1、2018 届广东省茂名市五大联盟学校高三 3 月联考数学（文）试题（解析版）第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 , .则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意结合交集的定义可得： .本题选择 D 选项.2. 下列茎叶图中的甲,乙的平均数,方差,极差及中位数,相同的为（ ）A. 极差 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数【答案】C【解析】从茎叶图中数据的分布，可知方差不同，极差不同，甲的中位数为 ，乙的中位数为 ，计算平均数：， ，甲、乙的平均数都为 .本题选择 C 选项.3. 关于复数的
2、命题,下列正确的为（ ）A. 复数 的模为 1 B. 复数 的虚部为C. D. 若 （， ） ，则【答案】C【解析】逐一考查所给的命题：A.复数 的模为 ，原说法错误；B.复数 的虚部为 ，原说法错误；C. ，原说法正确；D. ，若 （， ） ，则 ，原说法错误.本题选择 C 选项.4. 如图所示,黑色部分和白色部分图形是由曲线 ， ， ， 及圆构成的.在圆内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由于图形关于原点成中心对称，关于坐标轴成轴对称，可知黑色部分图形构成四分之一个圆，由几何概型，可得 .本题选择 A 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的
3、解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形中画出事件 A 发生的区域，据此求解几何概型即可.5. 已知 是双曲线 的左焦点， 是 上一点,且 与 轴垂直. 在双曲线渐近线上运动,则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由双曲线方程可知 a=2,b= ，则 ，令 得 ，当 Q 在双曲线渐近线上运动时， 的最小值即为点 P 到双曲线渐近线的距离的最小值 d，不妨设 ，一条渐近线方程为 ，即 ，所以 .本题选择 C 选项.6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A. 2
4、4 B. 26 C. 28 D. 30【答案】A【解析】由三视图知，几何体是直三棱柱切去一个同底的三棱锥，三棱柱的高为 5，切去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和 4 的直角三角形，则该几何体的体积.本题选择 A 选项.7. 已知实数 , 满足 ,则 的最大值为（ ）A. 14 B. 13 C. 12 D. 11【答案】D【解析】作出不等式组所表示的平面区域（如图中阴影部分） ，记 z=x+y，则 y=-x+z，数形结合，易知当直线过点 C 时，z 取得最大值，联立方程 可得 ，即 C（8，3） ，此时 z=8+3=11，所以 x+y 的最大值为 11.本题选择 D
5、 选项.点睛：求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.8. 函数 的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为函数为奇函数，所以其图象关于原点成中心对称，所以选项 C，D 错误；又当 时， ，所以选项 B 错.本题选择 A 选项.9. 已知函数 ，则（ ）A. 函数 在区间 上单调递增B. 函数 在区间 上单调递减C. 函数 的图象关于直线 对称D. 函数 的图象关于点
6、对称【答案】C【解析】因为 ，所以 ，因此有 ，所以函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称，故选项 C 正确，D 错误.又 ，则 ，函数 在区间 上不具有单调性，所以选项 A，B 错误.本题选择 C 选项.10. 3 世纪中期,魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率,首创“割圆术”.利用“割圆术”,刘徽得到圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图,则输出 的值为（ ）(参考数据： . )A. 8 B. 16 C. 24 D. 32【答案】B【解析】模拟执行程序，可得：n=4，S=2sin90=2
7、，不满足条件 S 3，n=8，S=4sin45=2 ，不满足条件 S3，n=16，S=8sin22.5=80.3826=3.06，满足条件 S3 退出循环，输出 n 的值为 16故答案为：B。11. 在 中,三个内角 , , 的对边分别为， ， ，若 的面积为 ，且 ，则（ ）A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】 ， ，代入已知等式得： 即 ，ab0， ， ， 解得：cosC=1(不合题意,舍去)，cosC=0，sinC=1，则 .故选：C.12. 已知过抛物线 的焦点 的直线交抛物线 于 , 两点,若 为线段 的中点，连接 并延长交抛物线 于点 ，则 的取值范围是（ ）A. B.
