1、2017-2018 学年度第一学期江苏省南通如皋市高三年级第一次联考数学试题一、填空题1设集合 U1，2，3，4 ， A1，2，3， B2，3， 4，则 U(A B)_【答案】 4，【解析】由 ， ，则 ，故 ，故1,A,34B2,1,4U答案为 .,2 函数 的定义域为_2logfxx【答案】 0,e【解析】由已知可得 ，故答案为 .21l02xx0,23 已知平面向量 a， b 满足| a|1 ，| b|2， a 与 b 的夹角为 60，则|2 a b|的值为_【答案】2【解析】因为 ， ， 与 的夹角为 ，所以b60，故 ，故答案为 2.2214442abab 2a点睛：本题主要考查了数
2、量积的应用之求向量的模长，属于基础题；求向量模长常用的方法：利用公式 ，将模的运算转化为向量数量积的运算，同时须注意展开以2后是含有 ，而不是 .abb4 若指数函数 的图象 过点 ，则不等式 的解集是fx2,452fxf_.【答案】 1,【解析】设21115422xxxxfafaf 解集为 .21510xxxx,5 已知函数 ，则 _.23,0xff9f【答案】 2【解析】 .91312fff6在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b ，c ，若 ，则os3cosBbAcosA_【答案】 13【解析】 ，由正弦定理，可得coscosab， ，即siniinBCABincosis3i
3、ncosABAC， ，故答案为 .3A13点睛：正弦定理和余弦定理是解三角形的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，一般的利用公式 （ 为三角形外接圆2siaR半径）可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，往往用到三角形内角和定理和两角和与差的正、余弦公式等.7已知函数 的零点在区间 内，则正整数 的值为ln4fx1k， k_【答案】2【解析】由函数的解析式可得函数在 上是增函数，且 ， 0,2ln40f，故有 ，根据函数零点的判定定理可得函数在3ln40f23f区间 上存在零点，结合所给的条件可得，故 ，故答案为 2.2, k8 已知函数
4、 在区间 上是单调 增函数，则实数 的取值范321fxax0, a围是_.【答案】 【解析】求导 在 上2221 101fxaaxx0,恒成立，即 .19已知函数 的周期为 4，将函数 f(x)的图象向sinf，右平移 个单位后，所得图象关于原点轴对称，则函数 yf (x)在 上的值域为3 01，_【答案】 12，【解析】函数 的周期为 4， ，即sin0fx， 2，将函数 f(x)的图象向右平移 个单位后得： sin2fx13，由其为图象关于原点轴对称，故 ，i6ysin06， ，故 ，0sin26fx ， ， ，即值域为 ，故答案为,1x,2631,fx1,2.,210已知函数 ，其中 为
5、自然对数的底数，则不等式1exfe的解集为_240fx【答案】 3，【解析】 ， ，即1e,xfR1xxfeefx函数 为奇函数，又 恒成立，故函数 在 上单调递fx0xf fR增，不等式 可转化为 ，即2424fxx，解得： ，即不等式 的解集为24x3x0f，故答案为 .3， ，11如图，在四边形 ABCD 中， 5 ，BD4 ，O 为 BD 的中点，且 ABD AO，则 _3OCBD【答案】 3【解析】在 中，由余弦定理可得： ABD，由题意可得： 221602， 441123323CBABAOABDA，故D B，故2121533399DD 答案为 .12已知函数 在区间 上存在最值，则
6、实数 a 的取242lnfxax1，值范围是_【答案】 95，【解析】 ，故可将题意等价的转化为234234xafxa，即 ，解得 ，故答案为 .120f5909595，13已知函数 若 有三个零点，21 8lnxfxm， ， ， ， gxfm则实数 m 的取值范围是_【答案】 714，【解析】 有三个零点，根据题意可得 时，函数有一个零点； gxf1x时，函数有两个零点.当 时， ， 11x1lnfx恒成立 ，故 ；当 时， 20fx ,fm，要使得 有两个零点，需满足58mgxf，解得 ，综上可得 ，故答案为 .201 45208mf714714， 714，14在 ABC 中，若 ， ，
7、成等差数列，则 cosC 的最小值为tanA2taCtanB_【答案】 13【解析】 ， ， 成等差数列 ， ，即1tanA2taC1tanB14tantanABC，可得 ， cos4cosiiiBicosisicosiAC，由正弦定理和余弦定理可得： ，化简得2sinC224ba， ，故答案为 .223abc2221os63abcabC点睛：本题主要考查了正弦、余弦定理，基本不等式的应用以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题；根据等差数列定义利用同角三角函数间基本关系切化弦后，再利用正弦、余弦定理化简，整理得到 ，223abc代入表示出的 cosC 中，利用基本
