1、2018 届河南省周口市高三上学期期末抽测调研 数学（理）试题一、单选题1若集合 ， ，则 （ 2540AxNx|5,ByxAB）A. B. C. D. 0,51,21,30,1234,【答案】D【解析】 ，2540,AxNx|,1,350By本题选择 D 选项.2设复数 满足 ，则 （ ）z2iizA. 3 B. C. 9 D. 1010【答案】A【解析】由题意可得： 25i等式两边同时取模， 3z故选3已知 ， ， ， ，则 的大小关系为（ ）132a135b32logc,abcA. B. C. D. ccab【答案】B【解析】 是单调递减函数， 13yx1302532abclog故选 B
2、4正方体 中 为棱 的中点（如图） ，用过点 ， ， 的平1ACDBE1BAE1C面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）【答案】C【解析】试题分析：由已知可得剩余几何体的左视图应是选项 C.【考点】1、组合体；2、几何体的三视图.【方法点晴】本题主要考查组合体和几何体的三视图，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.解决本题需要较强的空间想象能力.5将函数 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把图sin
3、()6yxR4像上各点的横坐标扩大到原来的 2倍（纵坐标不变） ，则所得到的图像的解析式为（ ）A B5sin(2)(1yx5sin()12xyRC DiRi4【答案】 B【解析】将函数 的图像上所有的点向左平行移动 个单位长度可以得sin()6yx4到函数 的图象，再把图像上各点的横坐标扩大到原5sin()sin()6412yxx来的 2倍（纵坐标不变）可以得到函数 的图象，故选 B5sin()12yx6将一个骰子连续掷 3次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）A. B. C. D. 19158【答案】A【解析】设等差数列的公差为 d当 时， 种0d6当 时， 种14当 时， 种
4、当 时， 种2当 时， 种3621P故选 A7已知实数 满足 ，则 的最小值为（ ）,xy0 26xy2xyA. 1 B. 3C. 4 D. 6【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数在点 处取得最小值为 .220yxx,4【考点】线性规划.8宋元时期数学名著算学启蒙 中有关于“松竹并生 ”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 分别为 5,2，则输出的 （ ）,abnA. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】B【解析】模拟程序运行，可得： 52ab， ， 不满足条件 ，执行循环体1nab， ， ，
5、 不满足条件 ，执行循环体2458， ， 不满足条件 ，执行循环体316， ， ab， 满足条件 ，退出循环，输出 的值为4n032ab， ， n4故选 B9函数 的部分图像大致为（ ）sin1xyA. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，1sinxy定义域为 ， ，即 ，故排除01x， ， AD，当 时， ，故排除xsifC故选 B10如图所示，在正四面体 中， 是棱 的中点， 是棱 上一动ABDEPC点， 的最小值为 ，则该正四面体的外接球的体积是（ ）PE7A. B. C. D. 63623【答案】A【解析】在正四面体 中，所以棱长都相当，当 的最小值为 时，ABCDBPE7应当展开
6、面 与面 ，连接 时最小，不妨设 ，由余弦定理得EAx27104xcos解得 ，即棱长为 ，过点 作 面 ，取 中点 ，连接 ，则AGBCDFB，3AF，故 ，由勾股定理得 ，解得G263222633R62R所以34V6故选 A11设 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲线12,F2:1(0,)xyCabA的左顶点，以 为直径的圆与双曲线某条渐近线交于 两点，且12 ,MN，则该双曲线的离心率为（ ）0MANA. B. C. D. 3973【答案】A【解析】试题分析：以 为直径的圆方程 ，与渐近线 相交12F22xycbyxa，根据对称性得0,Nxy， ，解得 ， 0,Mxy022 byxac
