1、海淀区 2017 届高三数学查漏补缺题2017.5 说明： 个别题目有一定难度 ，个别题目方向有偏差，请谨慎选用！1、 提供的题目并非一组试卷，小题（选、填）主要针对以前没有考到的知识点，或者在试题的呈现形式上没有用过的试题。2、 教师要根据自己学校的学生情况，有针对性地选择使用，也可以不用。3、 后期教师要根据自己学校情况, 注意做好保温练习，合理安排学生时间。4、 因为是按照中心组教师的建议和一些教师的建议匆匆赶制而成，难免出错，希望老师们及时指出问题，以便及时改正。【集合与简易逻辑部分 】 向量，三角，函数，不等式，1.设集合 10Ax，集合 21xB，则集合 AB等于A. 0 B. x
2、 C. 0 D . 1x答案：B2.设全集 UZ，集合 (2)3AxZ，则 UA. 0,123 B. -1,0 C.10， ， ， ， D.012， ， 答案：D3.在 ABC中， “ ”是“ sini“AB的A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件答案：A4.已知 ()2sin()3fx，则“ xR， ()(ffx”是“ =2”的A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件答案：C5.已知直线 1:0laxy， 2:(1)30lxay，则“ 1a”是“ 1l/ 2”的A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D 既
3、不充分也不必要条件答案：B6.设 ,(0)ab ，则“ ab”是“ log1ab”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D【二项式定理与排列组合（理科） 】若 5234501(12)xaxaxax，则 3_（用数字作答）答案： -80【复数】若 i1mn，则实数 m_，实数 n_.解： ,ii=(1+i)i=i1mnn所以 ,.【极坐标系与参数方程（理科） 】1.在极坐标系中，射线 4被圆 sin截得的弦长为_答案： 22.在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 sin()24，若以极点为原点，极轴所在直线为 x轴建立直角坐标系，则 C 的
4、直角坐标方程为_.答案： 2yx3.若曲线 的参数方程为 2cos,1inxy（参数 ,2） ，则曲线 CA.表示直线 B. 表示线段 C. 表示圆 D.表示半个圆答案：D【数列】1.记函数xye在 (1,23)n 处的切线为 nl. 若切线 nl与 1的交点坐标为 (,)nAB，那么A. 数列 nA是等差数列，数列 nB是等比数列B. 数列 与 B都是等差数列C. 数列 n是等比数列，数列 n是等差数列D. 数列 A与 都是等比数列答案：A2.已知数列 na满足：点 ,na在直线 210xy上，若使 1a、 4、 m构成等比数列，则m=_ 133.已知数列 12321,n是首项为 1 ，公差
5、为 1 的等差数列，则数列 na的通项公式na.答案： (1)2n4.已知数列 na, , *13,naN,则 2468102aa=_解析: 法一: 通过具体罗列各项 34, 5, 7 , , 7, 81a, 93, 104a, 16,127a,所以 468102aa=57法二: 由递推关系进一步可得相邻几项之间的关系 13,na123,n两式相减可得 ,a所以数列 n 隔项成等差数列，所以 2468102,aa是以 2 为首项，以 3 为公差，共有6 项的等差数列，用求和公式得 2= 6575.已知等差数列 na的前 项和为 nS，且 10a， 56S，下列四个命题中，假命题是A.公差 d的
6、最大值为 2 B. 70 C.记 nS的最大值为 K， 的最大值为 30 D. 20167a答案：B6.已知数列 na 的通项为15,ln,4a，若 na 的最小值为 314，则实数 a的取值范围是_.答案： 8l67（文）. 已知 na是等差数列，满足 12a， 4，数列 nb满足 1， 46b，且 nab是等比数列.（）求数列 na和 b的通项公式；（）若 *N，都有 nk成立，求正整数 k的值.解: （）设 na的公差为 d，则 413a所以 2(1)42n，故 na的通项公式为 na（ *N）.设 ncb，则 c为等比数列.112a， 44168ab设 nc的公比为 q，则 31c，故
