1、2017 届甘肃省西北师范大学附属中学高三校内第二次诊断考试数学（理）试题一选择题 (本大题共 12 小题.每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.已知全集 21,234,120,1,UAxBxaA集 合 ，则集合CAB等于( )A. ,5B. ,C. 3,45D. ,2.复数 220171.ii（ ）A.1 B1+ i C.i D1- i3近日，一种牛奶被查出含有致癌物质，国家质监局调查了这种牛奶的 100个相关数据，绘制成如图所示的频率分布直方图，再对落在6,11)，21,26两组内的数据按分层抽样方法抽取 8个数据，然后从这8个数据中抽取
2、 2个，则最后得到的 2个数据分别来自两组的取法种数是( )A10 B13 C15 D184.已知直线 m,n和平面 ,则 mn 的一个必要条件是( )A. m ,n B. m ,n C. ,n D.m,n与平面 成等角5.如果 nx)13(2的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 31x的系数是( )A.7 B.-7 C.21 D.-216.中国古代数学著作 :算法统宗 中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。 ”其意思为：有一个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了
3、6天后到达目的地，请问第 2天走了（ ）A.192里 B.96 里 C.48 里 D.24 里 7一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果是 ，则判断框内163应填入的条件是( )A. ?4i B. ?4iC. 5D. 58. 已知 Ryx,，在平面直角坐标系 xoy中，点 ),yx（ 为平面区域204xy内任一点，则坐标原点与点 ),（ 连线倾斜角小于 3的概率为( )DDABCA 16 B 3 C 16 D 329.已知双曲线 )0,(2bayx的右焦点为 F,过 F的直线 l交双曲线的渐近线于 A,B两点,且与其中一条渐近线垂直,若FA4,则该双曲线的离心率是( )A. 5 B.
4、 2 5 C. 51 D. 510210.已知 1()(0,)axfeb的图象在 x处的切线与圆 21xy相切,则 ab的最大值是( ) A.4 B.2 C.2 D. 11.已知正四面体纸盒的俯视图如下图所示,其中四边形 ABCD是边长为 3的正方形,若在该正四面体纸盒内放一个正方体,使正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值是( )A. 2 B.1 C.2 D 3 12.已知函数 ()|,xfe又 2()(),gfxtfR若关于 x的方程()1gx有四个不同的实根，则实数 t的取值范围为( )A.2,)eB. 21(,eC. 21(,)eD.2(,)e二、填空题 (本大题共 4小题，
5、每小题 5分，共 20分。把答案填在题中的横线上。)13.若在正整数构成的无穷数列 na中,对任意的正整数 n,都有 ,1na且对任意的正整数 k,该数列中恰有 2k-1个 k,则 2017a .14.已知实数 ,xy满足 24,则 2xy的最小值为 .15.给出下列四个命题：命题“ 0R,cos”的否定是：“ 0cos,0xR”；若 lgabl()，则 ab的最大值为 4；定义在 R上的奇函数 f()满足 2f(x)fx，则 6f的值为 0；已知随机变量 服从正态分布 15081N,P().，则 319P().其中真命题的序号是 .16.已知向量 ,abc满足 ,c且 a与 b的夹角的正切值
6、为 1,2， c与 b的夹角的正切 值为 13|=2，则 = .三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)17 （本题满分 12 分）已知 (sincos, 3s), mxx (cosin, 2si)nxx(0)，若 ()fx，且 )f的图象相邻的对称轴间的距离不小于 2.（1）求 的取值范围.（2）若当 取最大值时， ()1fA，且在 BC 中， ,abc分别是角 ,ABC的对边，其面积3ABCS，求 B 周长的最小值.18.（本题满分 12 分）PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准