7、,Nab,Mab又 ， ， ， ， ,Aa24A2Ab，由余弦定理得24Nbc，整理得 ，因此离心率22204cos1cab 237ca，故答案为 A.13ea【考点】1、双曲线的简单几何性质； 2、余弦定理的应用 .12已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围xafeR0,1a（ ）A. B. C. D. 1,1,【答案】C【解析】当 时， 在 上为减函数，在 上为0axaye12lna， 12lna，增函数，且 恒成立xye若函数 在区间 上单调递增，xafR01，则 在区间 上单调递增，xye01，则 ，解得12lna( ，当 时， 在区间 上单调递增，满足条件0xxafe01，
8、当 时， 在 上单调递增，令 ，则axyR0xayexlna则 在 上为减函数，在 上为增函数xfe(0 lna， ln，则 ，解得lna1综上所述，实数 的取值范围 ，故选 C点睛：本题考查知识点是函数的含绝对值的分类讨论。结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论 ， ， 时，实数 的取值范围，然后0a0aa再综合讨论结果即可得到答案。二、填空题13已知平面向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则ab31b23ab_a【答案】2【解析】 23ab，即1ab2241ab24cos601a化简得： ，28aa点睛：本题主要考查的知识点是向量模的计算，向量数量积的计算，属于基础题。利用 ，即
9、 ，根据向量数量积的运算，化简得出21ab2241ab关于 的方程，求解即可得到答案。14在 的二项展开式中， 的项的系数是_.（用数字作答）8x2x【答案】70【解析】根据二项式定理, 的通项为 ，81x34821rrrTCx当 时,即 r=4 时,可得 .342r2570T即 项的系数为 70.x15已知直线 交抛物线 于 和 两点，以 为直径的圆1ykx24xyEF被 轴截得的弦长为 ，则 _x27k【答案】 【解析】由 消去 y 整理得 ，21 4ykx240xk设 ，12,ExF则 ，21k 212124ykxk由抛物线的定义可得 ，2124EFyk以 为直径的圆的半径为 ，圆心到
10、x 轴的距离为212yk由题意得 ，2271k解得 答案： 116在 中， ，则 ABC2sin3si,n2cosinABCACB【答案】132【解析】试题分析： 2 52sinsicos3in2si()1663AAAA22abc 2222sinosinsico3sin3abcacbBCBC，因此22()abc22213302bcbc所以1.ACbBc【考点】正余弦定理【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第
11、二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.三、解答题17(本小题满分 12分)已知数列 的前 n项和 ，且 na(1)2nnaS1（）求数列 的通项公式；（）令 ，是否存在 ，使得 、 、 成等比数列若存在，lnba(2,)kNkb12k求出所有符合条件的 值；若不存在，请说明理由【答案】 （） ；（）不存在.n【解析】试题分析：（1）给出 与 的关系，求 ，常用思路：一是利用nSana转化为 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 的递推21aSnn nS关系，先求出 与 的关系，再求 ；由 推 时，别漏掉 这种情况，大部nn1分学生好遗忘;(2)与
12、数列有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点.试题解析：解法 1：当 时， ， 1 分2n11()2nnnaaS即 3 分()na所以数列 是首项为 的常数列 4 分n1a所以 1(*)nnaN所以数列 的通项公式为 6 分(*)na解法 2：当 时， ， 1 分n112nnnaS即 3 分1()na 4 分13212 1321nana n 因为 ，符合 的表达式 5 分1n所以数列 的通项公式为 6 分na(*)naN（）假设存在 ，使得 ， ， ，成等比数
