1、2018 届河北辛集中学高三上学期第四次阶段考试数学（文）试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1已知 i 是虚数单位，若 z（1+i）=1 +3i，则 z=（ ）A2 +i B2i C 1+i D1i2已知全集 U=R，集合 ，则 A（ UB）=（ ）A （ 1，+） B3，+）C （1，0 ）（3，+ ） D （1，03，+）3已知命题 p，q 是简单命题，则“p 是假命题”是“pq 是真命题”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件4已知 a=sin ，b=cos ，c=ta
2、n ，则（ ）Ab a c Bcb a Cb c a Da bc5设变量 x，y 满足约束条件 ，则 z=x2y 的最大值为（ ）A 12 B1 C0 D6设函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x）= ，则 g（ 8）= （ ）A 2 B3 C2 D37若将函数 f（x）=1+sinx（0 4，Z ）的图象向右平移 个单位后，得到函数y=g（x ）的图象，且 y=g（x ）的图象的一条对称轴方程为 x= ，则 f（x）的最小正周期为（ ）A BC D8如图，网络纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三观图，切削该毛坯得到一个表面积最大的长方体，则该长方体的表面积
3、为（ ）A24 B16+ 32 C16+8 D329设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1， 2和 a，且长为 a 的棱与长为 2的棱异面，则 a的取值范围（ ）A 2,1 B 2,0 C 3,1 D 3,010对任意非零实数 a，b，若 ab 的运算规则如图的程序框图所示，则（32） 4 的值是（ ）A0 B C D911已知在ABC 所在平面内有两点 P、Q，满足 + =0， + + = ，若| |=4，| |=2，S APQ = ，则 的值为（ ）A4 B4 C4 D412已知函数 f（x ）=lnxx 2 与 g（x ）=（x 2） 2+ m（m R）的图象上存在关于（1，0）对称
4、的点，则实数 m 的取值范围是（ ）A （ ，1 ln2） B （ ，1ln2C （ 1ln2，+ ） D1 ln2，+）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上13已知 a0，6，使得函数 f（x）=lg（ax 2ax+1）的定义域为 R 的概率为 14已知点 A（1，0） ，B（1， ） ，点 C 在第二象限，且AOC=150， =4 + ，则 = 15若 f（x） +f（1x）=4，a n=f（0）+f（ ）+f（ ）+f （1） （nN +） ，则数列a n的通项公式为 16已知矩形 ABEF 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，
5、AD=2 ， AB=3，AF= ，M 为 EF 的中点，则多面体 MABCD 的外接球的表面积为 三、解答题：本大题共 70 分，其中（17）-（21）题为必考题， （22） ， （23）题为选考题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤来源: Z,X,X,K17已知数列a n为等差数列，且 a1=5，a 2=9，数列b n的前 n 项和 Sn= bn+ （）求数列a n和b n的通项公式；（）设 cn=an|bn|，求数列c n的前 n 项的和 Tn18某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图（）求分数在50，60）的频率及全班人数；（）求分
6、数在80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中80，90）间矩形的高；（）若要从分数在80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在90，100）之间的概率19平面 ABEF平面 CBED，四边形 ABEF 为直角梯形， AFE=FEB=90 ，四边形 CBED 为等腰梯形，CDBE，且 BE=2AF=2CD=2BC=2EF=4（）线段 BE 上是否存在动点 O，使得 FO平面 ABC？若存在，求出点 O 位置，并加以证明；若不存在，说明理由。（）求多面体 ABCDEF 体积20.已知 O 为坐标原点，椭圆 C： + =1（ab0）的左、右焦点分别为
7、 F1、F 2，上顶点为 P，右顶点为 Q，以F1、F 2 为直径的圆 O 与椭圆 C 内切，直线 PQ 与圆 O 相交得到的弦长为 （）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l 与以 F1、F 2 为直径的圆 O 相切，并且与椭圆 C 交于不同的两点 A、B ，求AOB 的面积的最大值21设函数 f（x ）= x2bx+alnx（）若曲线 f（x）在点（ 1， ）处的切线平行于 x 轴，求 f（x ） ；（）f（x ）存在极大值点 x0，且 ae 2（其中 e=2.71828） ，求证：f（x 0）0选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） 以
8、坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos（ + ）= l 与 C 交于 A、B 两点（）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；（）设点 P（0，2） ，求|PA|+|PB |的值选修 4-5：不等式选讲 23已知关于 x 的不等式|x 3|+|xm|2m 的解集为 R（）求 m 的最大值；（）已知 a0，b0， c0，且 a+b+c=m，求 4a2+9b2+c2 的最小值及此时 a，b，c 的值2017-2018 学年河北辛集中学高三第一学期第四次阶段考试数学试卷（文科）答案1-5A D A A C 610 A C B B C 11-1
