1、1分式型函数求值域的方法探讨在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。一、形如 ( )（一次式比一次式）在定义域内求值域。dcxbaf)(0,o例 1：求 （ 的值域。2313解： =4)()xxf 21x321,03x其值域为32/y一般性结论， ( )如果定义域为 ,则值域dcxbaf)(0,o/xcdcy/例 2：求 ， 的值域。231)(xf,分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。 10
2、5 5 10解： = ，是由 向左平移 ，向上平移 得出，通过图231)(xf3xxy31232像观察，其值域为 85,2小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。二、形如求 （ 的值域。xaf)()0分析：此类函数中，当 ，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当 时， 0a对函数求导， 时， ） ， 时，,1)(2 xf)(f ),(ax,)(xf，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常,0,(ax说的双勾函数，通过图像求出其值域。当然在某些时候可以采用基本不等式来解决其图像例
3、3：求 上的值域。)4,1(,2)(xxf解：将函数整理成 ，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在2)(f单调递减，在 上递增，其在 处取最小值，比较 1，4 出的函数值，我),0(,2们可以知道在 1 处取的最大值，所以其值域为 6,4三、用双钩函数解决形如 （ ） ， （cbxanmxf2)( 0,anmxcbaf2)(）在定义内求值域的问题。0,am例 3：（2010 重庆文数）已知 0t，则则函数241ty的最小值为_.-aa3解： ， 由基本不等式地4142ttyot2y例 4:求 的值域。)(2)(xxf解：令 则 = ，,1,1tt则 2)1()(2ttf 3413tt其中
4、则由基本不等式得t.07)(xf例 5:求 的值域。2124)(xf解：令 则 ， = =,1tt ttxf 2)1(4)(2t12t，其中 ，由基本式得0t 12f小结：对于此类问题，我们一般换元整理后，将函数变成 这类型的函)0()(axf数，解决此类函数注意应用基本不等式，当基本不等式不行的时候，注意应用双勾函数的思想去解决此类问题三、形如 在定义域内求值域。)0,()(2macbxmaxf例 5：求 的值域。12y分析：当定义域为 R 时，我们采用判别式法求此类函数的值域。当定义域不为 R 时，不应采用此法，否则有可能出错。此时，我们要根据函数关系的特征，采用其他方法。解： 恒恒成立，所以此函数的定义域为 ，将函数整理成关于 的方程，02x Rxx， 当 关于 的方122xy ,0)1()()2( yxy ,2y程恒有解，则 即 ，显然， 也成立，所14)(,037以其值域为 37/y以上是求此类函数的常见方法，但同学们在解题过程中。不要拘泥以上方法，我们要根4据具体函数的特征采用相对应的方法，多思考，举一反三，那以后解决此类问题就很容易了。