13、列，(2,)kkb12k即 7 分21kkb因为 ，ln()a所以 10分2222ln()ln()ln(2)k kkbk . 11分21l()k这与 矛盾21kkb故不存在 ，使得 成等比数列 12 分(,)N+12kkb、 、【考点】数列综合应用.18如图是某市 2017 年 3 月 1 日至 16 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于 表示空气质量优良，空气质量指数大于 表示空气重度污染，某人AQI10 20随机选择 3 月 1日至 3月 14日中的某一天到达该市.（1）若该人到达后停留 天（到达当日算 1天)，求此人停留期间空气质量都是重度2污染的概率；（2）若该人到达后停留 3 天
14、 (到达当日算 1 天 ，设 是此人停留期间空气重度污染X的天数，求 的分布列与数学期望.X【答案】 （1） （2）54107【解析】试题分析：（1）根据互斥事件的性质可得等式求结论（2）首先得 的所有X可能取值为 ，然后一一计算对应概率即可，最后列表写出分布列求期望,3试题解析：解：设 表示事件“此人于 3月 日到达该市” .依题意知， iAi 1,24i，且 .14iPijj(1)设 为事件“此人停留 天空气质量都是重度污染” ，则B2，所以121314A，即此人停留 天空气质2213145PPA2量都是重度污染的概率为 .514(2) 由题意可知， 的所有可能取值为 ，且X0,13， 4
15、8948930 14PXAPAPA， 21421143PXAPAPA，31233，5101414X(或)，35671035671054PXAAPAPAP所以 的分布列为 023P31451431414故 的期望 .X 0027E点睛：掌握互斥事件间的概率计算性质， ，所以121314BAA然后根据分布列写法，一一列1212134PBAPAP出概率求解即可19如图，已知 与 分别是边长为 1 与 2 的正三角形， ，四DEFBC/CDF边形 为直角梯形，且 ， ，点 为 的重心， 为C/DGABN中点， 平面 ， 为线段 上靠近点 的三等分点.GMF（）求证： 平面 ；/GMDFN（）若二面角
16、的余弦值为 ，试求异面直线 与 所成角的余BC74MNCD弦值.【答案】 （）见解析;（） .27【解析】试题分析：连 延长交 于 ，推导出 ，又 为 中点，AGBCOGFANB所以 ，又 ，所以 ，从而证明 平面 ；NOCADFNFAMD 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，利用向OCxOEyAz量法能求出异面直线 与 所成角的余弦值MND解析：（）解：在 中，连 延长交 于 ，因为点 为 的重心ABGBCOGABC所以 ，且 为 中点，又 ，23AG23F所以 ，所以 ；OF/又 为 中点，所以 ，又 ，NBN/AD所以 ，所以 四点共面/D,又 平面 ， 平面GMF所
17、以 平面/（）由题意， 平面 ，所以 ，平面 平面 ，ABCEOBCABCDE且交线为 ，BC因为 ，所以 平面 ，又四边形 为直角梯形， ， ，所以 ，所以 平DE21D/EO面因为 ， ，所以平面 平面 ，/F/ /AF又 与 分别是边长为 1 与 2 的正三角形，A故以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，OCxOEyz设 ，则 ， ， ， ， Dm1,0,0Dm,0313,2m， ，1,0B3,2N因为 3AMF所以 ， ， 1,m2,0BC423,mBM设平面 的法向量 ，则 ，取 ，B,nabc 0n,n平面 的法向量 ，CD0,1所以二面角 的余弦值 ，Mco
18、sn2743m，又 ， 213m523,6mN0,CDcos,CDM274直线 与 所成角的余弦值为 .MNCD2720已知右焦点为 的椭圆 与直线 相交于 两F2:1(3)xyMa37y,PQ点，且 .PQ（1）求椭圆 的方程；（2） 为坐标原点， 是椭圆 上不同的三点，并且 为 的重心，OA， ,BCOABC试探究 的面积是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，说明理由.BCA【答案】(1) (2) 的面积为定值2143xyABC92【解析】 （1）设 ， ，则 ， ,0Fc3,7Pt3,7Qt，即 ，237ta24ta， ，即 ，PFQ371tc297ct由得 ，249a又 ， ， 23
