1、2018 届江苏省苏州高新区第一中学第一学期高三期初考试数学试卷（解析版）高三数学卷一、填空题： 1. 已知集合 则 _A=x|1x1, AZ=【答案】【解析】 .AZ=x|-1x1Z=-1,0,12. 若复数 为虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为_z=(1i)(m+2i)(i m【答案】 2【解析】因为复数 是纯虚数， ，解得 ，故答案z=(1i)(m+2i)=m+2+(2m)i m+2=02m0 为 .23. 数据 10，6，8，5，6 的方差 _s2=【答案】165【解析】因为 ,所以 x=10+6+8+5+65 =7 s2=1532+(1)2+12+(2)2+(1)2=165.4. 抛
2、掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有 1，2，3，4 的正四面体，记底面上的数字分别为 ，则 为整x,yxy数的概率是_【答案】12【解析】总数为 为整数有 共 8 个,所以概率是 5. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 则 _x2y2m2=1(m0) x+ 3y=0, m=【答案】33【解析】 渐近线方程为 ,所以 x2-y2m2=0 1m2=( 3)2m0m=33.6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是_ 【答案】 1【解析】执行循环得: ,结束循环,输出 s=112=12,m=2;s=12=1,m=32点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关
3、概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7. 底面边长为 2，侧棱长为 的正四棱锥的体积为_.3【答案】43【解析】高为 正四棱锥的体积为 ( 3)2( 2)2=113122=43.8. 在等比数列 中，若 则 _an a1=1,a3a5=4(a41), a7=【答案】4【解析】因为 所以 a3a5=4(a4-1), a24=4(a41)a4=2q3=2a7=a4q3=22=4.9. 已知 则向量 的夹角为_|a|=1,|b|=2,a+b=(1, 2), a,b【答案】23【解析】因为 所
4、以 a+b=(1, 2), 1+4+2ab=3ab=1cos=112=12=23.10. 直线 被圆 截得的弦长为 2，则实数的值是_ax+y+1=0 x2+y22ax+a=0【答案】 2【解析】圆 = ,则圆心( a,0),半径为 ,因为直线被圆截得的弦长为 2,所以圆心(x-a)2+y2a2-a a2-a(a1或 a2 log2x4 00) (6, 32) 【答案】6【解析】将函数 的图象向左平移 个单位得 所以y=sin2x (0) y=sin2(x+),sin2(6+)=322(6+)=3+2k或 23+2k,(kZ)，所以正数 的最小值为 .=k或6+k,(kZ) 6点睛：三角函数的
5、图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言.x13. 在 中， 角 的平分线与 边上的中线交于点 ，若 则ABC AB=2,AC=3, A AB O AO=xAB+yAC(x,yR),的值为_x+y【答案】58【解析】设 AB 中点为 D，则 ,因此 x=38,y=14,x+y=58.点睛：向量共线转化方法， a/b,b0R,a=b BA=ACOA=11+OB+ 1+OC若 ，则 三点共线OA=mOB+nOC A,B,C三点共线 A,B,C R,AB=AC14. 已知函数 为自然对数的底数） ，
6、若存在实数 ，使得f(x)=ex1+x2(e g(x)=x2axa+3, x1,x2且 则实数的取值范围是_f(x1)=g(x2)=0, |x1x2|1,【答案】【解析】因为函数 单调递增，且 ，所以 因为 ，所以由 得 因为 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，因此 .t+4t 2,3 4t+4t5 a2,3点睛：方程有解问题一般利用变量分离法转化为对应函数值域问题，不等式有解问题一般利用变量分离法转化为对应函数最值问题.二、解答题： 15. 已知向量(1)当 的值；a/b时 ,求 2cos2xsin2x（2）求 上的值域f(x)=(a+b)b在 2,0【答案】 （1） ；（2）2013 2
