1、2018 届河北省承德市联校高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题)两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟.2.请将各题答案填在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 , ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故 .2. 已知 ,为虚数单位，若 的实部与虚部互为相反数，则 （）A. -3 B. -1 C. D. 【答案】C【解析】 ，依题意 .3. 某城市收集并整理了该
2、市 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最高气温（单位； ）的数据，绘制了下面的折线图。已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是A. 最低气温与最高气温为正相关B. 10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温C. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在 1 月D. 最低气温低于 的月份有 4 个【答案】D【解析】由图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故 A 正确；10 月份的最高气温大于20 ，而 5 月份的最高气温为不超过 20 ，故 B 正确；从各月的温差看，1 月份的温差最大，故 C 正确；而最低气温低于 的月份是
3、1，2，4 三月份，故 D 错，选 D.4. 已知正项等比数例 的前 项和为 ， ,则 （ ）A. 64 B. 32 C. 16 D. 8【答案】B5. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺【答案】C【解析】将该几何体补形为长方体，外接球的直径 即为长方体的对角线，即，故其表面积是 .6. 执
4、行如图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】A【解析】 ，故输出 .7. 将曲线 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 ，则 在 上的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将曲线 ： 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度可得 ，令 ，得 ，再令 ，得 ，则 在 上的单调递增区间是 ，故选 B.8. 设不等式组 表示的平面区域为 ，若直线 上存在区城 内的点，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】画出可
5、行域如下图，直线 恒过定点 ，由图可知， ，及 .9. 函数 的部分图像大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由于 故函数为奇函数，排除 选项.令 ， ，排除 选项.由于分母不为零，分子 为增函数且为奇函数，有且仅有 个零点（ ） ，排除 选项.故选 .10. 某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥.故其表面积为.【点睛】本题主要考查三视图还原回直观图，考查椎体的表面积等知识.三视图主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等,即：,主视图和俯视图的长要相等,主视图和左视图
6、的高要相等,左视图和俯视图的宽要相等。首先要注意三视图的一些性质,主视图和左视图如果都是三角形的必然是椎体，要么是棱锥要么是圆锥。11. 已知点 在双曲线 上， ， 分别为双曲线 的左、右顶点，离心率为，若为等腰三角形，且顶角为 ，则 （ ）A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D【解析】不妨设点 在第一象限，因为 为等腰三角形，其顶角为 ，则 的坐标为 ，代入双曲线 的方程得 ，故选 D.12. 已知 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】令 ， ，由于 ，所以 为增函数，注意到当 时，根据函数的单调性可知，函数 在 处取得极小值也是最
7、小值，并且这个最小值为 .故选 选项.第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 若向量与 的夹角为 ， ， ，则 _【答案】5【解析】 .14. 若 ,则 _【答案】-4【解析】因为 ，故答案为 .15. 设等差数列 满足 ， ,则 的最大值为_【答案】512【解析】依题意有 ，解得 ，故 . ，故当时，取得最大值为 .【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前 项和公式，考查二次函数的最值，考查指数运算.第一步先用基本元的思想，将已知条件转化为首项和公差的形式，求出首项和公差以及通项公式.第二步用指数运算和等差数列求和公式化简所求的式
8、子.第三步用二次函数求最值的方法求得最大值.16. 已知点 是抛物线 上一点， 为坐标原点，若 ， 是以点 为圆心， 的长为半径的圆与抛物线 的两个公共点，且 为等边三角形，则 的值是_【答案】【解析】 点 A 在线段 OM 的中垂线上，又 ，所以可设 ，由 的坐标代入方程 有：解得：点睛：求抛物线方程时，首先弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程.三、解答题 :本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在 中，角 . ， 所对的边分别为, ，,且 .（1）求 B；（2）若 ， ， ，求 的面积.【答案】(1) ；(2) .【解析】试
9、题分析：（1）把边角关系转化为角的关系为 ，从而有 即 .（2）利用余弦定理有 ，解得 ，从而面积为 .解析：（1）因为 ，所以 ，而 ，故 ，所以 .（2）由 ，得 ，化简得 ，解得 ，或 （舍去） ，所以 .18. 唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔.唐三彩的生产至今已有 1300 多年的历史，制作工艺十分复杂，它的制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立。某陶瓷厂准备仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过