7、采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5日均在 35微克/立方米以下空气质量为一级,在 35微克/立方米 :75微克/立方米之间空气质量为二级,在 75微克/立方米以上空气质量为超标.北方某市环保局从2015年全年每天的 PM2.5监测数据中随机抽取 15天的数据作为样本,监测值如下面图 3所示(十位为茎,个位为叶).(1)15天的数据中任取 3天的数据,记 表示其中空气质量达到一级的天数,求 的分布列;(2)以这 15天的 PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 360天计算)中大约有多少天的空气质量达到一级.19.（本题满分 12 分）已知某几何体直观图和三视图如下图所示，
8、其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.7 9 3 7 1 4 32 8 59 2 5 8 6 3 6 3 8 4 4 5 4484主视图 侧视图俯视图ABC C1B1NMPM2.5 日均值（微克/立方米）（1）求证： BN1C平 面 ；（2） sinB 设 为 直 线 与 平 面 所 成 的 角 ,求 的 值 ； （3）设 M为 A中点，在 边上找一点 P，使 M/平面 1CNB并求 P的 值 .20 （本题满分 12分）如图，曲线 C1是以原点 O为中心， F1， F2为焦点的椭圆的一部分曲线 C2是以 O为顶点， F2为焦点的抛物线的一部分， A是曲线 C1和 C2的交
9、点且 AF2F1为钝角，若| AF1| ，| AF2| .72 52（1）求曲线 C1和 C2的方程；（2）设点 C是 C2上一点，若| CF1| |CF2|，求 CF1F2的面积221.（本题满分 12分）已知函数 21()ln().fxaxaR(1)求函数 ()fx的单调区间;xyF2OAF11C(2)若 ()0fx对定义域内的任意 x恒成立,求实数 a的取值范围;(3)证明:对于任意正整数 ,mn不等式 11.l()ln(2)ln()()nmm恒成立.四、选做题 (请从下面的 22,23二道题中任选一题做答，并用 2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的提号方框涂黑,按所涂题号进行评分,不涂、
10、多涂均按所答第一题评分；如果多答，按所答第一题评分.)22.(本小题满分 10分)选修 4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xoy中,已知直线 l的参数方程为 cos,(inxtty为参数, 0),以原点 O为极点,以 x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为 2.1cs(1)写出直线 l的极坐标方程和曲线 C的直角坐标方程;(2)若直线 与曲线 C相交于 A,B 两点,求 1|OAB的值.23.(本小题满分 10分)选修 4-5:不等式选讲已知函数 (|1|.fx(1)解不等式 ()4)8;fx(2)若 |,|,0ab求证: |.ba西北师大附中2017 届高三校内第二
11、次诊断考试试题答题卡数学(理科)一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17 （12 分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效18 （12 分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效19 （12 分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效20 （12 分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效ABC C1B1NM21 （12 分）请在下列边框答题，超出边框区域的答案无效（续 21 题）选做题（本题满分 10 分，请考生在 22，23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分） 我选做的是第
12、题，解答过程如下： 西北师大附中2017 届高三校内第二次诊断考试试题答案数学(理科)一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B B C D C B C D D D A A二、填空题13. 45; 14. 2 15.(1)（3） （4）; 16. 45.17解：（1） ()(sincos)(sin)23cosinfxmxxx22cos)i23iin()6x又由条件知 2 ，所以 01 . （2）当 取最大值 1时， ()2sin()16fA，又 132(,)6A，所以 56A，故 3. 在 BC 中， 1sin324ABCSbcbc ， 4bc又由余弦定理有：
