1、页 1 第2018 届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）一、选择题（每小题 5 分，满分 60 分） 1. 若集合 ，且 ，则集合 可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 集合 ，且 ，故 ，故 答案中 满足要求，故选 A.2. 已知 为虚数单位） ，则“ ”是“为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当 时， 是纯虚数， 充分性成立，当是纯虚数时，则 ，解得 必要性成立， 是为纯虚数的充分必要条件，故选 C.3. 平面向量与 的夹角为 ，则 （ ）A. B.
2、 C. D. 【答案】C【解析】由已知 ， ，故选 C.4. 若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C考点：直线与圆的位置关系.5. 如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（ ）页 2 第A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 垂直相交【答案】C【解析】在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行,当两个平面相交时,在这两个平面内存在直线,使得这两条直线互相平行,当两个平面平行时，在这两个平面内存在直线，使得这两条直线互相平行，故这两个平面有可能相交或平行，所以这两个平面的位置关系是相交或平行
3、，故选 C.6. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 中 是奇函数且在 上是减函数； 中 ， 是偶函数，中 在 分别是减函数，但在定义域 上不是减函数， 中 非奇非偶，故选 A.7. 在等差数列 中， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由等差数列的性质可得 ， ，则 ，即 ，也即，所以 ，到直线 ，所以，应选答案 C。8. 已知实数 满足约束条件 ，且 的最小值为 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】页 3 第画出约束条件 表示的可行域，如图， 表示点 与可行域内动点 连线的斜率，由图可知 两
4、点连线斜率最小，由 可得 ，即 的值为 ，故选 D.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9. 如图， 均垂直于平面 和平面 ， ，则多面体 的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意，多面体 为棱长为 的正方体，切去两个角， 多面体 的外接球的直径为，半径为 多面体 的外接球的表面积
5、为 ，故选 C.10. 已知正数 满足 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C页 4 第【解析】设曲线在点 处的切线的倾斜角为 ，则 ，故 故选 C.11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图知：几何体为三棱锥 ，如图，其中 平面 平面 ，几何体的体积 ，故选 B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素
6、“高平齐，长对正，宽相等” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12. 已知椭圆的左焦点为 ，右焦点为 .若椭圆上存在一点 ，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段 相切于线段 的中点，则该椭圆的离心率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D页 5 第【解析】如图，设以椭圆的短轴为直径的圆与线段 相切于 点，连接 分别是 的中点，且 ， ，根据椭圆的定义， ，两边平方得： ， 代入并化简得 ， ， ，即椭圆的离心率为 ，故选 D.【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属
7、于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;找出 之间的关系，构造 的齐次式求出离心率；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解二、填空题（每题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸的横线上）13. 将函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位所得图象对应函数的解析式是_【答案】【解析】解：结合三角函数的平移变换公式可知，函数平移之后的解析式为：.14. 设 为不等式 表示的平面区域，直线 与区域 有公共点，页 6 第则 的取值范围是 _.【答案】【解析】由题设 到直线 的距离 ，解之得 ，应填
8、答案 。15. 将圆心角为 ，面积为 的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的体积等于_.【答案】【解析】设圆锥的母线为，底面半径为 ， ，又 圆锥的高是圆锥的表面积是 ，圆锥的体积是 ，故答案为 .16. 下列说法正确的有_.函数 的一个对称中心为 ；在 中， 是 的中点，则 ；在 中， 是 的充要条件；定义 ，已知 ，则 的最大值为 .【答案】【解析】 对于函数 ，令 ，求得 ，故函数 的图象的一个对称中心为 ，故正确；在 中， 是 的中点，则 ，页 7 第故正确 ；在 中， ，等价于 ，等价于 ，等价于 ，等价于，等价于 ，故正确；定义 ，已知，画出 和 的图象，如图所示，则由图可知，当 时， 取
9、得最大值为 ，故正确，故答案为.【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查向量的线性运算及三角函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外 ，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题17. 已知 是等差数列，满足 ，数列 满足 ，且 是等比数列.（1）求数列 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和.【答案】 （1） ， ；（2） .【解析】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公