10、第一次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为 ， ， ，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为 ， ， .（1）求第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为 ，求随机变量 的数学期望.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(1)由题意结合概率公式可得第一次烧制后甲乙丙三件中恰有一件工艺品合格的概率为 ；(2)由题意可得题中的分布列为二项分布，则随机变量 的数学期望为 1.2.试题解析：分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件 ,（1）设事件 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 .（2）因为每
11、件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 ，所以随机变量 ，所以 .19. 如图，在三棱台 中， ， 分别是 ， 的中点， 平面 , 是等边三角形，, , .（1）证明： 平面 ；（2）求二面角 的正弦值.【答案】(1)见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）根据棱台的性质和三角形的中位线可以得到 ，从而得到 平面 .在梯形 中， （ 为棱 的中点） ，所以 平面 ，从而可以证明平面 平面，也就能得到 平面 .（2）以 所在直线分别为 轴， 轴，轴，建立空间直角坐标系 ，通过计算平面 和平面 的法向量的夹角得到二面角 的正弦值为 .解析：（1）证明：因为 , 为棱 的中点，所以 ,所以四边形为平
12、行四边形，从而 .又 平面 , 平面 ,所以 平面 . 因为是 的中位线 ,所以 ,同理可证, 平面 .因为 ,所以平面 平面 . 又 平面 ,所以 平面 .（2）以 所在直线分别为 轴， 轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ,设 ,则,则 . 设平面 的一个法向量 ,则 即取 ，得 . 同理，设平面 的一个法向量 ，又 ,由 ，得 取 ，得 .所以 ，即二面角的正弦值为 .点睛：线面平行的证明可从两个角度考虑：（1）利用线面平行的判断定理；（2）转化为面面平行.空间角的计算可利用空间向量去计算，如二面角可以转化法向量的夹角去考虑，线面角可以转化方向向量和法向量的夹角去考虑.20. 已知椭圆
13、 的长轴长是短轴长的 倍，且椭圆 经过点 ，（1）求椭圆 的方程；（2）设不与坐标轴平行的直线交椭圆 于 两点， ，记直线在 轴上的截距为 ，求 的最大值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：(1)结合题意可求得 ，则椭圆的方程为 .(2)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理讨论可得直线在 轴上的截距的最大值为 .试题解析：（1）因为 ，所以椭圆的方程为 ，把点 的坐标代入椭圆的方程，得 ，所以 ，椭圆的方程为 .（2）设直线的方程为 ，联立方程组 得 ，由 ，得 ，所以 ，所以 由 ，得 ，令 ，所以 ，即 ，当且仅当 ，即 时，上式取等号，此时 ， ，满足 ，所以 的最大值为 .
14、21. 设函数 ， .（1）若函数 在 上单调递增，求 的取值范围；（2）设 ，点 是曲线 与 的一个交点，且这两曲线在点 处的切线互相垂直，证明：存在唯一的实数 满足题意，且 .【答案】(1) ;(2)见解析。;【解析】 【试题分析】 （1）求导后令导数大于或等于零，然后分离参数 ，利用恒成立可求得 的取值范围.（2）将两条切线相互垂直转化为在 点的导数乘积为 ，结合切点坐标可求得切点横坐标所满足的一个等式，通过分类讨论可得存在唯一实数满足题意.【试题解析】（1）解：由题意知 ，所以 ，由题意， ，即 对 恒成立，又当 时， ，所以 .（2）证明：因为 ， ,所以 ，即 .又点 是曲线 与
15、的一个交点，所以 .由消去 ，得 .（）当 时，因为 .所以 ，且 ，此与式矛盾.所以在 上没有 适合题意.（）当 时，设 ， .则 ，即函数 在 上单调递增，所以函数 在 上至多有一个零点.因为 ， ，且 的图象在 上不间断，所以函数 在 有唯一零点 .即只有唯一的 ，使得 成立，且 .综上所述，存在唯一的 ,且 .22. 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （为参数） ，直线 的参数程为 （为参数） ，设直线 与 的交点为 ,当 变化时点 的轨迹为曲线 .（1）求出曲线 的普通方程；（2）以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，点为曲线 的动点，求点
16、 到直线 的距离的最小值.【答案】 （1） 的普通方程为 ;(2) 的最小值为 .【解析】 【试题分析】 （1）利用加减消元法，消去参数，可将 转化为普通方程.将两方程联立，消去 可得 的普通方程.（2）先将直线 的极坐标方程转化为直角坐标方程，写出 的参数方程，利用点到直线的距离公式和三角函数辅助角公式，可求得距离的最小值.【试题解析】（1）将 ， 的参数方程转化为普通方程，消 可得： ，因为 ，所以 ，所以 的普通方程为 .（2）直线 的直角坐标方程为： .由（1)知曲线 与直线 无公共点，由于 的参数方程为 （为参数， ， ） ，所以曲线 上的点 到直线 的距离为，所以当 时， 的最小值
17、为 .23. 已知函数 ， .（1）求不等式 的解集；（2）若关于 的不等式 的解集非空，求 的取值范围.【答案】(1) 的解集为 ;(2) 的取值范围是 .【解析】 【试题分析】 （1）利用零点分段法，去绝对值，对每一段解不等式然后取并集.（2）利用绝对值不等式，消去 ，转化为关于 的一元二次不等式，从而求得 的取值范围.【试题解析】（1） ， ， 当 时， 无解； 当 时，由 ，得 ；当 时， 恒成立.所以 的解集为 .（2）由 有解，得 有解， 而 ，所以， ，解得 .所以 的取值范围是 .【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，解含有绝对值不等式存在性问题的解法.第一问解绝对值不等式，主要方法是零点分段法，如本题中，两个绝对值的零点分别为 利用零点分段法去掉绝对值符号，再解不等式.利用绝对值不等式可以求得绝对值的最值，再解一元二次不等式可求得参数的取值范围.