13、 2osaA 周长 2 426bcbcbc 当且仅当 2bc时取得等号.所以， ABC 周长的最小值为 6. 18.解:(1)依据条件, 服从超几何分布,其中 N=15,n=3,这 15天中空气质量达到一级的天数 M=5, 的可能取值为 0,1,2,3.其分布列为:3510()(,23).kCP即: 0 1 2 3P 2491 459 091 291(2)依题意,可知一年中每天空气质量达到一级的概率为 .53P设一年中空气质量达到一级的天数为,则 :B(360, 13),所以 E（ ）=360 13=120天。所以一年中大约有 120天的空气质量达到一级。19解：（1）证明：因为该几何体的正视
14、图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， BA，BC，BB 1两两垂直。 以 BA，BC，BB 1分别为 zyx,轴建立空间直角坐标系，则 N（4,4,0） ，B 1（0, 8,0） ，C 1（0,8,4） ，C（0,0,4） 1NB=（4,4,0）（-4,4,0）=-16+16=0 C=（4,4,0）（0,0,4）=0 BNNB 1，BNB 1C1且 NB1与 B1C1相交于 B1，BN平面 C1B1N； （2）设 ),(2zyxn为平面 1的一个法向量，则 210(,)4,)0 210,(,)(4,)xyznCN取则 (4,)(,12sin| |;364 （3）M（2,0,0）
15、.设 P(0,0,a)为 BC上一点,则 ),02(aMP, MP/平面 CNB1, .12),1(,02(2 nMP又 1/,CNBCNB平 面平 面 ,当 PB=1时 MP/平面 CNB1 3P .20解：(1)设椭圆方程为 1( a b0)，x2a2 y2b2则 2a| AF1| AF2| 6，得 a3.72 52设 A(x， y)， F1( c,0)， F2(c,0)，则( x c)2 y2 2，( x c)2 y2 2，两式相减得 xc .(72) (52) 32由抛物线的定义可知| AF2| x c ，52则 c1， x 或 x1， c .又 AF2F1为钝角，则 x1， c 不合
16、题意，舍去当 c1 时，32 32 32b2 ， 2所以曲线 C1的方程为 1 ，曲线 C2的方程为 y24 x . (2)过x29 y28 ( 3 x 32) (0 x 32)点 F1作直线 l垂直于 x轴，过点 C作 CC1 l于点 C1，依题意知| CC1| CF2|.在 Rt CC1F1中，| CF1| |CF2| |CC1|，所以 C1CF145，2 2所以 CF1F2 C1CF145.在 CF1F2中，设| CF2| r，则| CF1| r，| F1F2|2.2由余弦定理得 22( r)222 rcos 45 r2，2 2解得 r2. 所以 CF1F2的面积 S |F1F2|CF1
17、|sin 45 22 sin 452. 12 12 221.解.(1) / ()()()(0).axafx x当 0时,若 ,则 /0;f若 ,则 /;f所以 ()fx在(0,1)递减;在 (1,)递增.当 1a时, ()fx在 (1)a递增;在 (1)a上递减.当 时, 在 0,递增;当 时, ()fx在 ()递增;在 (,)上递减.(2)由于 1),2fa显然当 时, 10f不符合条件; 当 0a时,由(1)可知, ()fx在x处取得最小值,只要 ()0f即可,所以 .2a(3)当 a时, 2lnxx恒成立, 1x时取等号.所以 2ln.x当 1时, 21.l()上面不等式中,令 *,.,
18、mnmN将所得各式相加,得1111. .ln()l(2)l()()()2()(. mnn 即不等式 11.l()l(2)ln()()nmm恒成立.22.解.(1)由参数方程 cos,ixty得当 2时,直线 l为 0,x其极坐标方程为 2和 3.当 2时,消去参数 t得 tan.因为 0,所以直线 l的极坐标方程为 和 .综合以上, 直线 l的极坐标方程为 和 .由 2.1cos得 cos2,因为 22,cos,xy所以 22(),xy化简得曲线的直角坐标方程为 24(1).yx(2)设 12(,)(,)AB由,21cos得, 12,cos即|OA|= 2,1cos同理由,1cos得, 2,s即|OB|= .s 所以 .|OAB23.解(1)2,3,()4)|1|3|41,xfxx当 3时,由-2 28,解得 5;当 x时, 8,不成立; 当 1x时,由 28,x解得;x所以不等式的解集为: (,3,)x(2)要证 ()|().bfaf即证 |1|.ab因为 |1,|,ab所以, 222|1| )0b.所以原不等式成立.
