1、芜湖市 2017-2018 学年度第一学期期末学习质量测评高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集 ， ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 , 选 B.2. 已知复数满足 ，则在复平面内对应的点位于 （ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】 ,则 .故选 B.3. 下图是一个算法的程序框图，当输入值 为 10 时，则其输出的结果是（ ）A. B. 2 C. D. 4【答案】D【解析】执行程序得: 所以选 D.4. 某
2、校高一开设 4 门选修课，有 4 名同学选修，每人只选 1 门，恰有 2 门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（ ）A. 96 种 B. 84 种 C. 78 种 D. 16 种【答案】B【解析】先确定选的两门: ,再确定学生选: ,所以不同的选课方案有 选 B. 5. 已知 ， ， ，则 的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ， ， ，所以 ,选 C.6. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理” ，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个
3、大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D7. “ ”是“函数 在区间 上为增函数”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 时, 在区间 上为增函数; 时,在区间 上为增函数;所以“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件，选 A.8. 已知实数 满足条件 ，令 ，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】作可行域如图， ，则 ，选 A.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开
4、放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9. 若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 或 (舍),故选 C.10. 某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】几何体如图,所以该四棱锥的体积为 选 C.点睛：(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三
5、棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析11. 已知直线 与双曲线 的渐近线交于 两点 ，设 为双曲线上任一点，若 （为坐标原点） ，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线 的渐近线为 ，所以不妨设 ，因为 ，所以，即 ，所以 ，选 C.点睛：在利用基本不等式求最值或变形时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12. 已知函数 ，若方程 有三个不同的实数根
6、 ，且 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当 相切时，设切点为 ，由 得 再由图知方程 的三个不同的实数根 满足 ，因此，即 的取值范围是 ，选 B.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，且 ，则 _【答案】【解析】由 得 ，所以 14. 已知抛物线 的弦 过焦
7、点 ，若 ，且 中点的横坐标为 3，则抛物线的方程为_【答案】【解析】由抛物线定义得 抛物线的方程为 .15. 将函数 图像上所有点向左平移 个单位， 再将横坐标变为原来的 倍 ，纵坐标不变， 得到函数 图像若 ，且 在 上单调递减， 则 _【答案】3【解析】函数 图像上所有点向左平移 个单位得 ，再将横坐标变为原来的 倍 ，纵坐标不变，得到 ，因为 ，所以 为一个对称中心，即 =，因为 在 上单调递减，所以 即16. 四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，侧面 是以 为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥 的外接球的表面积为 _【答案】【解析】因为侧面 是以 为斜边的等腰直角三角形，所以
8、,因为 是边长为 2 的正方形，所以 ，因此平面 ，即 平面,因此 为正三角形，设四棱锥 的外接球半径为 R，则外接球的表面积为 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 构成的三条线段 两两互相垂直，且 ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 求解三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 的首项 ， 是数列 的前 项和， 且满足 .（1）求数列
9、 的通项公式；（2）设数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系转化为项之间递推关系 ，再构造常数列 ，进而解得数列 的通项公式；（2）先化简 ，再根据裂项相消法求和，即证得结论 .试题解析：（1） ，当 时， ，-得， ，所以 .故 是首项为 的常数列，所以 .（2） ， .点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔
