1、页 1 第临川一中 2019 届高三暑期测试理科数学试题一、 单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分1若集合 2,10,A，集合 3,201B ，则 BA（ ）A. 0, B. 3 C., D.1,0232.复数 1i的虚部为（ ） A. 3i B. i C. 3 D. -33等差数列 9,27,9,963741 前则 数 列中 nn aaaa项的和 9S等于（ ）A 6B 9C D 24若 ()fx是奇函数，且在 0,内是增函数，又 (3)0f，则 ()0xf的解集是（ ）A.303或 ；B. 3xx或C. x或 ； D. 或5设 sinco4,3则 22sincos （
2、 ） A 13 B 51 C 135 D 5136下列说法中正确的是（ ）A. 为了了解 800 名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为 40 的样本，则分组的组距为 40；B.“，函数在定义域内单调递增”的否定为真命题；C.“”是“”的必要条件；D.函数与函数的图象关于直线对称 .7若关于 x方程 2210mx的一个实根小于 -1，另一个实根大于 1，则实数 m的取值范围是（ ）A. , B. ,0 C. , D. ,18在三棱锥 SABC中，底面 是直角三角形，其斜边 4AB， SC平面 AB，且 3SC，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 25 B. 0 C
3、. 16 D. 39北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如果棋、层坛之类，这种长方台形状的物体 垛积.设隙积共 n层，上底由 ab个物体组成，以下各层的长、宽一次各增加一个物体，最下层（即下底）由 cd个物体组成，沈页 2 第括给出求隙积中物体总数的公式为 226nsbdac6na.已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（ ）A. 83 B. 84 C. 85 D. 8610点是双曲线右支上一点，分 别为左、右焦点.的内切圆与轴相切于点.若点为线段中点，则双曲线离心率为（ ）A. B. C. 3 D. 211定义在
4、 上的偶函数，其导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为 （ ）A. B. （ ，1）（1，+）C. （1，1） D. （1，0）（0，1）12定义在 R上的函数 fx满足 12ffx，当 0,2时， 231,0,xf，函数 32gxm，若 4,st，不等式 fsgt成立，则实数 m的取值范围（ ）A ,12 B , C ,8 D 31,2二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13定积分_ .14如图所示的程序框图，若输入 201n，则输出的 s值为_ 15.某个班级组织元旦晚会，一共准备了、 、 、 、 、六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排或
5、，最后一个节目不能排，且、要求相邻出场，则不同的节目顺序共有_ 种. 16记若是等差数列，则称为数列的“等差均值”;若是等比数列，则称为数列的 “等比均值”.已知数列的“等差均值”为 2,数列的“等比均值”为 3.记，数列的前项和为，若对任意的正整数，都有,则实数的是否开始 结束3in1输出 s输入0s页 3 第取值范围是_三、解答题17 （本小题满分 12 分）已知角 A、B、C 为 ABC 的三个内角，其对边分别为 a、b 、c，若 )2sin,co(Am， )2sin,(co，a2 3，且 21nm（1 ）若ABC 的面积 S 3，求 bc 的值（2 ）求 bc 的取值范围18 （本小题
6、满分 12 分）某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取 100 名，按年 龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图 如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样 本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估 计值(均精确到个位） ；（2）在抽取的这 100 名市民中，按年龄 进行分层抽样，抽取 20 人参加华为手机宣传活动，现从 这 20 人中，随机选取 2 人各赠送一部华为手机，记这 2 名市民年龄在内的人数为，求的分布列及数学期望.19 （本小题满分 12 分）如图，在矩形中，,是的中点，将沿向上折起，使平面平面()求证：;
7、()求二面角的大小.页 4 第20 （本小题满分 12 分）平面直角坐标系 xOy中，经过椭圆 C： 21(0)xyab的一个焦点的直线 30xy与 C相交于 ,MN两点， P为 的中点，且 OP斜率是 4.()求椭圆 的方程；()直线 l分别与椭圆 和圆 D： 22()xyrba相切于点 AB、 ，求 的最大值.21 （本小题满分 12 分）已知函数 e1xfa（ e为自然对数的底, aR为常数）.（）讨论函数 fx的单调性;（）对于函数 h和 g,若存在常数 ,km,对于任意 xR,不等式 hxkmgx都成立,则称直线 ykxm是函数 x的分界线,设 1a,问函数 f与函数 21是否存在“