8、C. D. 【答案】D【解析】由题意知， 的焦点 的坐标为（2,0） 。直线的斜率存在且不为 0，设直线方程为 。由 。消去 y 整理得 ，设 ， 则，故 ，所以 ，直线 OS 的方程为，代入抛物线方程，解得，由条件知 。所以 。故选：D点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，
9、从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围第卷（共 90 分）二、填空题：本题共的小题，每小题 5 分13. 已知向量 , ,其中与 共线,则 的值为_【答案】-2 或 1【解析】由向量共线的充要条件可得： ，整理可得： ，求解关于实数 x 的方程可知 的值为-2 或 1.14. 设曲线 上点 处的切线与直线 平行,则点 到直线 的距离为_【答案】【解析】由 y=ax2，得 y=2ax，则切线斜率 k=2a，又切线与直线 2x-y-6=0 平行，故 2a=2，即 a=1，则 P(1，1)，直线 ，数形结合易知，点 P（1，1）到直线 的距
10、离 .15. 已知函数 ，若存在 ， ， 满足，且，则 的最小值为_【答案】8【解析】由题知， ，则 ，结合 ，要使 n 最小，需要分别取：，即 n 的最小值是 8.点睛：本题要求熟悉三角公式的整体结构，灵活变换，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形和三角函数的性质16. 已知函数 与 的图象上存在关于原点对称的点，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】由题意可知 有解，即方程 有解，即 有解，设 ，则 ， 在 上单调递减，在 上单调递增， 当 时， 取得最小值 ， 的值域为 ， 的取值范围是 ，故答案为 .三、解答题 ：解答应写
11、出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 设数列 的前 项和为 ，且满足 （ ）.（1）求数列 的通项公式；（2）是否存在实数,使得数列 为等差数列？若存在，求出的值,若不存在,请说明理由.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得 ，据此有 .且 （ ）. ，故，整理可得 .数列 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列，.（2）由（1）知， ， ，必要条件探路，若 为等差数列，则 ， ， 成等差数列，据此可得 .经检验 时， 成等差数列，故 的值为-2.试题解析：（1）由 （ ），可知当 时， .又由 （ ）.可得 ，两式相减，得 ，即 ，即 .所以数列 是以 2
12、为首项,2 为公比的等比数列故 .（2）由（1）知， ，所以若 为等差数列，则 ， ， 成等差数列，即有 ，即 ，解得 .经检验 时， 成等差数列，故的值为-2.18. 如图，在四棱锥 中， 底面 ,底面 为菱形， ， ,过 作平面 与直线 平行，交 于点 .（1）求证： 为 的中点;（2）求三棱锥 的体积.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）连结 ，设 ，连接 ，则 为 的中点，证得 ，即可判定为 的中点.（2）由（1）知 为 的中点，得 ，求出 ，即可求解三棱锥 的体积.试题解析：解：（1）证明：连结 ，设 ，连接 ，则 为 的中点，且面 面 ， 平面 ， ， 为
13、的中点.（2）由（1）知 为 的中点，所以 ，由底面 为菱形， ，得 ，.又 ， .19. 某老师对全班 50 名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如下所示参加社团活动 不参加社团活动 合计学习积极性高 25学习积极性一般 5合计 28 50（1）请把表格数据补充完整；（2）若从不参加社团活动的 28 人中按照分层抽样的方法选取 7 人，再从所选出的 7 人中随机选取两人作为代表发言，求至少有一人学习积极性高的概率；（3）运用独立性检验的思想方法：判断是否有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动有关系？附 ， .0.05 0.01 0.0013.841 6.635
14、 10.828【答案】(1)答案见解析；(2) ；(3)有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动有关系 .【解析】试题分析：（1）根据列联表给出的数据可以补全其它数据（2） 人选 人，其中学习积极性高的 人记为 ，学习积极性一般的 人，记为 ，从 这 人中任选两人，共有以下 个等可能性基本事件： ，则至少有以为学习积极性高的事件有 个，根据古典概型的概率计算即得解.（3）根据列联表中所给的数据，代入求这组数据的观测值的公式，求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有 99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动情况有关系试题解析：（1）参加社团活动 不参加社团活动 合计学