10、差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前 n 项和公式即可求得数列 前 n 项和。试题解析：（）设等差数列an的公差为 d，由题意得d= = = 3a n=a1+（n1）d=3n设等比数列bnan 的公比为 q，则q3= = =8， q=2，bnan=（b 1a1）q n1=2n1， bn=3n+2n1（）由（）知 bn=3n+2n1， 数列3n的前 n 项和为 n（n+1） ，数列2n 1的前 n 项和为 1 = 2n1，页 8 第数列 bn的前 n 项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和。18. 中，内角 的对边分别为
11、 ，已知 （1）求 的值； （2）设 ，求 的值 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由 b2=ac 及正弦定理得 ，利用同角三角函数之间的关系、两角和的正弦公式及诱导公式化简 为 ，再根据 可得结果；（2）由 得，由 ，可得 ，即 ，再利用余弦定理即可得结果.试题解析：（1）由 得 ，由 b2=ac 及正弦定理得 于是 （2 ）由 得 ，由 ，可得 ，即 ，由余弦定理 b2=a2+c22accosB 得 a2+c2=b2+2accos B=5.19. 三棱柱 ，侧棱与底面垂直， , 分别是 的中点（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面 平面 页 9 第【答案】 （1）证明
12、见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）欲证 平面 ,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 与平面内一直线平行即可,而连接 ，根据中位线定理可知 ， 又 平面 满足定理所需条件；（2）证明 ，即可证明 平面 ，从而证明平面 平面 .试题解析：（1）连接 在 中， ， 是 ， 的中点， ，又 平面 ， 平面 （ ）三棱柱 中，侧棱与底面垂直，四边形 是正方形， ， ，连接 ， ，则 ， ， 是 的中点， ， ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、平面与平面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关
13、键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.20. 已知圆心在 轴上的圆 与直线 切于点 .（1）求圆 的标准方程；（2）已知 ，经过原点，且斜率为正数的直线 与圆 交于 两点.（）求证： 为定值；（）求 的最大值.【答案】 （1） ；（2）证明见解析， .【解析】试题分析：（1）由题意设 ，运用两直线垂直的条件：斜率之积为 ，解得， 再由两点的距离公式可得半径，进而得到所求圆的标准方程；（
14、2） （i）设直线的方程为 ，联立圆的方程，可得的二次方程，运用韦达定理， 即可证得 为定值；(ii)由两点的距离公式，以及韦达定理和基本不等式，化简整理，即可得到所求最大值.页 10 第试题解析：（1）设圆心 的坐标为 ，则 ，又 ，由题意可知， ，则 ，故 ，所以 ，即半径 . 故圆 的标准方程为 .（2）设直线 的方程为 ，由 得： ，所以 ， .（） 为定值，（）（当且仅当 ，即 时等号成立）故 的最大值为 .21. 已知函数 （1）求函数 的单调区间；（2）若关于 的不等式 恒成立，求整数的最小值【答案】 （1）所以当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时， 的单调递增区
15、间为 ，单调递减区间为 ；（2） .【解析】试题分析：(1)首先对函数求导，然后对参数分类讨论可得当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间，页 11 第当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ;(2)将原问题转化为 在 上恒成立，考查函数 的性质可得整数的最小值是 2.试题解析：(1) ，函数 的定义域为 .当 时， ，则 在 上单调递增，当 时，令 ，则 或 (舍负)，当 时， ， 为增函数，当 时， ， 为减函数，当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间，当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .(2)解法一：由 得 ， ，原命题等价于 在 上恒成立，令 ，则 ，令 ，则 在 上单
16、调递增，由 ， ，存在唯一 ，使 ， .当 时， ， 为增函数，页 12 第当 时， ， 为减函数， 时， ， ，又 ，则 ，由 ，所以 .故整数的最小值为 2.解法二： 得，令 ， 时， ， 在 上单调递减， ，该情况不成立 . 时，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增， ，恒成立 ，即 .令 ，显然 为单调递减函数 .由 ，且 ， ，当 时，恒有 成立，故整数的最小值为 2.综合可得，整数的最小值为 2.页 13 第点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命
17、题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用选修 4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数） ，直线 的方程为 ，以 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线 和直线 的极坐标方程；（2）若直线 与曲线 交于 两点，求 .【答案】 （1） ， 或 ；（ 2） .【解析】试题分析：（）消去参数 得出 的普通方程，再利用 转化
18、为极坐标方程，然后把直线方程转化为极坐标方程；（）由极坐标方程联立方程组，利用韦达定理，即可求出 的值.试题解析：（）曲线 的普通方程为 ,则 的极坐标方程为 , 由于直线 过原点,且倾斜角为 ,故其极坐标为 (或 )（）由 ,得 ,故 选修 4-5：不等式选讲23. 已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若 且直线 与函数 的图象可以围成一个三角形，求 的取值范围.页 14 第【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）分三种情况讨论，分别列出关于 的不等式组，求解不等式组，然后求并集即可得结果；（2）化简函数 为分段函数 ，画出分段函数的图象及线 的图象，利用数形结合思想解答即可.试题解析：（1）由 ，即 ，得： 或 或 ，解得： ，不等式 的解集为 .（2）作出函数 的图象，如图所示，直线 经过定点 ，当直线 经过点 时， ，当直线 经过点 时， ，当 时，直线 与函数 的图象可以围成一个三角形.