8、分界线”？若存在,求出常数 k;若不存在,说明理由.请考生 在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22 （本小题满分 10 分）已知直线 l的参数方程为 cos inxty (其中 t为参数)，以坐标原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2cos40m（其中 m）.(1)若点 M的直角坐标为 3,，且点 M在曲线 内，求实数 的取值范围；(2)若 3m,当 变化时，求直线 l被曲线 截得的弦长的取值范围 .23 （本小题满分 10 分）已知.(1)当时，求不等式的解集；
9、页 5 第(2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围.页 6 第临川一中 2019 届高三暑期测试理科数学试题二、 单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。ACBDA BDACD BC二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。3284 三、解答题17 （本小题满分 12 分）已知角 A、B、C 为 ABC 的三个内角，其对边分别为 a、b 、c，若 )2sin,co(Am， )2sin,(co，a2 3，且 21nm（1 ）若ABC 的面积 S 3，求 bc 的值（2 ）求 bc 的取值范围【答案】 （1） 4 （2） 的取值范围是 4,32【解析】试题分析
10、：（1）由 1nm可得 1cosA ，可得 ，又由 231ABCSbcsin ，可得 4bc ，最后由余弦定理可求 4b 试题解析：（1）（cos 2，sin ） ， n（cos 2，sin ） ，且 mn 12，cos 2 Asin 2 1，即 1cosA ， 又 03A（ ， ） ， 又由 3BCSbcsinA ，所以 4b ，由余弦定理得： 222csacb ， 216bc （ ），故 4 （ 2）由正弦定理得： sinisincaBCA 23i4，3BCA又 ，44433bcsinisinBisin又 （ ） （ ） ，0B 3，则页 7 第3B 23，则 sin（B 3）1，即 bc
11、 的取值范围是 4,18 （本小题满分 12 分）某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取 100 名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位） ；（2）在抽取的这 100 名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取 20 人参加华为手机宣传活动，现从这 20 人中，随机选取 2 人各赠送一部华为手机，求这 2 名市民年龄都在内的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】 （1）39，39（2）见解析【解析】分析：(1)根据组中值与对
12、应区间概率的乘积得平均数，根据中位数对应概率为 0.5，列式可得结果， （2）先根 据分层抽样得区间人数，再确定随机变量取法，利用组合数求对应区间概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：解：()平均值的估计值中位数的估计值：因为，所以中位数位于区间年龄段中，设中位数为，所以，.()用分层抽样的方法，抽取的 20 人，应有 6 人位于年龄段内，14 人位于年龄段外。依题意，的可能值为 0,1,2,页 8 第分布列为0 1 2.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利
13、用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的 概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度19 （本小题满分 12 分）如图，在矩形中，,是的中点
14、，将沿向上折起，使平面平面()求证：; ()求二面角的大小.【答案】(）见解析；() 90.【解析】试题分析：（ ）根据题意可得，的值，可推出，根据平面平面且是交线，即可证 明平面，从而证明；() 设中点为,中点为,连接，可推出， 则平面，即可以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用空间向量夹角的余弦公式即可得结果 .试题解析：（）证明：由题意可知，,.页 9 第在中 ,所以；平面平面且是交线，平面 平面平面.() 解：设中点为,中点为,连接.平面，.以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴建立空间直角坐标系，如图则，从而, , .设为平面的法向
15、量，则，可以取.设为平面的法向量，则可以取.因此， ，有，即平面平面.故二面角的大小为 90.点睛：本题主要考查线线垂直及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角.20 （本小题满分 12 分）平面直角坐标系 xOy中，经过椭圆 C： 21(0)xyab的一个焦点的直线 30xy与 C相交于 ,MN两点， P为 的中点，且 OP斜率是 4
