1、2018 年江西省高三九校联合考试数学试卷（文科）第卷（选择题共 60 分）一、 选择题：本大题共 12 小题,每小题分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知 ，集合 ，集合 ，若 ，则 =（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】D【解析】因为 则 ， ,n=1, 则 =8.故答案为：D.2. 已知是实数， 是实数，则 的值为( )A. B. C. 0 D. 【答案】A【解析】知是实数， 是实数化简为 ，则 a=1, 则 = .故答案为：A.3. 在矩形 中， ，若向该矩形内随机投一点 ，那么使得 与 的面积都不小于的概率为（ ）A. B.
2、C. D. 【答案】B故答案为：B.4. 下列语句中正确的个数是（ ） ,函数 都不是偶函数命题“若 则 ”的否命题是真命题若 或 为真 则 ，非 均为真“ ”的充分不必要条件是“与 夹角为锐角”A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】 ,函数 都不是偶函数，是错误的，当 时，函数表达式为 ，是偶函数，故选项错误.命题“若 则 ”的否命题为。若 ，是错误的，当 时，函数值相等，故选项不正确.若 或 为真 则 ， 至少一个为真即可，故选项不正确 .“ ”的充分不必要条件是“与 夹角为锐角,正确，夹角为锐角则点积一定大于 0，反之点积大于 0，夹角有可能为 0 角，故选项正确.故答
3、案为：B.5. 阅读如下程序框图，如果输出 ，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据题意得到：i=1,s=0,i=2,s=5.I=3,s=8,I=4,s=9,I=5,s=12,此时输出 i 值为 5，说明 s 是要进入循环的， s9 结束循环，故因该填写 .故答案为：D.6. 一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：该几何体为半圆锥和正三棱柱的组合体，故体积为，故选 A考点：1、三视图；2、体积公式.7. 已知实数 满足： ， 则 的最大值（ ）A. 8 B. 7 C. 6
4、D. 5【答案】D【解析】根据不等式组画出可行域是封闭的四边形区域，对目标函数进行分类，当 0 时，令 z= , 这时可行域为直线 下方的部分，当目标函数过点（3，0）时有最大值 4.当 0 时，令 z= , 这时可行域为直线 上方的部分，这时当目标函数过点（2，4）时有最大值，代入得到最大值为 5.故答案为：D.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型）、斜率型（ 型）和距离型（ 型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最
5、小值。注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形。8. 将函数 的图象向右平移 个单位后，所得图象关于 轴对称，则 的取值可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】将函数 化简得到 ，向右平移 个单位后得到函数表达式为 ，因为关于 y 轴对称故得到 ，当 k=-1,时，得到 值为 .故答案为：A.9. 函数 的图像大致是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据函数表达式得到 ，故函数为偶函数，排除 D，在 0 处无意义，排除 A，当 x 趋向于正无穷时，y 值趋向于 0，但是永远大于 0，故选 B.故答案为：B.10. 已知定义在 上的函数 是奇函数，且满足 ， ，数列
6、满足 ，且（ 的前 ） ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 f（x）是奇函数f（x）=f（x）f（x）=f（x），f（ x）=f（x）f（3+x）=f（ +x）=f（x）=f（x）f（x）是以 3 为周期的周期函数数列 an满足 a1=1，且 =2 +1，a1=1，且 Sn=2an+n，a5=31， .故答案为：D.11. 在正方体 中边长为 2，点 是上底面 内一动点，若三棱锥 的外接球表面积恰为 ,则此时点 构成的图形面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据题意可建系，以 A 点为原点，AB 为 x 轴 AD 为 y 轴， 为 z 轴，设球心坐标为
7、 P 根据 QA= 此时球心坐标为 ，根据 QP= 得到 ，即此时 P 点在一个半径为 1 的圆上动.面积为 .故答案为;A.点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点) 或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.12. 若函数 ， 对于给定的非零实数，总存在非零常数 ，使得定义域 内的任意实数 ，都有恒成立，此时 为 的假周期，函数 是 上的级假周期函数，若函数 是定义在区间 内的 3 级假周期且 ，
