2018届安徽省六安市毛坦厂中学高三下学期四月月考数学（文）试题（解析版）.doc

1、2018 届安徽省六安市毛坦厂中学高三下学期四月月考数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：现根据一元二次不等式和绝对值不等式求解集合 ，再根据集合的交集运算，即可得到详解：因为集合 或 ，集合 ，所以 ，故选 D点睛：本题考查集合的运算问题，对于集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问

2、题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图请在此填写本题解析!2. 若 （为虚数单位， ） ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据复数的除法运算，求解复数 ，利用复数模的公式，即可求解复数的模详解：因为 ，所以 ，故选 A点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的实部为、虚部为 、模为 、对应点为 、共轭为 3. 某商场对一个月内每天的顾客人

3、数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是（ ）A. 46,45 B. 45,46 C. 46,47 D. 47,45【答案】A【解析】分析：由茎叶图，根据样本的中位数和众数定义求解即可.详解：由茎叶图可知，出现次数最多的是数 ，将所有数从小到大排列后，中间两数为 ，故中位数为，故选 A.4. 若在集合 中随机取一个元素 ，则“ 大于 1”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：解不等式 可得 ，以长度为测度，即可求得集合 中随机取一个元素，恰使 大于 1 成立的概率 .详解：若 ，可以求得 ，在集合 中随机取大于 2 的数，满足条件的值所对应的几何

4、度量就是区间 的长度等于 ，而对应的在集合 中随机取一个数所对应的几何度量是区间 的长度等于 ，所以对应事件的概率为 ，故选 C.点睛：该题考查的 是有关几何概型的问题，在解题的过程中，需要解一个对数不等式，在求解的过程中，需要把握利用对数函数的单调性求解对数不等式，之后需要将对应集合涉及的测度都求出，之后利用概率公式求得结果.5. 九章算术中有“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则该竹子的容积为（ ）A. 升 B. 升 C. 升 D. 升【答案】D【解析】分析：利用等差数列通项公式，列出关于首项 、

5、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，从而可得数列 的通项公式，进而可得结果 .详解：设竹子自上而下各自节的容积构成数列 且 ，则 ，竹子的容积为 ，故选 D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 ，一般可以“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.6. 已知 是两条不同的直线， 是平面，则下列命题是真命题的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】B【解析】分析：根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，逐一对题目中的四个命

6、题进行判断，即可得到答案详解：若 ，则 或 ；若 ，则 ；若 ，则 与 位置关系不确定；若 ，则 或 ，故选 B点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直 ；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直7. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】C【解析】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算

7、错误） 详解：第一次循环， ；第二次循环， ；第三次循环， ；第四次循环， ，不成立，此时结束循环，所以输出的 的值为 ，故选 C.点睛： 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框； (2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 已知函数 ， ，且 在区间 上有最小值，无最大值，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【

8、解析】分析：由 ，结合条件可知直线 为 的一条对称轴，且 ，从而可得解.详解： ,且 ，在区间 上有最小值，无最大值，直线 为 的一条对称轴， ， ，又 0，当 时, = .易知当 时，此时在区间 内已存在最大值.故选 D.9. 已知点 是抛物线 上的一点， 是其焦点，定点 ，则 的外接圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由点 是抛物线 上的一点可求得抛物线方程，进而可得焦点坐标 ，利用正弦定理求出外接圆半径，即可得结果.详解：将点 坐标代入抛物线 方程 ，得 ，解得 点 ，据题设分析知，又 为 外接球半径） ， 外接圆面积 ，故选 B.点睛：正弦定理是解三角形的有

9、力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角） ；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.10. 函数 （ ）的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：判定函数的奇偶性，排除选项，利用函数的单调性，即可判定函数的图象详解：因为 ，则 ，所以函数 为奇函数，根据图象排除 A、C；由于 ，即 ，排除 D，故选 B点睛：函数图像问题首先关注定义域，从图象的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择支，从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值利用

10、特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等确定图象11. 已知点 为双曲线 右支上一点， 分别为双曲线的左、右焦点，为 的内心（三角形 内切圆的圆心） ，若 （ 分别表示 的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用双曲线的定义，由三角形内切圆的性质，结合 可得关于半实轴与半焦距的不等式，从而可得结果.详解：如图，设圆与 的三边 分别相切于点 ，分别连接 ，则 ， ，又， ， ，又 ，故选 A.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合

