1、2018 届安徽省六安市第一中学高三上学期第五次月考数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ， 则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得 ，故可排除选项 A，B，C对于 D，由于，所以 ，故正确 选 D2. 设 ，则“ ”是“直线 与直线 垂直”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线 垂直可得 ，解得 所以“ ”是“直线 与直线 垂直”的充分不必要条件选 A3. 己知 是两相异平
2、面， ， 是两相异直线，则下列错误的是 （ ）A. 若 ，则 B. 若 ， ,则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】D【解析】选项 A，由线面垂直的性质及判定可得 ，故 A 正确选项 B，由 可得 ，又 ，所以 ，故 B 正确选项 C，由线面垂直的性质可得正确选项 D，由条件可得 可能平行、相交或异面，故 D 不正确综上选 D4. 水平放置的 ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的 ，其中 ,则绕 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由斜二测画法的规则可得在 中 把 绕 所在直线旋转一周后形成的几何体为有相同底面的两个相同圆锥的组合体，其中
3、圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 4，故该几何体的表面积为选 B5. 己知 成等差数列， 成等比数列， 则的值是（ ）A. 或 B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ，又 与第一项的符号相同，故 所以 选 C点睛：（1）在等差（比）数列的基本运算中要注意数列性质的运用，特别是下标和的性质，利用性质解题可简化运算，提高运算的速度（2）根据等比中项的定义可得，在等比数列中，下标为奇数的项的符号相同，下标为偶数的项的符号相同，在求等比数列的项时要注意这一性质的运用，避免出现符号上的错误6. 己知函数！ 处有极值 ，则 （ ）A. -1 B. 1 C. 1 或-1 D. -1 或 3【答案】A【
4、解析】 ，若 在 处有极值 ，故 ，解得 且 ，符合题意；或 且 ，此时 ， 单调递减，在 处不存在极值，故 且 ，不合题意，所以 ，故选 A.7. 若 是圆 上任一点，则点 到直线 距离的最大值（ ）A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B【解析】由题意得直线 过定点 圆 的圆心为 ，半径 所以圆心 到直线的最大距离为 故点 到直线 距离的最大值为 选 B8. 个四棱锥的三视图如图所示，关于这个四棱锥，下列说法正确的是（ ）A. 最长的棱长为B. 该四棱锥的体积为C. 侧面四个三角形都是直角三角形D. 侧面三角形中有且仅有一个等腰三角形【答案】B【解析】还原四棱锥，如图所示，由主视图可知，
5、 底面 计算可知 B 正确，故选 B点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9. 已知 为双曲线 上不同三点，且满足 （ 为坐标原点)，直线 的斜率记为 ，则 的最小值为（ ）A. 8 B. 4 C. 2 D. 1【答案】B
6、【解析】由 有点 为线段 的中点,设 ,则 ,所以,故 ,由于点 A,B,P 在双曲线上,所以 ,代入上式中,有 ,所以 ,故最小值为 4.选 B.点睛:本题主要考查了双曲线的有关计算,涉及到的知识点有平面向量中线定理,直线斜率的计算公式,基本不等式等,属于中档题. 首先得出原点为线段 AB 的中点,再求出直线 PA,PB 斜率的表达式, 算出 为定值,再由基本不等式求出最小值.10. 已知二次函数 有两个零点 ，且 ，则直线 的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意 0，在坐标系作出点 表示的平面区域，如图 内部（不含边界） ，已知直线的斜率为 ，表示点 与点
7、 连线的斜率， ， ， ，所以斜率 的范围是 故选 A11. 设函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， ，若在区间 内关于 的方程 有且只有 4 个不同的根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，函数 图象的对称轴为 ，即 ，又函数 为偶函数，即 ， ，函数 为周期函数，且 是一个周期结合函数 为偶函数，且当 时， ，画出函数 在区间 上的图象（如图所示），并且 在区间 内方程 有且只有 4 个不同的根，函数 和 的图象在区间 内仅有 4 个不同的公共点结合图象可得只需满足 ，解得 实数的取值范围是 点睛：已知函数零点个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）
