1、 数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ） 2|0Mx2|NyxMNA B C D,1,1,2,1,2.已知 为虚数单位，若 ，则 的虚部为（ ）i izzA1 B-1 C D i3.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的实轴长为（ ）2:10xya12yxCA1 B2 C4 D8 4.如图，一铜线的直径为 32 毫米，穿径（即铜线内的正方形小孔边长）为 8 毫米，现向该铜线内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜线的正方形小孔内
2、的概率为（ ）A B C. D141412165.若实数 满足 ，则 的最大值与最小值之差为（ ）,xy20,5,xzxyA7 B14 C.21 D以上都不对6.执行如下程序框图，输出的 值为（ ）SA9 B10 C.35 D847.设 ， ， ，则（ ）12alnb9log3cA B C. Dbcabacbacab8.在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则角C,A,sinsin3siBCACa的大小为（ ）BA B C. D3045601509.函数 的大致图象是（ ）21xefAA B C. D10.某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积的最大值为（ ）A2 B4 C.6 D711.
3、设 是椭圆 的左，右焦点， 为直线 上一点，若 是底角12,F2:10xyEabP2axc21FP为 的等腰三角形，则椭圆 的离心率为（ ）30A B C. D22344512.若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围11sincos2fxxaax0,2a是（ ）A B C. D10,716,091,7,0第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知正方形 的中心为 ， ，则 ABCDO1ABOBAC14.已知直线 的倾斜角为 ，则 :20lxycos2tan15.意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3
4、,5,8,13,21,34,55,89,114,233，即 ， ，若此数列被 3 整除后的余数构1Fx123,nFnN成一个新数列 ，则 207b n16.已知 为坐标原点， ，平面上动点 满足 ，动点 的轨迹为曲线 ，设圆O,3AN12OAC的半径为 1，圆心 在直线 上，若圆 与曲线 有且仅有一个公共点，则圆心 横坐M40xyMCM标的值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）已知 是等差数列 的前 项和，且 ， . 是数列 的前 项和，且nSna12a50SnTnb.12TN（）求数列 ， nb的通项
5、公式；（）求数列 的前 项和 .21lognnaAnU18.（本小题满分 12 分）为鼓励居民节约用水，某地实行阶梯水价，一户居民根据以往的月用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图（月用水量都在 到 之间）如图所示，将月用水量落入该区间的频率作为概率.若每月325m3的用水量在 以内（含 0），则每立方米水价 5 元，若每月的用水量超过 320m，则超过的部30分每立方米水价 6 元.记 （单位： 3， ）为该用户下个月的用水量， （单位：元）为下x2xT个月所缴纳的水费.（）估计该用户的月用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）将 表示成 的函数，并求当用户下个月水
6、费不超过 1120 元时，则下个月用水量最多是多少？Tx（）根据频率分布直方图，估计下个月所缴纳的水费 的概率.375,10T19.（本小题满分 12 分）如图 1，已知直角梯形 中， ， ， ， 是 的中点，ABCD/2BAD12ACDE是 与 的交点，将 沿 折起，如图 2，点 的位置记为 ，且 .HBDE =（）求证： ；AHBE（）求三棱锥 的体积.C20. （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中，一动圆 经过点 ，且与直线 相切，若该动圆圆心 的轨迹为xOy1,0F:1lxE曲线 .（）求曲线 的方程；C（）若点 是曲线 上的动点（不在 轴上），过点 作直线 的垂线交直线 于点
7、 Q.判断点 运PxFPlP动时，直线 与曲线 的交点个数，并证明你的结论 .Q21. （本小题满分 12 分）已知函数 lnfxab（ 为实数）的图象在点 处的切线方程为 ., 1,f 1yx（）求实数 的值及函数 的单调区间；,fx（）设函数 ，证明：当 时 ，.1fgx1212gxx12x请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 ，以原点 为极点， 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线:10lxyOx的极坐标方程为 .C24sin5（）将直线 写成参数方程 （ 为参数，
8、）的形式，并求曲线的直角坐 标方l1cosinxtyt0,C程；（）设直线 与曲线 交于点 （点 在第一象限）两点，若点 的直角坐标为 1,0，求lC,ABM的面积.OMA23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .1fxmx（）若 ，求函数 的值域；f（）若 ，解不等式 .23x试卷答案一、选择题1. 【解析】由题得， ， ，故 .故D|12Mx或 |2Ny2,1,MN选 .2. 【解析】由题得， 1iz，故 ，其虚部为 1.故选 .AziA3. 【解析】因为双曲线 的渐近线方程为 ，又 ，故 ，所以双曲线 的实CC12byxab2aC轴长为 .故选 .24a4. 【