8、不等式即可求出 cosC 的最小值.二、解答题15已知 ，设向量 ， 03x， sincomx， 312，（1）若 ，求 x 的值；mn（2）若 ，求 的值5si12【答案】 （1） ；（2）3x0【解析】试题分析：（1）通过 ，得到关于 的方程，结合 ，得到mnx03x，的值；（2）利用数量积的定义可得 ，令 ，则 ，x 3si6566故 可根据诱导公式及两角差的正弦公式得最后结果.sinsin14试题解析：（1）因为 ， ，且 ，所以icosmx， 312n， mn，即 ，又 ，所以 3sincos2xtan30， 3x（2 ）因为 ， ，且 ，所以ismx， 12n， 35mn，即 ，令
9、 ，则 ，且313sinco53in65x6x6，因为 ，故 ，所以3sin503x， 62，所以224co1si5sininsinsincosin614x 32425016 已知函数 ，其中3213fxkx.kR（1）当 时，求函数 在 上的值域；kf,5（2）若函数 在 上的最小值为 3，求实数 的取值范围.fx,2k【答案】(1) ;(2) .1,k【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得，再分 和 两种情况进行讨论； fx3x1k试题解析：（1）解： 时， 3k32691fxx则 29fx令 得 列表012,3xx0,3,53f+ 0 - 0+fx1单调递
10、增 5单调递减 1单调递增 21由上表知函数 的值域为 fx1,2（2）方法一： 331kxxk当 时， ，函数 在区间 单调递增1k,0xff,2所以 min 12fxfk即 （舍） 53k当 时， ，函数 在区间2k1,20xfxfx单调递减1,2所以 min8613fxfk符合题意 当 时,12当 时， 区间在 单调递减,xk0fxf,k当 时， 区间在 单调递增22所以 3min132fxfkk化简得： 40即 2k所以 或 （舍）1注：也可令 324gk则 6 对 1,20kk在 单调递减324gk所以 不符合题意0gk综上所述：实数 取值范围为 2k方法二： 23131fxxxk当
11、 时， ，函数 在区间 单调k,0ff1,2递减所以 min286132fxfk符合题意 8 分当 时， ，函数 在区间 单调递增1k,0fxfx1,2所以 不符合题意 min23fxf当 时,k当 时， 区间在 单调递减1,0fxf1,k当 时， 区间在 单调递增2xk2所以 不符合题意min23fxfkf综上所述：实数 取值范围为 17在 ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，若 cb 2bcosA（1）求证：A2 B；（2）若 cosB ，c 5，求 ABC 的面积34【答案】 （1）见解析；（2） 174【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化为角可得 ，sin2s
12、incoCBA结合 以及两角和与差的正弦可得 ，由角的范围sinCABA可得 ；（2）先求出 ，由二倍角公式求出 ， 7sin43si78，由正弦定理求出 ，进而求得ABC 的面积.5sin716b试题解析：（1）由 cb 2bcosA 及正弦定理 可得， sinbcBC， （） ，即sisinoCBsi2sinoA，所以 ，ncAcossicB整理得 ，即 ， 又 A，B 是ABC 的内sicsinABiiA角，所以 ， ，所以 或 （舍去） ，即0B， 0， A2 B （2 ）由 cosB 及 可知， ，由34，2237sin1cos4BA2 B 可知， ， 221co 8A由（）可得，
13、37sin2sinco48B，在ABC 中，由正弦定理15ii26CA可得， ，解得 ，所以ABC 的面积sinbcB714b4b.135i428ScA点睛：本题主要考查了正、余定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求法，较基础；与三角形面积有关的问题主要有以下策略：1、求三角形面积，对于公式等，一般是知道某个角就选含该角的公式；2、已知三角形的面积解三sinSabC角形一般要用正、余弦定理进行转化；3、求面积最值问题一般要用到基本不等式 .18如图，矩形 ABCD 是某小区户外活动空地的平面示意图，其中 AB50米，AD100 米，现拟在直角三角形 OMN 内栽植草坪供儿童踢球娱乐（其中，点