8、的方法（1）直接法：通过解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的值（或范围） ；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域的问题，并结合题意加以解决；（3）数形结合法：先对函数解析式变形，化为两个函数的形式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后根据两个图象的位置关系得到关于参数的不等式（组），求得解集后可得范围，解题时要注意一些特殊点的相对位置12. 已知 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上，且 ，线段 与 轴的交点为 ， 为坐标原点，若 与四边形 的面积之比为 1：2，则该椭圆的离心率等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】画出图形如图所示设 ， 与四边
9、形 的面积之比为 1：2， 与 的面积之比为 1：3， ，解得 又 ， ， ， 将 和 代入椭圆方程得 ，整理得 ，即 ，解得 或 （舍去） ， 选 C点睛：椭圆的离心率及其范围是每年高考的热点，应用平面几何知识是解决这类问题的关键 求离心率的常用方法为：(1)由条件求得 的值，再由 直接求离心率(2)列出含有 的方程( 或不等式) ，借助于 消去 b，然后转化成关于 e 的方程( 或不等式)求解二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填写在答题卷相应位置上.13. 若方程 表示椭圆，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由椭圆方程可知 ，解不等式得实数
10、 的取值范围为考点：椭圆方程14. 已知集合 ，集合 ，若 有两个元素，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】集合 表示直线 ，集合 表示圆心为（0，1），半径为 2 的圆的下半部分如图所示 有两个元素，直线 与半圆有两个交点当直线与圆相切时，即图中直线 ，则有 ，解得 或 （舍去） 当直线过点（2，1）时，即图中直线 ，则有 ，解得 结合图形可得 实数 的取值范围是 答案： 15. 已知三棱锥 的底面是以 为斜边的等腰直角三角形， ，则三棱锥的外接球的球心到平面 的距离为_【答案】【解析】三棱锥 中 ，顶点 在底面 ABC 上的射影 为 的外心，又 是以 为斜边的等腰直角三角形，点 为 的中
11、点 如上图，设点 O 为三棱锥 外接球的球心，则 的长即为外接球的球心到平面 的距离设球半径为 ，则 由题意得， ，在 中，有 ，即 ，解得 ， ，即三棱锥的外接球的球心到平面 的距离为 答案：16. 已知直线 交抛物线 于 和 两点，以 为直径的圆被 轴截得的弦长为 ，则_【答案】【解析】由 消去 y 整理得 ，设 ，则 ， 由抛物线的定义可得 ，以 为直径的圆的半径为 ，圆心到 x 轴的距离为 由题意得 ，解得 答案：三、解答题 ：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设 的内角 所对的边长分别为 且 .（1）若 ，求的值；（2）若 的面积为
12、3，求 的值.【答案】 （1） （2） .【解析】试题分析：（）因为 ，可得 ，由正弦定理求出 a 的值（）因为ABC 的面积 ，可得 ，再由余弦定理可得 a2+c2=20=（a+c）2-2ac，由此求出 a+c 的值试题解析：（） 由正弦定理可知： ，（） 由余弦定理得： ，即 则： 故：18. 如图所示，已知 是直角梯形， ， ， 平面 .（1）证明： ；（2）若 是 的中点，证明： 平面 ；（3）若 ，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析（2）见解析（3） .【解析】试题分析：（1）先证得 ，由 平面 可得 ，从而可得 平面 ，故可得 （2）取的中点 ，连 ， ，可证得四边形 是平行