15、习积极性高学习积极性一般合计（2） 人选 人，其中学习积极性高的 人记为 ，学习积极性一般的 人，记为 ，从 这 人中任选两人，共有以下 个等可能性基本事件：，则至少有以为学习积极性高的事件有 个，所以至少有一位学习积极性高的概率 .（3） 所以大约有 的把握认为学生的学习积极性与参与社团活动由关系.20. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 （ ）的离心率为 ，且过点 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）若动点 在直线 上，过 作直线交椭圆 于 , 两点，使得 ，再过 作直线 ,证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得 ，根据离心
16、率为 可得 ，故可得到 C 的方程。 （2）由 为线段 的中点。设 ，当 时，由“点差法”可得直线 的斜率为 ，从而直线的方程可求得为，过定点 ；当 时，过点 。故可得直线过点 。试题解析：（1）由题意知 ，又椭圆的离心率为 ，所以 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 .（2）因为直线的方程为 ，设 ，当 时，设 ，显然 ，由 可得 ，即 ,又 ，所以 为线段 的中点，故直线 的斜率为 ，又 ，所以直线的方程为即 ，显然恒过定点 ，当 时，过点 ，综上可得直线过定点 .点睛：圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数 ，建立一个直线系或曲线系方程 ，而该方程与参数无关，故得到一
17、个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点 ，再证明该点符合题意21. 已知函数 （ ，为自然对数的底数）.（1）若曲线 在点 处的切线垂直于 轴，求实数的值；（2）当 时，求函数 的最小值.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：由题得, ，则：（1）由题意可得 ，即 ， ；（2）原问题等价于 时，求函数 的最小值 .结合导函数的解析式可知函数 在区间 和区间 上单调递增，在区间 上单调递减.据此分类讨论可得：当 时，函数 的最小值为 ；当 时，函数 的最小值为 .试题解析：由题得,（1）由曲线 在点 处的切线垂直于 轴，得 ，即 ，解
18、得（2）设 ，则只需求当 时，函数 的最小值.令 ，解得 或 ，而 ，即 .从而函数 在区间 和区间 上单调递增，在区间 上单调递减.当 ，即 时，函数 在区间 上为减函数， ；当 ，即 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所以函数 的极小值即为其在区间 上的最小值， .综上可知，当 时，函数 的最小值为 ；当 时，函数 的最小值为 .请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 ,(为参数),以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线 的极坐标方程；（2）设 ， ； ，若 , 与
19、曲线 分别交于异于原点的 ， 两点，求 的面积.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）将曲线 的参数方程消去参数 可得普通方程 x2+y2-6x-8y=0，再化为极坐标方程可得 。（2）把 分别代入极坐标方程可得 ，再根据 可求得的面积。试题解析：（1）将 C 的参数方程化为普通方程为( x-3)2+(y-4)2=25，即 x2+y2-6x-8y=0 C 的极坐标方程为 （2）把 代入 ，得 ， .把 代入 ，得 ， . 。23. 设函数 .（1）解不等式 ；（2）若 ，使得 ，求实数 的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）函数的解析式即 据此分类讨论可得不等式 的解集为 .（2）由（1）得， ，原问题即 ， ，求解不等式可得实数 的取值范围为 .试题解析：（1）由题知，由 ，得 或 或解得 或 或 ，综上所述，不等式 的解集为 .（2）由（1）得， ， ，使得 ， ，即 ，解得实数 的取值范围为 .点睛：绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法” 求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