7、 2q.则 12n，即 2nnab所以 14b（ *N）.（）由题意， k应为数列 nb的最大项.由 1114(1)2424nnnb（ *N）当 3时， 10nb， 1nb，即 23b；当 时， ，即 34；当 3n时， 10nb， 1nb，即 56b所以数列 中的最大项为 3和 4.故存在 3k或 4，使 *nN，都有 nkb成立.【三角函数部分】1.在 ABC中，若 1a， 4A，则 2sincobC 22.在 中，角 B 为钝角，则 sinB_sin(A+B).（填“” 或“3.设偶函数 ()sin)fx， 0，若 ()fx在区间 0,至少存在一个零点，则 的最小值为 124.已知 si
8、n43a，则 _ 2（填 “ 或 “） ； sin73_（用 a 表示）答案： 2；（） 的可能取值为 0，600，3400，4000，0 600 3400 4000P1613的数学期望为 700340E2.(文科) 由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定 20 名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下：5860 6520 7326 6798 73258430 8215 7453 7446 67547638 6834 6460 6830 98608753 9450 9860 7290 7850对这 20 个数据按组距 1000 进行分组，并统计整理，绘制了如
9、下尚不完整的统计图表：步数分组统计表（设步数为 x）组别 步数分组 频数A 5500x6500 2B 6500x7500 10C 7500x8500 mD 8500x9500 2E 9500x10500 n（）写出 m，n 的值，若该 “微信运动”团队共有 120 人，请估计该团队中一天行走步数不少于 7500 步的人数；（）记 C 组步数数据的平均数与方差分别为 1v， 2s，E 组步数数据的平均数与方差分别为 2v， s，试分别比较 1v与 2， 1s与 2的大小；（只需写出结论）（）从上述 A ，E 两个组别的步数数据中任取 2 个数据，求这 2 个数据步数差的绝对值大于 3000 步的
10、概率解答:（）m=4，n=2 ，48 人；（） 1v 2；（）A 组两个数据为 5860，6460，E 组两个数据为 9860,9860任取两个数据，可能的组合为(5860,6460)、(5860,9860)、(5860,9860)、(6460,9860)、(6460,9860)、(9860,9860)，共 6 种结果记步数差的绝对值大于 3000 为事件 AA=(5860,9860)、(5860,9860)、(6460,9860) 、(6460,9860)共包括 4 种结果所以 42()63PA=.3.（理科）已知一个由 11 人组成的评审委员会以投票方式从符合要求的甲，乙两名候选人中选出一
11、人参加一次活动.投票要求委员会每人只能选一人且不能弃选，每位委员投票不受他人影响.投票结果由一人唱票，一人统计投票结果.()设：在唱到第 k 张票时，甲，乙两人的得票数分别为 kx， y，N(k )= kxy，k= 1，2，11.若下图为根据一次唱票过程绘制的 N(k)图，则根据所给图表，在这次选举中获胜方是谁? 7y的值为多少? 图中点 P 提供了什么投票信息?()设事件 A 为 “候选人甲比乙恰多 3 票胜出”，假定每人选甲或乙的概率皆为 12，则事件 A 发生的概率为多少?()若在不了解唱票过程的情况下已知候选人甲比乙 3 票胜出 .则在唱票过程中出现甲乙两人得票数相同情况的概率是多少?
12、解：()因纵轴表示每次唱票时甲的得票数减乙的得票数故从图表可看出，唱票顺序为甲，甲，乙，乙，乙，乙，甲，甲，甲，甲，乙故-2-1 kN(k)=xk-y21 1098765 1432P甲胜出(本结论可由第 11 个点的位置马上就可判断甲赢，如果最后一个点在横轴下，则乙赢)7y=4(从图上看第 7 个点在上升段，应是甲得一票，而之前的下降段，从第二点算起共 4 个点，故都是乙得票)图中点 P 从位置上看意味着 4=0xy，即甲乙第 4 轮唱票后得票数相同.(答案为各得 2 票也正确)() 若事件 A“候选人甲比乙恰多 3 票胜出”发生由甲乙得票共 11 张故甲得 7 票，乙得 4 票因每位委员投票