13、四边形，故 ，从而可得 平面 ；又可得平面 ，所以平面 平面 ，故可得平面 （3）利用等积法可得 ，可求得三棱锥 的体积试题解析：（1）由已知易得 ， ， ，即 又 平面 ， 平面 ， ， 平面 平面 ， （2）取 的中点 ，连 ， ， ， ，且 ， 四边形 是平行四边形， 平面 ， 平面 ， 平面 分别是 的中点， 平面 ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 平面 ， 平面 （3）由已知得 ，所以 即三棱锥 的体积为 19. 已知圆 过 ， 两点，且圆心 在直线 上. （1）求圆 的方程；（2）若直线过点 且被圆 截得的线段长为 ，求的方程 .【答案】 （1） .（2） 或【解析】试题分析：（1
14、）把点 P、Q 的坐标和圆心坐标代入圆的一般方程，利用待定系数法求得系数的值；（2）分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况当直线 l 的斜率不存在时，满足题意，易得直线方程；当直线 l 的斜率存在时，设所求直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为：y-5=kx，由点到直线的距离公式求得 k 的值试题解析：（1）设圆的方程为 ，圆心 ，根据题意有 ，计算得出，故所求圆的方程为 .（2）如图所示， ，设 是线段 的中点，则 ， ， .在 中，可得 .当直线的斜率不存在时，满足题意，此时方程为 .当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为 ，则直线的方程为： ，即 ，由点 到直线 的距离公式：，得
15、，此时直线的方程为 .所求直线的方程为 或20. 已知动点 到点 的距离比到直线 的距离小 1，动点 的轨迹为 .（1）求曲线 的方程；（2）若直线 与曲线 相交于 两个不同点，且 ，证明: 直线经过一个定点.【答案】 （1） （2） .【解析】试题分析：(1)利用题意结合抛物线的定义可得动点 的轨迹 的方程为 ；(2)设出点的坐标，将直线方程与圆锥曲线方程联立，设而不求可得直线必经过定点 .试题解析：（1）由题意可得动点 到点 的距离等于到直线 的距离，曲线 是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，设其方程为 ， ， ，动点 的轨迹 的方程为 ；（2）设 ，由 得 ， .， ， 或 .， 舍去
16、， ，满足 ，直线的方程为 ，直线必经过定点 .21. 已知函数 .（1）当 时，求 的最小值； （2）若 在 上为单调函数，求实数的取值范围.【答案】 （1） （2） .【解析】试题分析：（1）根据导函数的符号判断函数的单调性，并根据单调性求极值，进而可得最值。 （2）将问题转化为导函数在大于等于 0 或小于等于 0 解决，分离参数后转化为求函数的最值问题。试题解析：（1）当 时， ， 令 ，得 或 （舍去）当 变化时， 的变化情况如下表：2 - 0 + 极小值 由上表可得当 时， 当 时，函数 的最小值为 （2） ， ， 在 上为单调函数， 当 时， 或 恒成立， 即 或 对 恒成立， 或
17、 对 恒成立令 ，则 当 时， ， 单调递减，又当 时， ；当 时， ， 故当 在 上为单调函数时，实数的取值范围为 点睛：（1）对于函数的极值，在求得导函数的零点后，还要判断在该零点两侧的导函数的符号是否异号，只有在导函数的函数值异号的条件下，该零点才是函数的极值点。（2）当 时，函数 单调递增；而当函数 在区间 D 上单调递增时， 在区间 D 上恒成立。解题时要注意这两种题型的区别，特别是知道单调性求参数取值范围时，不要忘了等号这一条件。22. 已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆， 它的中心在原点，左焦点为 ，右顶点为 ，设点.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若 是椭圆上的动点，求线段 中
18、点 的轨迹方程；（3）过原点 的直线交椭圆于点 ，求 面积的最大值.【答案】 （1）椭圆的标准方程为 （2） .（3） .【解析】试题分析：（1）由“左焦点为 ，右顶点为 “得到椭圆的半长轴， 半焦距，再求得半短轴 最后由椭圆的焦点在 轴上求得方程 ；（2）设线段 的中点为 ，点 的坐标是 ，由中点坐标公式，分别求得 ，代入椭圆方程，可求得线段 中点 的轨迹方程；（3）分直线 垂直于 轴时和直线 不垂直于 轴两种情况分析 ，求得弦长 ，原点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.试题解析：（1）椭圆的标准方程为 .（2）设线段 的中点为 ，点 的坐标是 ，由 ，得 点 在椭圆上，得线段 中点 的轨迹方程是 . （3）当直线 垂直于 轴时， ，因此 的面积 .当直线 不垂直于 轴时，该直线方程为 ，代入 ，解得 ， ，则 ，又点 到直线 的距离 ， 的面积于是由 ，得 ，其中，当 时，等号成立. 的最大值是 .
