是过点 的直线，由 知点 在曲1C3,2P22343,2线 内，所以当直线 过圆心 时， 的最大为 ；1， AB当 为过点 且与 垂直时， 最小， ，最小值AB，
24、2 23PC为 .24343d【考点】 （1）简单曲线的极坐标方程；（2）参数方程化为普通方程.【方法点睛】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用图形的几何特征解决直线与曲线交点的距离等内容常见的极坐标与直角坐标转化通过 实现，根据直线的参数方程的意sinco22yx义可知，直线过定点 且在圆内，本小题同时还考查考生的方程思想与数形结合32，思想，对运算求解能力有一定要求23不等式选讲已知函数 2fxxa（1）若 ，解不等式 ；a2f（2）若 恒成立，求实数 的取值范围fx【答案】 （1） ；（2） 或 .0a4【解析】试题分析：（1）当 时，不等式即 ，再根据绝对值的意义，112x求得不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求得 的最小值为ax可得 ，由此求得 的范围a2a试题解析：（1）当 时， ，即 ，解得 ；12fx12x1x（2） ，fx a若 恒成立，只需 ，a即 或 ，a2解得 或 .04【考点】绝对值不等式的解法.