7、2,12【解析】试题分析：（1）先根据向量平行得 即得正切值，再把 化成切，最后代32cosx+sinx=0, 2cos2x-sin2x入求值， （2）先根据向量数量积化简，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求值域.试题解析：（1） ， a/b 32cosx+sinx=0, tanx=-322cos2x-sin2x=2cos2x-2sinxcosxsin2x+cos2x（2） ，a+b=(sinx+cosx,12)， -2x0, -342x+44 -1sin(2x+4)22函数-22f(x)12, f(x)的 值 域 - 22,1216. 如图，在四棱
8、锥 中， 与 交于点 且平面 平面 为棱 上PABCD AB/CD,ACBD,AC BD PAC ABCD,E PA一点.（1）求证： BDOE;（2）若 求证： 平面AB=2CD,AE=2EP, EO/ PBC.【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据面面垂直性质定理得 平面 ，再根据线面垂直性质定理BD PAC得 （2）根据相似得 ，再根据线面平行判定定理得结论 .BDOE EO/PC试题解析：（1）因为平面 底面 ，平面 底面 ， ，PAC ABCD PAC ABCD=AC BDAC平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，BD ABCD BD PAC OE PAC
9、所以 BDOE（2）因为 ， ， 与 交于 ，所以 ，AB/CDAB=2CD AC BD O CO:OA=CD:AB=1:2又因为 ，所以 ，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平AE=2EP CO:OA=PE:EA EO/PC PC PBC EO PBC EO/面 PBC17. 如图，椭圆 的上、下顶点分别为 ，右焦点为 点 在椭圆 上，且C:x2a2+y2b2=1(ab0) A,B F, P C OPAF.（1）若点 坐标为 求椭圆 的方程；P ( 3,1), C（2）延长 交椭圆 于点 ，已知椭圆的离心率为 ，若直线 的斜率是直线 的斜率的 倍，求实数 的AF C Q22 OP BQ
10、 m m值【答案】 （1） ；（2） ；（3）存在x2133+y2134=1 22【解析】试题分析：（1）根据 得 ，再将 P 点坐标代入椭圆方程，解得 （2）OPAF 3c=b a2=133,b2=134试题解析：（1）因为点 ，所以 ，P( 3,1) kOP=13又因为 AF OP， ，所以 ，所以 ， -bc13=-1 3c=b 3a2=4b2又点 在椭圆上，所以 ，P( 3,1)3a2+1b2=1解之得 故椭圆方程为 a2=133,b2=134 x2133+y2134=1（2） kAQkBQ=yQbxQyQ+bxQ=yQ2b2xQ2=b2a2所以 m=kOPkBQ= 1kAQkBQ=a
11、2b2=2点睛：研究解几问题，一是注重几何性，利用对称性减少参数；二是巧记一些结论，简约思维、简化运算，如利用 关于原点对称， 为椭圆上三点).kPAkPB=b2a2,(A,B A,B,P18. 如图，墙上有一壁画，最高点 离地面 4 米，最低点 离地面 2 米，观察者从距离墙 米，离地面A B x(x1)高 米的 处观赏该壁画，设观赏视角a(1a2) C ACB=.（1）若 问：观察者离墙多远时，视角最大？a=1.5,（2）若 当变化时，求 的取值范围.tan=12,【答案】 （1）当观察者离墙 米时，视角最大；（2）52 3，4【解析】试题分析：（1）利用两角差的正切公式建立函数关系式，根
12、据基本不等式求 最值，最后根据正tan切函数单调性确定最大时取法， （2）利用两角差的正切公式建立等量关系式，进行参变分离得，再根据 a 的范围确定 范围，最后解不等式得 的取值范围.a2-6a+8=-x2+4x -x2+4x试题解析：（1）当 时，过 作 的垂线，垂足为 ，a=1.5 C AB D则 ，且 ，BD=0.5 =ACD-BCD由已知观察者离墙 米，且 ，x x1则 ， tanBCD=0.5x,tanACD=2.5x所以， ，tan=tan(ACD-BCD)当且仅当 时，取“ ” x=521 =又因为 在 上单调增，所以，当观察者离墙 米时，视角最大 tan (0,2) 52（2）
13、由题意得， ，又 ，tanBCD=2-ax,tanACD=4-ax tan=12所以 ， tan=tan(ACD-BCD)=2xx2+(a-2)(a-4)=12所以 ，a2-6a+8=-x2+4x当 时， ，所以 ，1a2 0a2-6a+83 0-x2+4x3即 ，解得 或 ， x2-4x0x2-4x+30 0x1 3x4又因为 ，所以 ，x1 3x4所以 的取值范围为 x 3,419. 已知数列 满足 ，且an 2an+1=an+an+2+k(nN*,kR) a1=2,a3+a5=4.（1）若 求数列 的前 项和k=0, an n Sn;（2）若 求证：数列 为等差数列； 求数列 的通项公式