10、一项的裂项求和，如 或 .18. 某校高一 200 名学生的期中考试语文成绩服从正态分布 ，数学成绩的频数分布直方图如下：（1）计算这次考试的数学平均分，并比较语文和数学哪科的平均分较高（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的） ；（2）如果成绩大于 85 分的学生为优秀，这 200 名学生中本次考试语文、数学优秀的人数大约各多少人？（3）如果语文和数学两科都优秀的共有 4 人，从（2）中的这些同学中随机抽取 3 人，设三人中两科都优秀的有 人，求 的分布列和数学期望.（附参考公式）若 ，则 ，【答案】(1)语文平均分高些；(2)语文成绩优秀人数为 人， 数学成绩优秀人数为 人；(3)
11、答案见解析.试题解析：（1）数学成绩的平均分为根据语文成绩的正态分布知语文平均分为 70 分，所以语文平均分高些.（2）语文成绩优秀的概率为 ，数学成绩优秀的概率为 ，语文成绩优秀人数为 人， 数学成绩优秀人数为 人（3）语文数学两科都优秀的 4 人，单科优秀的有 6 人， 所有可能的取值为 0，1，2，3，的分布列为数学期望 .19. 在边长为 4 的菱形 中， ，点 分别是边 的中点， ，沿 将 翻折到 ，连接 ，得到如图所示的五棱锥 ，且 .（1）求证：平面 平面 ；（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）根据菱形性质得 ，再
12、根据翻折关系得 ，结合线面垂直判定定理得 平面 ，最后根据面面垂直判定定理得结论， （2）分别延长 和 相交于点 ，过点 做，根据计算得 ，即得 平面 ，利用三垂线定理及其逆定理证得 为平面 与平面 所成二面角的平面角.最后解直角三角形得二面角的余弦值.试题解析：（1）因为点 分别是边 的中点， 所有 ，因为菱形 的对角线互相垂直，所以 ，故 .翻折后即有因为 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面 .（2）分别延长 和 相交于点 ，连 ，设 ，连接 ， 为等边三角形 . ， ， ， ，在 中， ，在中， ， ， ， 平面 ，又 ， 平面 ，过点 做 ，连 ，则 为
13、平面 与平面 所成二面角的平面角.在 中， ， ， ， ， ， .20. 在 中， ，且 ，若以 为左右焦点的椭圆 经过点 .（1）求 的标准方程；（2）设过 右焦点且斜率为 的动直线与 相交于 两点，探究在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，试求出定值和点 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ；(2)答案见解析 .【解析】试题分析：（1）先根据余弦定理以及三角形面积公式得 ，再根据椭圆定义得，最后根据 ，求得 b,（2）先设点的坐标表示 ，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简 ，最后根据等式恒成立条件求定点以及定值.试题解析：（1）在 中，由余弦定理.又 ， ，代入上
14、式得 ，即椭圆长轴 ，焦距 ，所以椭圆 的标准方程为 .（2）设直线方程 ，联立 ，得 ， ，设交点 ， ， ， .假设 轴上存在定点 ，使得 为定值， 要使 为定值， 则 的值与 无关， ，解得 ，此时 为定值，定点为 .21. 已知函数 （ 为常数）.（1）求函数 在 的最小值；（2）设 是函数 的两个零点， 且 ，证明： .【答案】(1) ；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析函数单调性，根据单调性确定最小值取法，最后代入求最小值， （2）作差函数 ，利用零点条件化为一元函数 ，根据导数研究一元函数单调性，确定其最大值小于零，最后根据原函数单调性证
15、得不等式.试题解析：（1） ， 的定义域为 ，且 ，当 时， ，所以 在 递增；当 时， ，所以 在 递减，且 ， ，因 ，函数 在 的最小值为 .由（1）知 满足 ，且 ， ，由题意可知又由（1）可知 在 递减，故 ，所以 ， ，则 令 ，则 ，当 时， 是减函数，所以因 ，即 ，所以当 时， ，即因为 ， ， 在 上单调递增，所以 ，故 .请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 平面直角坐标系中，直线的参数方程为 ，（为参数）.以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .（1）写出直线的极坐标方程与曲线 的直角坐标方程；（2
16、）已知与直线平行的直线过点 ，且与曲线 交于 两点， 试求 .【答案】(1)直线的极坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 .(2) .【解析】试题分析：（1）先利用加减消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，再利用 ，得直线的极坐标方程，最后根据 ， 将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程， （2）先根据点斜式写出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求 .试题解析：（1）将 ， 代入直线方程得 ，由 可得 ，曲线 的直角坐标方程为 .（2）直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角也为 ，又直线过点 ，直线的参数方程为 （为参数） ，将其代入曲线 的直角坐标方程可得，设点 对应的参数分别为
17、.由一元二次方程的根与系数的关系知 ， ， .23. 已知函数 .（1）解不等式 ；（2）已知 ，若 恒成立 ，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集， （2）先根据基本不等式求 最小值，再利用绝对值三角不等式求 最大值，最后解不等式得实数的取值范围.试题解析：（1）不等式 可化为： 当 时，式为 ，解得 ；当 时，式为 ，解得 ；当 时，式为 ，无解.综上所述，不等式 的解集为 .（2）解： 令 ，要使不等式恒成立 ，只需 ，即实数取值范围是 .点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