13、不受他人影响，且每人投甲的概率为 12故事件 A 发生的概率 474165()()20pAC()设事件 B 为“在已知条件下，在唱票过程中出现甲乙两人得票数相同情况 ”根据第一问的分析可知，如果只知道选举结果，则在生成这种结果的过程中存在两人选票一样的可能.由第一问提供的图表可看出，由于结果中甲的得票数为 7 高于乙的得票数 4故当第一张选票为乙时，散点图中一定存在点在横轴上，即出现两人得票相等的情况，这样的点图一共有 4130C种（即 10 位评委里再选 3 位投给乙）当第一张选票为甲时，散点图可能有点在横轴上，也可能无点在横轴上，如下图所示的两种投票可能而图二的每一种情况对于第一张选票为乙
14、时的情况一一对应， （最后一次票数相等前图形关于横轴对称，最后一次票数相等后图形重合）故当第一张选票为甲时出现两人得票相等情况的点图同样为 310C种而所有与唱票情况对应的散点图共 41C种故事件 B 的概率为304128()p-2-1 kN(k)=x-yk21 1098765432 -2-1 kN(k)=x-yk21 1098765432【解析几何】1.已知实数 ,xy满足20,56.yx若 +zxmy的最小值是 5则实数 m取值集合是A 4,6 B 7,4 C 7,4 D 7,64答案：B2.已知 ,xy满足0,4y，则 2xy的最大值为 . 答案： 163.已知圆 C 过点（1,0） ，
15、 （0， 3） ， （-3，0） ，则圆 C 的方程为_.答案： (x+1)2+y2=4 （利用几何图形特征得出答案）4.已知双曲线 21(,)xab的两条渐近线相互垂直，那么双曲线的离心率为 .答案：5.若双曲线21(0,)xyab的一条渐近线的斜率为 2，则离心率 e=_答案： 56.已知椭圆 C：21(0)xyab，椭圆 C的右焦点 F的坐标为 (3,0)，短轴长为 2.（I）求椭圆 的方程；（II）若点 P为直线 4x上的一个动点， A， B为椭圆的左、右顶点，直线 AP， B分别与椭圆 C的另一个交点分别为 ,MN，求证：直线 N恒过点 (1,0)E.解：（I）由题意可得 21,3b
16、a，解得 24a，所以椭圆 C的方程为214xy.（II）由214xy可得椭圆的左、右顶点为 (2,0)(,AB.设 (,)Pm， 12(,)(,)MxNy，则:6Ay， :mBPx由 2(),4xy可得22()=49，解得2189mx， 1269y由 2(),mx可得 22()x，解得22()， 22123MEyk， 213NEymk， MEkN所以 ,三点共线，即直线 恒过点 (1,0).另法：由 2(),64myx可得22()=49xx，解得2189m，由 2(),xy可得 22()，解得22()，所以 221212136()9143MEN mkxx所以 ,三点共线，即直线 MN恒过点
17、(,0)E.7.如图，已知 1F、 2是椭圆 G：21()xyab的左、右焦点，直线 l： (1)ykx经过左焦点 1F，且与椭圆 G 交于 A、B 两点， AB 2F的周长为 43。（）求椭圆 G 的标准方程；（）是否存在直线 l，使得 AB 2为等腰直角三角形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由。解：（）设椭圆 G 的半焦距为 c，因为直线 l 与 x 轴的交点为( 1，0)，故 c1.又AB 2F的周长为 43，即 243ABFa，故 a .所以， 21bac。因此，椭圆 G 的标准方程为213xy.注：本小题也可以用焦点和离心率作为条件，即将周长换离心率。（）不存在。理
18、由如下：先用反证法证明 AB 不可能为底边，即 2AFB。由题意知 2(1,0)F，设 1(,)Axy， (,)y，假设 2F，则 211xy，又23，23x，代入上式，消去 21,y，得：1212()6)0x。因为直线 l 斜率存在，所以直线 l 不垂直于 x 轴，所以 12x，故 126x.（与 12123,36xx矛盾）联立方程 (1)ykx，得： 22()360kxk，所以21263x6，矛盾。故 AFB。再证明 AB 不可能为等腰直角三角形的直角腰.假设AB 2为等腰直角三角形，不妨设 A 为直角顶点.设 1AFm，则 23m，在A 12F中，由勾股定理得： 22(3)4m，此方程无