11、图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.12. 已知 是定义在区间 上的函数， 是 的导函数，且 ， ，则不等式 的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：构造新函数 ，求导得到 的单调性和最值，即可求解 详解：引入函数 ，则 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 在区间 上单调递增，又 ，所以不等式 等价于 ，又 ，所以 ，所以 ，又因为函数 在区间 上单调递增，所以

12、 ，解得 ，又函数 的定义域为 ，得 ，故不等式 的解集为 ，故选 C点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量与 的夹角为 120， ，则 _【答案】【解析】分析：根据平面向量的数量积运算的定义，即可得到答案详解：因为 ，所以 ，所以 点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先

13、建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决14. 若 ，则 _【答案】【解析】分析：由 ，根据同角三角函数之间的关系，求出 与 的值，利用两角差的余弦公式求解即可.详解：由 ，可得 .又 ，结合 ，可得 .，故答案为 .点睛：本题主要考查两角差的余弦公式以及同角三角函数之间的关系，同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.15. 已知实数 满足不等式组 则 的最大值是 _【答案】12【解析】分析：画出不等式组

14、表示的可行域，平移 ，结合所画可行域， 可求得 的最大值.详解：作出不等式组 表示的平面区域如阴影部分，分析知，平移直线 ，由图可得直线经过点 时，取得最大值，且 ，故答案为 .点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16. 已知 为数列 的前 项和， ，若 ，则 _【答案】【解析】分析：由已知数列的递推关系式可得数列 的所有

15、偶数构成以 为首项，以 为公比的等比数列，把奇数项转化为偶数项，然后借助于等比数列的前 项和求解详解：由 ，当 为奇数时， ，则 ；当 为偶数时， ，则 ，又 ，所以 点睛：本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，需要进行判断.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知在 中，角 所对的边分别为 ，且 .（1）

16、若 ，求；（2）若 的面积为 ，求 的周长.【答案】 （1）2；（2）【解析】分析：第一问根据题中所给的 的值，应用平方关系，求得 的值，结合题中的条件 的值以及 的值，利用正弦定理求得的值，第二问利用面积公式，借助 求得 的值，再借助 的值利用余弦定理，求得 ，从而借助平方公式求得结果 .详解：(1) ， ，又 ， ， ，解得 .（2）据题意，得 的面积 , , ，即又 ， ， ， ， ， 的周长等于 .点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意应用与该题相关的知识点以及题中所给的量，建立相应的等量关系式，最后求得结果，这里第二问在求解时，要注意整体思维的运用，不用单纯的去求

17、 的值，而是需要应用完全平方式求其和即可.18. 今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有 套房源，则设置 个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有 20 户家庭去抽取 6 套房源（l）求每个家庭能中签的概率.（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元 27、28 两个楼层共 6 套房，其中，第 27 层有 2 套房，房间号分别记为 2702,2703；第 28 层有 4 套房，房间号分别记为 2803,2804,2806,2808（）

18、求该单元 27、28 两个楼层所剩下 6 套房的房间号的平均数；（）求甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率.【答案】 （1） ；（2） （） 2771， （）【解析】分析：第一问根据在抽签的过程中每个个体被抽到的概率是相等的，利用公式求得结果；第二问中第一小题将剩下的房间号码相加除以 6 即可求得平均数，第二小题用列举法求得所有的情况共有 15 种，而甲、乙两个家庭住在同一楼层的可能情况只有 7 种，应用公式求得对应事件发生的概率 .详解：() 因为共有 20 户家庭去抽取 6 套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，所以每个家庭能中签的概率 .（2）（i）该单元 27、28 两个楼层所剩下 6

19、套房的房间号的平均数.（ii）将这 6 套房编号，记第 27 层 2 套房分别为 ，第 28 层有 4 套房分别为 ，则甲、乙两个家庭选房可能的结果有共 15 种.其中甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有 ， 共 7 种，所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为 .点睛：该题考查的知识点由抽签的时候每个个体被抽到的概率是相等的，一堆数据的平均数的求法，随机事件发生的概率公式，在求解的过程中，需要对题的条件分析好，明确各种问题的求解步骤及公式即可得结果.19. 如图，在 中， ， 是 的中点， 是线段 上的一点，且 ， ，将 沿 折起使得二面角 是直二面角（l）求证： 平面 ；（2）求三棱锥