16、.()求椭圆 的方程；页 10 第()直线 l分别与椭圆 C和圆 D： 22()xyrba相切于点 AB、 ，求 的最大值.【答案】() 214xy；()1.【解析】试题分析：()设出点 M,N 的坐标，利用点差法计算可得 24ab，结合焦点坐标有 23ab，据此计算可得椭圆 C的方程是214xy；()设 ,AB分别为直线 l与椭圆和圆的切点， 0,Axy，联立直线与椭圆的方程有221480kxm，利用判别式 0，可得 4km， 01，直线 l与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此可得21rk， 234r，则224|5ABr，结合绝对不等式的结论有当 ,r时， AB的最大值是 1.试题解析
17、：()设 1,Mxy， 2,Nxy，则124y， 12， 21ab， 21xyab，由此可得212124yybaxx， 2，又由题意知， C的右焦点是 3,0，故 23ab，因此 24a， 21b，所以椭圆 的方程是 214xy；()设 ,AB分别为直线 l与椭圆和圆的切点， 0,A，直线 l的方程为： ykxm，代入214xy得2214840kx，判别式 0，得 224mk，02k， 20 1kyx页 11 第直线 l与 22xyr相切，所以 21mrk，即 221rk，再由得214rk， 234mr，220|ABxyr216krm221643r245r，因为 2244rr，当 21,r时取
18、等号，所以 21r，因此当 1,时， AB的最大值是 121 （本小题满分 12 分）已知函数 exfa（ e为自然对数的底, aR为常数）.（）讨论函数 fx的单调性;（）对于函数 h和 g,若存在常数 ,km,对于任意 xR,不等式 hxkmgx都成立,则称直线 ykxm是函数 x的分界线,设 1a,问函数 f与函数 21是否存在“分界线”？若存在,求出常数 k;若不存在,说明理由.【答案】 （）见解析；（）见解析.【解析】试题分析：（）当 0a时，得 fx在 R上单调递增，再分 0a和 两种情况讨论，即可求解函数 fx的单调性；（）把存在 211ekmx恒成立，转化为 2xk恒成立，进而
19、只需判断2xe是否恒成立，设出新函数 1xFe，利用导数得到函数 Fx单调性和最值，即可求解实数 ,k的值试题解析：（）当 0a时, xfe,则 f在 R上单调递增当 时, 1xa,令 10xa若 ,则 ,f随 的变化情况如下表：页 12 第x1,a1a1,af 0fx1fa则 fx在 1,a单调递减,在 1,a单调递增若 0a,则 ,fx随 的变化情况如下表：x1,a1a1,af0fx1fa则 fx在 1,a单调递增,在 1,a单调递减综上, 当 0a时 , fx在 R 上单调递增;当 0时, fx在 1,a单调递减,在 1,a单调递增;当 时, f在 1,a单调递增,在 1,单调递减（）若
20、 存在,则 2xekmx恒成立,令 0x,则 1m,则 1211kx恒成立即 20恒成立,由 2k得 k现在只需判断 xe是否恒成立设 2F,则 2xFe,令 0Fx 且当 0x时, 0x;当 时 , 0页 13 第则 Fx在 0处取得最小值,且 0F则 12ex恒成立,即证 12xe恒成立故存在分界线,且 y, k, m22 （本小题满分 10 分）已知直线 l的参数方程为 cos inxty (其中 t为参数)，以坐标原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 2cos40m（其中 m）.(1)若点 M的直角坐标为 3,，且点 M在曲线 内，求实数 的取值范
21、围；(2)若 3m,当 变化时，求直线 l被曲线 截得的弦长的取值范围 .【答案】 （1） 7,；（2） 4,1.【解析】试题分析：（1）化曲线 C的参数方程为 直角坐标方程 是: 224xmy由点 M在曲线 的内部，可得 22394m，解不等式可得实数 的取值范 围；(2)根据极径的几何意义可得直线 l截得曲线 的弦长为： 2212112436cos1，根据三角函数的有界性可得结果.试题解析：(1)由 cos inxy得曲线 C对应的直角坐标方程为: 224xmy由点 M在曲线 C的内部， 22394m,求得实数 m 的取值范围为 7,.(2)直线 l的极坐标方程为 ，代入曲线 C的极坐标方
22、程整理得 26cos40，设直线 与曲线 C的两个交点对应的极径分别为 121212cs， ， ， ，则直线 l截得曲线 的弦长为： 1243,3.即直线 与曲线 截得的弦长的取值范围是 ,323 （本小题满分 10 分）已知.(1)当时，求不等式的解集；页 14 第(2)若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】 （1） （2）【解析】分析：(1)当时，不等式即，零点分段可得不等式的解集为.(2)原问题等价于关于的不等式恒成立，由绝对值三角不等式的性质可知，则，据此可得的取值范围是.详解：(1)当时，由，得，当时，由，得;当时，由，得;当时，由，得;综上所述，的解集为.(2)不等式，即为，即关于的不等式恒成立，而 ，当且仅当时等号成立，所以，解得或,解得或.所以的取值范围是.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法” 求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