14、 O 为 AD 的中点，OMON，点 M 在 AB 上，点 N 在 CD 上） ，将破旧的道路 AM重新铺设已知草坪成本为每平方米 20 元，新道路 AM 成本为每米 500 元，设OMA ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为 f()（1）求 f()关于 函数关系式，并写出定义域；（2）为节约投入成本，当 tan 为何值时，总费用 f()最小？【答案】 （1）f() ，其定义域为 ；（2）1250sincota63，50【解析】试题分析：（1）在 RtOAM 中，解出 ，在 RtODN 中求出 ON,AMO，故可得 ，由题意当点 M 与点 B 重合时， 取最cos205OMNfSA小值 ；当
15、点 N 与点 C 重合时， 取最大值 ，即 ，故可得最后结果；6363（2）由（1）可得 ，对其求导，利用导数判断其1250sincotaf单调性得其最值.试题解析：（1）据题意，在 RtOAM 中，OA50，OMA ，所以AM ，OM ，据平面几何知识可知DON ，在 RtODN 中，50tansiOD50，DON，所以 ON ，所以 f() 50cos205OMNSA ，据题意，当点1502sincotan12sincotaM 与点 B 重合时， 取最小值 ；当点 N 与点 C 重合时， 取最大值 ，所以63，所以 f() ，其定义域为 631250sincota63，（2 ）由（1 ）可
16、知，f( ) ， ， itn f2220cosinsco5ii 222sico150sin ，22sinco令 0，得 ，其中 ，列表 ：f0ta063， 606， 03，ff72503 极小值 5025203所以当 时，总费用 f()取最小值 ，可节约投入成本tan219已知二次函数 为偶函数且图象经过原点，其导函数 的图象过fx fx点 1，（1）求函数 的解析式；fx（2）设函数 ，其中 m 为常数，求函数 的最小值gffxgx【答案】 （1） ；（2）x1【解析】试题分析：（1）利用待定系数法依题意可设 ，根据20fxab该函数为偶函数可得 ，根据导函数 的图象过点 ，可得 ；0bfx
17、1， 2fx（2）由（1）可得： 根据二次函数的性质分为22 mgxx， ， ， 和 三种情形判断其单调性得其最值.12m12m试题解析：（1）因为二次函数 经过原点，可设 ，又因fx20fxab为 为偶函数，所以对任意实数 ，都有 ，即fxR，所以 对任意实数 都成立，故 所以22abaxb0xxR， ，又因为导函数 的图象过点 ，所以fxfaf12，解得 所以 2112x（2 ）据题意， ，即2gfxfmx22 mxxg， ， ， 若 ，即 ，当 时， ，故122x221gxmx在 上单调递减；当 时， gxm， m，故 在 上单调递减，在221xgx12，上单调递增，故 的最小值为 1，
18、 gm 若 ，即 ，当 时， ，故12m2x21gxm在 上单调递减；当 时， ，故 在gx， 2gx上单调递增，故 的最小值为 2， gx24mg 若 ，即 ，当 时， ，故1m2221xxm在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， gx， 1， ，故 在 上单调递增，故 的22mxgx2m， gx最小值为 1g综上所述，当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最2mgx1m2gx小值为 ；当 时， 的最小值为 2420设函数 1lnfxa（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；2fx1f，（2）讨论函数 的单调性；f（3）当 时，求证：对任意 ，都有 102a1+2x， 1exa【答案】 （
19、1） ；（2）见解析；（3 ）见解析 .0xy【解析】试题分析：（1）当 时，求出导数易得 ，即 ，利用点斜a1f1k式可得其切线方程；（2）求得可得 ，分为 和 两种情形判断2axf0a其单调性；（3）当 时，根据（2）可得函数 在 上单调递减，故10f2，即 ，化简可得所证结论.1affxlnax试题解析：（1）当 时， ， ， 212lnfx12ln0f， ，所以函数 在点 处的切线方程为2fx1ff0，即 01y0xy（2 ） ，定义域为 ， lnfxa， 21axfx 当 时， ，故函数 在 上单调递减； fxfx， 当 时，令 ，得001ax 1a， 1a，f0fx 极小值 综上所述，当 时， 在 上单调递减；当 时，函数 在0afx0， 0afx上单调递减，在 上单调递增10， 1，（3 ）当 时，由（2）可知，函数 在 上单调递减，显然， afx10a，故 ，所以函数 在 上单调递减，对任意110， ， f2，都有 ，所以 所以 ，即+2x， ax1ax1affx，所以 ，即 ，所以1ln0axlnalna，即 ，所以 l1axl1xa1exa