19、ac2椭圆 的方程为 M14xy（2）设直线 方程为： ，ABykxm由 得 ， 2143xykm22484101228346kmxy为重心， ， O226,34kmCOAB点在椭圆 上，故有 ，E228143kk可得 ， 243mk而 ，22 22 28141419333mkAB mk点 到直线 的距离 （ 是原点到 距离的 3倍得到） ，C2ddAB， 222661 919312344ABCSkmm当直线 斜率不存在时， ， ， ，ABdABCS的面积为定值 9221已知函数 8lnfxaxR（）当 时， 取得极值，求 的值；1（）当函数 有两个极值点 ，且 时，总有 fx12,()x1x
20、1ln2axm成立，求 的取值范围.2143m【答案】 （） ;（） .6a【解析】试题分析：求导后，代入 ， 取得极值，从而计算出 的值，1xfxa并进行验证(2)由函数 有两个极值点算出 ，继而算出 ，不等f 08a102x式转化为 ，构造新函数21112lnmxx，分类讨论 、 、 时三种情况，从而212lnmxhx2m2计算出结果解析：（） ， ，则28 (0)xafx10f6a检验 时， ，6a13 ()f所以 时， ， 为增函数；0,1x0fxfx时， ， 为减函数，所以 为极大值点31x（） 定义域为 ，有两个极值点 ，则fx,2,()在 上有两个不等正根280ta所以 ，所以6
21、4 20tx8a.所以 ，所以121 0ax21124 0xx102x这样原问题即 且 时， 成立12x1211ln43amxx即 11124ln4xm即 11l2xx即 ，即112ln0m21112ln0mxx且110 20x时时设 2ln(2)mxhx2 (02)mxhxx 时， ，h所以 在 上为增函数且 ，x0,210h所以， 时， 不合题意舍去.1x 时， 同舍去mh 时2（） ，即 时可知 ，在 上 为减函数且 ，010hx,2hx10h这样 时， ， 时 ，x这样 成立22ln01mx（） ，即 时 分子中的一元二次函数的对称轴 开0lh 12xm口向下，且 1 的函数值为 21
22、0令 ，则 时， ， 为增函数， min,a,xa0hxx10h所以， 故舍去0hx综上可知： 1点睛：本题考查了含有参量的函数不等式问题，在含有多个参量的题目中的方法是要消参，从有极值点这个条件出发推导出参量 及 的取值范围，在求解 的范围时注a1xm意分类讨论，本题综合性较强，题目有一定难度22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ） ，以坐标xOyC 2xcostyin0a原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为x l.cos24（）设 是曲线 上的一个动点，当 时， 求点 到直线 的距离的最大值；PC23aPl（）若
23、曲线 上所有的点均在直线 的右下方，求 的取值范围 .l【答案】 （） ;（）420,【解析】 【试题分析】 （1）可先将直线的极坐标化为直角坐标方程，再借助曲线参数方程得到形式运用点到直线的距离公式建立目标函数，通过求函数的最值使得问题获解；（2）先将问题进行等价转化为不等式恒成立，然后再借助不等式恒成立建立不等式进行求解：解：(1)由 ，得 ，化成直角坐标cos24cosin2方程，得 ，即直线 的方程为 ，依题意，设2xyl40xy，则 到直线 的距离3cos,inPtPl，当4cos42i62cos6ttd t ，即 时， ，故点 到直线 的距离的6tk2,tkZmaxdPl最大值为
24、.4(2)因为曲线 上的所有点均在直线 的右下方， ， Cl tR恒成立，即cos2in0at（其中 ）恒成立， ，又 ，解得t2tan24a0a，故 取值范围为 .03,3点睛：求解第一问时，可先将直线的极坐标化为直角坐标方程，再借助曲线的参数方程的形式，运用点到直线的距离公式建立目标函数，通过求函数的最值使得问题获解；求解第二问时先将问题进行等价转化为不等式 t， 恒成立，然后再借助不等式恒成立建立不等式Rcos2in40at使得问题获解。2423选修 4-5：不等式选讲已知 .1fxx（）求 的解集；2（）若 ，求证： 对 ，3gxxR12agxaR且 成立.0a【答案】 （） ;（）见解析.|2【解析】试题分析：讨论 的范围，去掉绝对值符号解出；x利用绝对值不等式的性质转化得出解析：（）由 ，得 或2f201 x201 x或 或 或201xx012x所以 ，所以 的解集为02x2f|（）因为 ， ，1|a1a1122aa，当且仅当 时取等号，122a0所以 ，即 ，1313a又因为当 时，xR， .3|22xmingx所以 ，对 ，且 成立1agaR0点睛：本题主要考查的是带绝对值的不等式，考查了基本不等式的应用与绝对值不等式的解法，属于基础题，在含有绝对值的题目中首先考虑如何去绝对值，运用分类讨论的方法去绝对值，然后解不等式