14、a4=1, an+1an an an.【答案】 （1） ；（2）Sn=23n2+83n an=n2+4n1,nN*【解析】试题分析：（1）先根据等差数列定义证明 是等差数列，再利用待定系数法求首项与公差，最an后根据等差数列求和公式得结果， （2）先求 k, 再根据等差数列定义证明 是等差数列，最后利an+1-an用累加法求数列 的通项公式.an试题解析：（1）当 时， ，即 ，k=0 2an+1=an+an+2 an+2-an+1=an+1-an所以，数列 是等差数列 an设数列 公差为 ，则 解得an d a1=2,2a1+6d=-4, a1=2,d=-43. 所以， （2）由题意， ，即
15、 ，所以 2a4=a3+a5+k -2=-4+k k=2又 ，所以 ，由 ，a4=2a3-a2-2=3a2-2a1-6 a2=3 2an+1=an+an+2+2得 ，(an+2-an+1)-(an+1-an)=-2所以，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列an+1-an a2-a1=1 -2所以 ， an+1-an=-2n+3当 时，有 ，n2 an-an-1=-2(n-1)+3于是， ，an-1-an-2=-2(n-2)+3，an-2-an-3=-2(n-3)+3 ，a3-a2=-22+3，a2-a1=-21+3叠加得， ，an-a1=-2(1+2+(n-1)+3(n-1),(n2)所以
16、， an=-2n(n-1)2 +3(n-1)+2=-n2+4n-1,(n2)又当 时， 也适合n=1 a1=2所以数列 的通项公式为 an an=-n2+4n-1,nN*20. 已知函数 f(x)=cosx+ax21,aR.（1）求证：函数 是偶函数；f(x)（2）当 求函数 在 上的最大值和最小值；a=1, f(x) ,（3）若对于任意的实数 恒有 求实数的取值范围.x f(x)0,【答案】 （1）偶函数；（2）最大值是 22，最小值为 0；（3）12，+)【解析】试题分析：（1）根据偶函数定义进行证明，首项确定定义域关于原点对称，再证 ，（2）f(-x)=f(x)利用导数求函数 在 上单调
17、性，根据偶函数得函数 在， 上单调性，最后根据单调性确定函数f(x) 0, f(x)最值取法， （3）先求 导函数的导数，再根据 与 分类讨论，利用 以及 进行证明或举反f(x) a12 a0 f(x)又 ，所以 ，所以 在0 ，上是增函数，f(0)=0 f(x)0 f(x)又函数 是偶函数，f(x)故函数 在 ，上的最大值是 22，最小值为 0f(x)（3） ，f(x)=-sinx+2ax令 ，则 ，g(x)=f(x)=-sinx+2ax g(x)=-cosx+2a当 时， ，所以 是增函数，a12 g(x)=-cosx+2a0 f(x)又 ，所以 ，所以 在0 ，+)上是增函数，f(0)=
18、0 f(x)0 f(x)而 ， 是偶函数，f(0)=0 f(x)故 恒成立 f(x)0当 时， ，所以 是减函数，a-12 g(x)=-cosx+2a0 f(x)又 ，所以 ，所以 在(0 ，+)上是减函数，f(0)=0 f(x)0 f(x)而 ， 是偶函数，所以 ，与 矛盾，故舍去 f(0)=0 f(x) f(x)0) (2,1) P(0,1) C A,B A y点为 ，连接 .A AB（1）求抛物线 标准方程；C（2）问直线 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.AB【答案】 （1） ；（2）x2=4y (0,1)【解析】试题分析：（1）将点 代入抛物线 C 的方程解得 p
19、即可得到抛物线 标准方程；（2）设(2,1) C，利用点斜式写出直线 的方程 ，再将直线 AB 方程与抛物线方程联立A(x1,x124),B(x2,x224) AB y-x224=x2-x14(x-x2)方程组，利用韦达定理化简直线 的方程得 ，即证得直线 是否过定点 .AB y=x2-x14x+1 AB (0,1)试题解析：（1）将点 代入抛物线 C 的方程得， ，(2,1) p=2所以，抛物线 C 的标准方程为 x2=4y（2）设直线 l 的方程为 ，又设 ，则 ，y=kx-1 A(x1,y1),B(x2,y2) A(-x1,y1)由 得 ，则 ，y=14x2,y=kx-1, x2-4kx
20、+4=0 =16k2-160,x1x2=4,x1+x2=4k所以 ， kAB= y2-y1x2-(-x1)=x224-x124x1+x2=x2-x14于是直线 的方程为 ， AB y-x224=x2-x14(x-x2)所以， ，y=x2-x14(x-x2)+x224=x2-x14x+1当 时， ，所以直线 过定点 x=0 y=1 AB (0,1)点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