9、2. D D=1 an=2（n+1） 1611 ；P 为 AC 中点；由 得， ； ；Q 为靠近 B 的 AB 的三等分点， ， ； = = ； ； ； = = 故选 D12. 解：数 f（x ）=lnx x2 与 g（x）= （x2） 2+ m（m R）的图象上存在关于（1，0）对称的点，f（x）=g（2x）有解，lnx x2=x2 +m，m=lnx+ 在（0，+）有解，m= ，函数在（0， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增，mln +1=1ln216解：设球心到平面 ABCD 的距离为 d，矩形 ABEF 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，AF= ，M 为 EF 的中点，
10、M 到平面 ABCD 的距离为 ，R 2=（ ） 2+d2=12+（ d） 2，d= ，R 2=4，多面体 EABCD 的外接球的表面积为 4R2=16(19 图) 17. 解：（1）由数列a n为等差数列，公差 d=a2a1=4，则数列a n的通项公式，a n=a1+（n 1）d=4n +1，由 Sn= bn+ ，当 n2 时， Sn1= bn1+ ，则 bn=SnSn1=（ bn+ ）（ bn1+ ）= bn bn1，则 bn=2bn1，当 b=1 时， b1= b1+ b 1=1，数列b n以 1 为首项，2 为公比的等比数列，数列b n的通项公式 bn=（ 2） n1；（）c n=an
11、|bn|=（4n+1 ）2 n1，则数列c n的前 n 项的和 Tn，T n=51+92+1322+（4n+1）2 n1，2Tn=52+922+1323+（4n+1）2 n，两式相减可得，T n=5+4（2+2 2+23+2n1）（4n +1）2 n，=5+4 （4n+1）2 n，=32 n34n2n，T n=（4n3 ）2 n+3，数列 cn的前 n 项的和 Tn=（4n3）2 n+318解：（）分数在50，60）的频率为 0.00810=0.08，由茎叶图知：分数在50，60）之间的频数为 2，全班人数为 （）分数在80，90）之间的频数为 2522=3；频率分布直方图中80，90）间的矩
12、形的高为 （）将80，90）之间的 3 个分数编号为 a1，a 2，a 3，90，100）之间的 2 个分数编号为 b1，b 2，在80，100 ）之间的试卷中任取两份的基本事件为：（a 1，a 2） ， （a 1，a 3） ， （a 1，b 1） ，（a 1，b 2） ， （ a2，a 3） ， （a 2，b 1） ， （a 2，b 2） ， （a 3，b 1） ， （a 3，b 2） ， （b 1，b 2）共 10 个，其中，至少有一个在90，100）之间的基本事件有 7 个，故至少有一份分数在90，100）之间的概率是 19解：（）取 BE 的中点 O，连接 OD，OF，则 DOBC，F
13、O AB，平面 DFO 平面 ABC，FO平面 ABC；（）三棱柱 ABCDOF 的直截面的边长分别为 2， ， ，面积为 = ，体积为=2 ，三棱锥 FODE 的体积为 = ，多面体 ABCDEF 体积=2 + = 20解：（）由题意可知：P（0，b） ，Q（a，0） ，则直线 PQ 的方程： ay+bxab=0，则 O 到直线 PQ 的距离 d= = ，由以 F1、F 2 为直径的圆 O 与椭圆 C 内切，则 b=c，在ODP 中，根据勾股定理可知：（ ） 2+（ ） 2=b2，由 a2=b2+c2=2b2，由解得：b 2=1，a 2=2，椭圆的标准方程为： （）当直线 AB 的斜率不存在
14、时， AB 过椭圆的焦点，令 x=1 代入椭圆方程可得 y= ，可得|AB|= ，S ABO = ；当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB：y=kx+m，A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，圆 O 与直线 l 相切， =1，m 2=k2+1 由 ，消去 y，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m22=0，直线 l 与椭圆交于两个不同的点，= （ 4km） 24（1+2k 2） （2m 22）0，即 m22k21，k 20由韦达定理可知：x 1+x2= ，x 1x2= ，则丨 AB 丨= = = ， AOB 的面积 S= 丨 AB 丨d= ，令 1+2k2=t（t 1） ，可得
15、k2= ，则 S= = = 综上可得，AOB 的面积的最大值为 21解：（I）f （x）=xb+ ，曲线 f（x ）在点（1， ）处的切线平行于 x 轴， ，即 ，解得 a=2，b=1f（x ）= x2+x2lnx（II）f（x）的定义域为（0，+） 令 f（x）=x b+ =0 得 x2bx+a=0，f（ x）存在极大值点 x0，且 x+时，f（x ）+，f（ x）存在极小值点 x1，x 2bx+a=0 有两个正实数根 x0，x 1， ，a0，b0，b 2 x 0 是 f（x）的极大值点，f（x 0）=x 0b+ =0，即 x02bx0+a=0，bx 0=x02+a x 0= = ，b ，0
16、x 0 ，f（x 0）= x02bx0+alnx0= x02（x 02+a）+alnx 0= x02+alnx0a，f（x 0）=x 0+ = 0，f （x 0）在（0 ， ）上单调递增，f（ x0）f （ ）= a+aln a= + lna= （lna3）022.解：（）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数） ，普通方程为 C： x2+y2=1； 直线 l 的极坐标方程为 cos（+ ）= ，即 cossin=2，l：y=x2 （）点 P（ 0，2）在 l 上，l 的参数方程为 （t 为参数）代入 x2+y2=1 整理得，3t 210 t+15=0，由题意可得|PA|+|PB |=|t1|+|t2|=|t1+t2|= 23.解：（）|x3|+|xm|（x3） （x m）|=|m3|当 3xm ，或 mx 3 时取等号，令|m 3|2m ，m32m，或 m32m解得：m3，或 m1m 的最大值为 1；（）由（）a+b+c=1 由柯西不等式：（ + +1） （ 4a2+9b2+c2）（a+b +c） 2=1，4a 2+9b2+c2 ，等号当且仅当 4a=9b=c，且 a+b+c=1 时成立即当且仅当 a= ，b= ，c= 时，4a 2+9b2+c2 的最小值为