9、解析】由几何概型知，所求概率 .故选 .B28164PB5. 【解析】由 得 ，其表示的可行域为如图所示的三条直线围成的三角形C20,45,xy20,45,xy区域（阴影部分及边界）.三条直线的交点分别为 ， ， ，当 4x， 2y时， ，当3,5A4,2B,5Cmax8210z， 时， ，所以 .故选 .3x5ymin1zmaxin10zC6. 【解析】执行程序框图，有 ， ，第 1 次执行循环体， ， ；第 2 次执行循环体，CiS1S0， ；第 3 次执行循环体， ， ；满足条件 ，退出循环体，输出的 值为 35.故10Si 357i6iS选 .7. 【解析】由题得， ， ， ，故 .故
10、选 .B12aln1be91log32cbacB8. 【解析】由正弦定理，得 ，即 ，再结合余弦定理，A3bcacA2bac可得 ，因此 .故选 A.2cos30B9. 【解析】由题得， ，所以不选 项.当 时， ，故排C221xxef fe,D0xy除 项.故选 .B10. A【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示.， 底面 ， ， ， ， ， ，OACxPABC3PO2ABCOyBAC24xy故 ，当且仅当 时，取等号，故此几何体的体积21423PBxyVy x有最大值为 2.故选 .A11. 【解析】设直线 交 轴于点 ，因为 是底角为 的等腰三角形，所以B2axM21FP
11、3021PF120， ，且 ，因为 为 直线上一点，所以 ，解得21PF2PFax2ac.所以椭圆 的离心率为 .故选 .2acEeB12. 【解析】由题得， ，D22 211cosin3si4sin3si4fxxaxaxa依题意，函数 在区间 上为增函数，故 在区间 0,上恒成立，令 i0,1t，fx0,f因此 ，讨论二次函数对称轴与区间的相对位置，易得 时，234,1gtatmingt.故选 D.0a二、填空题13.-1 【解析】由题得， . 12cos351OABCA14. 【解析】由题得， ，所以 ，15tan2222inta3cosis5tan22tan43，所以 . 341cost
12、515.1 【解析】斐波那契数列的前几项为 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987，则数列 的前几项为 1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，因此数列 nb是周期数列，其周期为 8，因nb此 . 201716.0 或 【解析】设 ，由 ，得 ，化简，得5,Nxy12ONA22243xy22xy，故曲线 表示为以 为圆心，2 为半径的圆.由题意得，圆 与圆 只能相外切，其中4C0,1CM，故 ，解得圆心 的横坐标 或 125.,24Ma22241aM0a三、解答题17.解：（）设等差数列 的公差为 ，nd根据题意，则
13、有 12,50ad解得 .1d所以 .naN又 ， ，12T12n两式相减，得 ，nb当 时， ，121所以 .nN（）由（）得， ，2211log 1lognnnabnAA所以 .123nUN18.解：（）由题得，月用水量的平均值.350.10.815.320.50.1230.61x m由 ，得 ，120T6012x即 ，x即下个月用水量最多为 .3m（）由 ，得 .375,10T75,2x则 .036.0.4507PP19.解：（）在图 1 中，连接 .BE在梯形 中， ， ， ， 是 的中点，ABCD/2AD12BACDE四边形 是正方形， E， . H在图 2 中， ， ， ABD 2
14、HE又 ， ，1E 22A .H ， 平面 .BD BC平面 C， .HE （）由（）得， ABCV 113262BCDSDA .20.解：（）圆心 到定点的距离与到定直线的距离相等，且定点不在定直线上，E故由抛物线的定义可知，圆心 的轨迹为抛物线，点 为焦点，直线 为抛物线的准线，F:1lx设抛物线方程为 ，2ypx由题得， ，所以 ，1故曲线 的方程为 .C24yx（）设点 ，点 ，则 .,Qt0,Py204x由 ，得 ，0FPA1xtA所以 .02ty所以直线 的方程为 ，PQ000021xy即 ，0021yx因此 .代入抛物线方程 ，24yx得 .20y判别式 .220016xyx故直
15、线 与曲线 有且仅有一个交点 .PQC21.解：（）由题得，函数 的定义域为 ，fx,，1lnfxax曲线 在点 处的切线方程为 ，,f 1yx，1ln0,fab解得 ， .令 ，得 ，lfx 1xe当 时， ， 在区间 内单调递减；10e0f f10,e当 时， ， 在区间 内单调递增.xfx fx,函数 的单调递减区间为 10,e，单调递增区间为 1,e. f（）由（）得， .lnfxgx由 ，1212gxx得 ，12lnl即 .212l0x要证 ，需证 ，即证 ，12x21211lnxxA2121lnx设 ，则要证 2121lxx，等价于证 .21t ltt令 ，lnutt则 ，2211
16、0ttt在区间 内单调递增， .ut ,10ut即 ，2lnt故 .1x22.解：（）直线 的倾斜角为 ，因此写成参数方程的形式为 ，:10lxy41cos,4in.xty由 ，24sin5得曲线 的直角坐标方程为 .C229xy（）将直线 的参数方程代入圆 的直角坐标方程，lC得 ，240t设 是方程的两根，12,解得 ， ，t2t又 点在第一象限，A故 点对应 1t，代入到 ，sin4yt得到 点纵坐标 ，2Ay因此 .1OMS23.解：（）当 时， ，m112fxxx当且仅当 ，即 时，取等号.10x故函数 的值域为 .f2,（）当 时， .2m12fxx则 .33fx当 时，由 ，得 1x，此时解集为 ；1x|1x当 时，由 ，得 ，此时解集为 ；2x12当 时，由 3x，得 ，此时解集为 .x|x综上所述，不等式的解集为 .,1,