8、当 函数 ，若 ， 使 成立，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意，对于函数 f（x） ，当 x0，2）时， ，分析可得：当 0x1 时，f（x）= 2x2，有最大值 f（0）= ，最小值 f（1）= ，当 1x2 时，f（x）=f（2x） ，函数 f（x）的图象关于直线 x=1 对称，则此时有 f（x） ，又由函数 y=f（x）是定义在区间0，+）内的 3 级类周期函数，且 T=2；则在6，8）上，f（x）=3 3f（x6） ，则有 f（x） ，则 f（8）=27 f（2）=27 f（0）= ，则函数 f（x）在区间6，8 上的最大值为 ，最小值为 ；
9、对于函数 ，有 g（x）= 分析可得：在（0，1）上，g（x）0，函数 g（x）为减函数，在（1，+ ）上， g（x）0，函数 g（x）为增函数，则函数 g（x）在（0，+）上，由最小值 g（1）= +m，若x 16，8，x2（0，+） ，使 g（x2）f（x1）0 成立，必有 g（x）minf（x）max，即 +m ，得到 m 范围为 .故答案为：B.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值） .第 II 卷
10、（非选择题共 90 分）二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13. 已知向量 , 则 的最小值为_【答案】4【解析】已知向量 , , 当时最小值为 4.故答案为：4.14. 曲线 在点 处的切线与直线平行且距离为 ，则直线的方程为_.【答案】 或【解析】曲线 在点 处的切线为 ，直线和它平行，可设为 ，根据平行线间的距离公式得到 代入化简得到方程为 或 .故答案为： 或 .15. 在 ABC 中， ，则 的最大值为 _【答案】【解析】acosBbcosA= c，结合正弦定理，得 sinAcosBsinBcosA= sinC，C=（A+B） ，得 sinC=sin（A+
11、B）sinAcosBsinBcosA= （sinAcosB+cosAsinB）整理，得 sinAcosB=4sinBcosA，同除以 cosAcosB，得 tanA=4tanB由此可得 tan（AB）= A、B 是三角形内角，且 tanA 与 tanB 同号A、B 都是锐角，即 tanA0， tanB0 +4tanB4tan（AB）= ，当且仅当 =4tanB，即 tanB= 时，tan（AB）的最大值为 .故答案为： .16. 已知椭圆 的右焦点为 , 是椭圆上一点，点 ，当点 在椭圆上运动时， 的周长的最大值为_ .【答案】14【解析】如图所示设椭圆的左焦点为 F，|AF|=4=|AF|，
12、则|PF|+|PF|=2a=6，|PA|PF|AF|，APF 的周长=|AF|+|PA|+|PF|=|AF|+|PA|+6 |PF|4+6+4=14，当且仅当三点 A，F，P 共线时取等号APF 的周长最大值等于 14故答案为：14.三、解答题：共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. 数列 的前 项和 ，数列 满足（1）求数列 ， 的通项公式； （2）求 的前 项和 .【答案】(1) ； (2) .【解析】试题分析：（1）根据题意得到 ， ，两
13、式做差得到 ，；（2）根据第一问得到 ，错位相减得到结果.解析：（1） 时当 时由（2）218. 如图，已知多面体的底面 是边长为 的菱形， ， ，且（1）证明：平面 平面 ；（2）若 ，求点 到平面 的距离.【答案】(1)证明见解析；(2) .【解析】试题分析: （1）连接 BD，交 AC 于点 O，设 PC 中点为 F，由已知结合三角形中位线定理可得四边形 OFED 为平行四边形，则 ODEF，即 BDEF再由 PA平面 ABCD，可得 PABD又 ABCD 是菱形，得BDAC由线面垂直的判定可得 BD平面 PAC则 EF平面 PAC进一步得到平面 PAC平面 PCE（2）由ABC=60
14、，可得ABC 是等边三角形，得 AC=2再由 PA平面 ABCD，得 PAAC求出三角形 PAC的面积证得 EF 是三棱锥 EPAC 的高，利用 PACE 的体积等于 EPAC 的体积求解.解析:（1）证明：连接 ，交 于点 ，设 中点为 ，连接 ， 因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，且 ，因为 ，且 ，所以 ,且所以四边形 为平行四边形，所以 ，即 因为 平面 ， 平面 ，所以 因为 是菱形，所以 因为 ,所以 平面因为 ,所以 平面因为 平面 ,所以平面 平面（2）因为 ，所以 是等边三角形，所以 又因为 平面 ， 平面 ， 因为 面 ，所以 是三棱锥 的高， ,平面 ,所以点 到平面
15、 的距离19. 进入高三，同学们的学习越来越紧张，学生休息和锻炼的时间也减少了.学校为了提高学生的学习效率，鼓励学生加强体育锻炼.某中学高三（3）班有学生 50 人.现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况，得到如下频率分布直方图.其中数据的分组区间为：（1）求学生周平均体育锻炼时间的中位数（保留 3 位有效数字） ；（2）从每周平均体育锻炼时间在 的学生中，随机抽取 2 人进行调查，求此 2 人的每周平均体育锻炼时间都超过 2 小时的概率；（3）现全班学生中有 40是女生，其中 3 个女生的每周平均体育锻炼时间不超过 4 小时.若每周平均体育锻炼时间超过 4 小时称为经常锻炼，问：有没有 9