19、解。故不存在这样的等腰直角三角形。注：本题也可改为是否存在直角三角形？会简单一些。改为是否存在等腰三角形则不易计算，也可修改椭圆方程使存在等腰直角三角形。【函数与导数】 1.已知函数 e()1xaf为奇函数.（1）则 a 1（2）函数 2()gxfx的值域为 _.(1,0), 2.下列函数图象不是轴对称图形的是A. 1yx B. cos,02y C. D. lgx答案 C3.如图，点 P 在平面上从点 A 出发，依次按照点B、C、D、E、F、A 的顺序运动，其轨迹为两段半径为 1 的圆弧和四条长度为 1，且与坐标轴平行的线段.设从运动开始射线 OA 旋转到射线 OP 时的旋转角为 .若点 P
20、的纵坐标 y 关于 的函数为 ()f，则函数()f的图象（ ）A. 关于直线 4成轴对称，关于坐标原点成中心对称；B. 关于直线 3成轴对称，没有对称中心；C. 没有对称轴，关于点 (,0)成中心对称；D. 既没有对称轴，也没有对称中心.解答：函数 ()fx的最小正周期为 2，图象如下所示，故答案为 D.DAxByCEFOP4. 已知曲线 1:Cexy与曲线 2:C2()yxa.若两个曲线在交点处有相同的切线，则实数 a的值为_.答案： 2ln4a解析： exy， ()a设两曲线的公共点坐标为 0(,)xy，依据题意可得02e(),xa消 0ex可得 200()()ax，所以 0x，所以 0e
21、4，即 0ln4x，所以 2la.5. 已知函数 2=()exf，试判断是否存在 m 使得 yfx与直线 320ym（m 为确定的常数）相切？解： 2()3exfx-，设 g-=，则 2()exg-=，可推得 ()gx极大值为 (2)1g=，所以 2()3exfx-无解.所以不存在 m 满足题意.6.已知函数 2()(xfeaR（）求 的单调区间； （）若 1a，判断 ()fx是否存在最小值，并说明理由.解：（） ()fx的定义域为 .R2()()2()x xfeaea 令 0f，得 12, 当 2a，即 时， ()0fx恒成立， ()fx的单调增区间为 (,)，无单调减区间 当 ，即 时，
22、， f的变化情况如下表：x(,)a(,2)a(2,)()f+ 0 - 0 + 极大值 极小值 所以， ()fx的单调增区间为 (,)a， (2,)，单调减区间为 (,2)a 当 2a，即 时， fx， f的变化情况如下表：(,2)(,)a(,)()fx+ 0 - 0 + 极大值 极小值 所以， ()f的单调增区间为 (,2)， (,)a，单调减区间为 (2,)a （） x有最小值 21,()1)xafe令 0fx得 5. 所以， ()fx有两个零点 当 12或 12时， 0f当 5x时， ()fx 由（）可知， ()f在 ,， 1,)上单调增，在 (2,1)上单调减， ()f有最小值 1 【创
23、新试题】某人第一天 8:00 从 A 地开车出发，6 小时后到达 B 地，第二天 8:00 从 B 地出发，沿原路 6 小时后返回 A地。则在此过程中，以下说法中一定存在某个位置 E，两天经过此地的时刻相同一定存在某个时刻，两天中在此刻的速度相同一定存在某一段路程 EF（不含 A、B） ，两天在此段内的平均速 度相同。 （以上速度不考虑方向）正确说法的序号是_.答案：分析：这是一个原创题，起源于一个智力题，小和尚下山与上山，途中必有一点，两天都在同一时刻经过。这就是本题第一个问题。此题贴近生活，叙述简单，考察学生运用数学知识分析问题解决问题的能力，运用了数学建模思想，函数与方程思想，数形结合思
24、想，对具体问题进行抽象思维，符合北京高考命题思路与方向。设函数 s(t)表示此人第一天距离 A 地的路程，则其是一个不减的函数，设函数 l(t)表示此人第二天距离 A 地的路程，则其是一个不增的函数，其中 t 表示时间，s(t)、l(t)的定义域都是【0,6】值域相同。同一坐标系画出 s(t)、l(t)的图像，必有一个交点，即两天中在此刻经过此点（如图 1）画出两天的速度（自变量为时间 t）函数图像并求定积分（即与x 轴围城的面积） ，其几何意义就是路程，不可能一个总在另一个下方。在交点处时刻，他们的速度相等（如图 2） 错误,是在某个路程函数 s(t)中，过 f(x) 上一点作平行于 x,y轴的矩形，如果四个顶点都在曲线上，则意味着速度的绝对值相等，(对角线就是割线，斜率就是平均速度)但不是每种函数曲线都能成功，图 3 显示可以，函数模型就是两个一次函数图 4 显示不成功，可以构造函数模型为 （这里假定时间 (0,6)tAB 之间距离为 4）1,(02)()3,64xs34,(1)(6,5xl在这个图像上经计算，找不到这样的矩形。