20、 的体积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】分析：第一问咬住直线与平面平行的判定定理的内容，根据题中的条件，在平面 内寻找直线的平行线，从而证得结果，第二问抓住三棱锥的体积公式，利用等级法将三棱锥转化，在题中寻找与其相关的量，来求得三棱锥的底面积和高，利用公式求得结果.详解：(1)因为 ，所以又 ， ，所以又因为所以 是 的斜边 上的中线，所以 是 的中线，所以 是 的中点，又因为 是 的中位线，所以又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .（2）由（1）求解知，直线 是 的中位线，所以 ，因为二面角 是直二面角，平面 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 ，又因为 ，所以点睛：该题考查的是有关

21、立体几何的问题，题中涉及到平面多边形的翻折，有关线面平行的判定，三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要明确翻折的过程中哪些量是不变的，哪些量是变化的，翻折到什么程度等，还有就是求体积时，等级法的应用.20. 如图，椭圆 经过点 ，且点 到椭圆的两焦点的距离之和为 .（l）求椭圆 的标准方程；（2）若 是椭圆 上的两个点，线段 的中垂线的斜率为 且直线与 交于点 ， 为坐标原点，求证：三点共线【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】分析：(1)根据椭经过点 ，且点 到椭圆的两焦点的距离之和为 ，结合性质 ， ，列出关于、 的方程组，求出、 ，即可得椭圆 的标准方程；(2)可设直线 的方程为 ，

22、联立 得 ，设点，根据韦达定理可得 ，所以点 在直线 上，又点 也在直线上，进而得结果.详解：（1）因为点 到椭圆的两焦点的距离之和为 ，所以 ，解得 .又椭圆 经过点 ，所以 .所以 .所以椭圆 的标准方程为 .证明：（2）因为线段 的中垂线的斜率为 ，所以直线 的斜率为 -2.所以可设直线 的方程为 .据 得 .设点 ， ， .所以 ， .所以 ， .因为 ，所以 .所以点 在直线 上.又点 ， 也在直线 上，所以 三点共线.点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 轴上，还是在 轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程 或 ；找关系：根据已

23、知条件，建立关于、 、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21. 已知函数 （ 且 ）.（1）若函数 在区间 上单调递增，求实数的取值范围；（2）设函数 ，若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）函数单调递增转化为导数恒为正值，分类讨论求即可；（2）分离参数 ，转化为求函数的最值，利用导数即可求出最值。试题解析：（1）当 时，函数 是 上的单调递增函数，符合题意；当 时，由 ，得 ，函数 在区间 内单调递增， ，则 .综上所述，实数的取值范围是 .（另由 对 恒成立可得，当 时，符合；当 时， ，即 ， .综上 ）（2）

24、存在 ，使不等式 成立，存在 ，使 成立.令 ，从而 ，.由（1）知当 时， 在 上递增， . 在 上恒成立. ， 在 上单调递增. ， .实数 的取值范围为 .点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.22. 在平面直角坐标系 中，直线的参数

25、方程为 （为参数） 以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点 的极坐标是 （1）求直线的普通方程，（2）求直线上的点到点 距离最小时的点的直角坐标.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：(1)由直线的参数方程 ，利用代入法消去参数，即可得到直线的普通方程为 ；（2） 的极坐标是 化为直角坐标，过点 作直线的垂线，该垂线与直线的交点即为所求点.详解：（1）直线的普通方程为 .（2）点 的直角坐标是 .过点 作直线的垂线，垂足为 ，则点 即为所要求的直线上到点 距离最小的点.直线 的方程是 ，即 .据 解得所以直线上到点 距离最小的点的直角坐标是 .点睛：消去参数的

26、常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 和 换成 和 即可.23. 已知函数 .（l）若 ，解不等式 ；（2）若 ，求函数 在区间 上的最大值和最小值【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】分析：(1)原不等式等价于 ，从而可得 或 ，进而可得结果；（2）函数解析式化为分段函数形式，分三种情况讨论，分别求出其最大值与最小值即可.详解：（1）若 ，则 为 .所以 ，所以 或 ，所以 或 .故不等式 的解集是 .（2）当 时，讨论：当 即 时， ， ；当 时， ， ， ；当 且 时， ， ， .点睛：分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.