16、0的把握说明，经常锻炼与否与性别有关？附：P(K2k0) 0.100 0.050 0.010 0.001k0 2.706 3.841 6.635 10.828【答案】(1)7.29；(2) ;(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据中位数的概念得到（a-6）0.14=0.5-0.32, 进而得到参数值；（2）根据古典概型的公式计算即可，先找出基本事件总数 10 个，再列举出满足条件的事件个数 3 个，进而得到概率值；（3）根据条件得到图表，由公式得到 K 值，从而下结论.解析：（1）设中位数为 a,因为前三组的频率和为：（0.02+0.03+0.11）2=0.320.5，第四组的频率为：
17、0.142=0.28，所以（a-6）0.14=0.5-0.32, a=学生周平均体育锻炼时间的中位数是 7.29（2）由已知，锻炼时间在 和 中的人数分别是 500.022=2 人,500.032=3 人，分别记在 的 2 人为 , , 的 3 人为 , ,则随机抽取 2 人调查的所有基本事件列举为: , , , , , , ,共 10 个基本事件其中体育锻炼时间都超过 2 小时包含 3 个基本事件,所以（3）由已知可知，不超过 4 小时的人数为：500.052=5 人，其中女生有 3 人，所以男生有 2 人，因此经常锻炼的女生有 5040-3=17 人，男生有 30-2=28 人所以 22
18、列联表为：男生 女生 小计经常锻炼 28 17 45不经常锻炼 2 3 5小计 30 20 50所以所以没有 90的把握说明，经常锻炼与否与性别有关.20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线 与椭圆交于 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）根据点在曲线上，将点代入曲线可得到方程；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，根据弦长公式得到弦长 AB，又因为 ，根据基本不等式可得到最值.解析：（1）设椭圆的方程为将 带入方程，可得故椭圆的标准方程为（2）设原点到直线的距离由 得 又 由基本不等式当且仅当
19、时，不等式取“ ”号点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21. 已知函数 （1）当 时，求函数 的极小值；（2）若 上，使得 成立，求 的取值范围【答案】(1)2；(2) .【解析】试题分析：（1）将参数值代入表达式，再进行求导，根据导函数的正负得到原函数的单调性，进而得到极值；（2） ,有解，即 h(x)的最小值小
20、于 0 即可，对函数求导，研究函数的单调性，得到最小值即可.解析：（1）当 时，令 0，得且 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增所以 在 时取得极小值为 .（2）由已知： ，使得，即：设 ，则只需要函数 在 上的最小值小于零又 ，令 ，得 （舍去）或 当 ，即 时， 在 上单调递减，故 在 上的最小值为 ，由 ，可得 因为 ，所以 当 ，即 时， 在 上单调递增，故 在 上的最小值为 ，由 ，可得 （满足 ）当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 在上的最小值为 因为 ，所以 ，所以 ，即 ，不满足题意，舍去综上可得 或 ，所以实数 的取值范围为 点睛：导数问题经常会遇
21、见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立 ；（3）若 恒成立，可转化为 （需在同一处取得最值）（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 已知直线 ，曲线 .以坐标原点 O 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）分别求直线和曲线 的极坐标方程；（2）若射线 分别交直线和曲线 于 M,N 两点（N 点不同于坐标原点 O） ，求的最大值 .【答案】(1) ； ；(2) .【解析】试题分析:(1)根据极值互化的公式得
22、到极坐标；（2）由极径的概念得到 ，, 对函数化一求最值即可.解析：（1） （2）由已知可设则 ，仅当 时，取得最大值23. 已知函数（1）若对于任意的实数 ，都有 成立，求 的取值范围；（2）若 方程 有两个不同的实数解，求的取值范围.【答案】(1) ；(2)【解析】试题分析：（1）对函数零点分区间，去掉绝对值，得到 ，画出图像得到只需 ，解出即可；（2）方程 有两个不同的实数解，即函数 与 的图像有两个不同的交点，作出这两个函数图像，使得两个图像有两个交点即可.解析：（1）由于 ，所以 的最小值为 .又因为对任意的实数 ，都有成立，只需 ，即，解得 ，故 的取值范围为 .（2）方程 有两个不同的实数解，即函数 与 的图像有两个不同的交点，作出这两个函数图像，由图像可知，得取值范围是
