1、页 1 第西南名校 2018 年元月高三联考适应性考试理科数学一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数 的值域为 ，函数 的值域为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 的值域 ， 的值域为故选 C2. 已知向量 的夹角为，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】任意两个非零向量之间的夹角取值范围为故选 A3. 已知为虚数单位，复数满足 ，则复数等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选 D4. 已知函数 在点 处的切线斜率等于 5，则实数的值为（ ）
2、A. -4 B. 9 C. 5 D. 1【答案】B页 2 第【解析】函数 在点 处的切线斜率等于 5故选 B点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围5. 抛物线 的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得抛物线的标准方程为 .焦点坐标为故选 C6. 若 ，则 （ ）A. -128 B. 127 C. 128 D. 129【答案】B【解析】令令故选 B点睛：本题主要考查了二项式定理的系数问题，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过二项式的 赋值，可
3、以简便运算求出答案，属于中档试题，着重考查了二项式系数问题中的赋值法的应用，本题的解答页 3 第中，分类令 和 ，即可求得7. 关于 的方程 有实数解，那么实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题可得 的值域为 ， 的值域为若使 ,则 或者 的取值范围为故选 D点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解8. 若 （其中为自然对数的底数）是 图像上不同的两点，则下列各点一定在 图像上的是（ ）
4、A. B. C. D. 【答案】A【解析】 是 图象上不同的两个点 在 图象上故选 A9. 设 表示不小于实数 的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）页 4 第A. 25 B. 24 C. 21 D. 10【答案】A【解析】模拟程序框图的运行过程，如下不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体 表示不小于实数 的最小整数 不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体不满足 ，执行循环体满足 ，输出故选 A10. 椭圆 的半焦距为，若抛物线 与椭圆的一个交点的横坐标为， 则椭圆的离心率
5、为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题可知交点的坐标为 ，代入椭圆方程可得页 5 第离心率故选 B11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示：该几何体是一个正方体截去两个三棱锥后余下的部分，故该几何体的体积为故选 C点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图
6、的影响.12. 直线 与圆 有公共点 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D页 6 第【解析】由题可知圆的方程可化为 ，圆心为 ，半径为 ，即直线与圆有公共点圆心到直线的距离 ，即 ，即将点 带入直线和圆的方程可得故选 D二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ， ，则实数 的值等于_【答案】97【解析】向量 ， ，故答案为 9714. _【答案】【解析】页 7 第故答案为15. 一个正方体的棱长为 2，现有三个球，球 切于正方体的各面，球 切于正方体的各棱，球 过正方体的各顶点，则这个三个球的表面积之和为_【答案】【解析】由题可
7、知球 的半径分别为三个球的表面积之和为故答案为16. 设函数 ，若对于任意给定的 ，函数 有且仅有唯一的零点，则正实数 的最小值为_【答案】【解析】函数 的值域为当 时， 的值域为当 时， 的值域为 的值域 上有两个解函数 在 上有且仅有唯一的零点方程 有且仅有一解 ，即 或 为正实数 的最小值为故答案为点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数 )问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文
8、字说明、证明过程或演算步骤.） 页 8 第17. 已知数列 为等差数列，公差为 ，其前 项和为 ，且 ，.（1）求数列 的通项公式 及前 项和 ；（2）若数列 满足 ， ，求满足 的所有 的值.【答案】 （） ， （） 或 【解析】试题分析：（1）根据 ， ，可分别求出 和 ，即可求出数列 的通项公式 及前 项和 ；（2）由（1）求出数列 的通项公式，然后即可求出满足的所有 的值.试题解析：（1） ， ， ， ，得 ， ， ， ，得 ， （2） ， ， ，又 ，故由 得 或 18. 如图，飞镖的标靶呈圆盘形，圆盘被 10 等分，按如图所示染色为、三部分，某人依次将若干支飞镖投向标靶，如果每次投
9、射都是相互独立的.（1）如果他投向标靶的飞镖恰有 2 支且都击中标靶，同时每支飞镖击中标靶的任意位置都是等可能的，页 9 第求“第部分被击中 2 次或第部分被击中 2 次”的概率；（2）如果他投向标靶的飞镖恰有 4 支，且他投射 1 支飞镖，击中标靶的概率为 ，设表示标靶被击中的次数，求的分布列和数学期望.【答案】 （） （）见解析 【解析】试题分析：（1）分别设 表示事件“第 支飞镖，击中第部分”， 表示事件“第 支飞镖，击中第部分”， 表示事件 “第 1 支飞镖，击中第部分” ， 表示事件“第 2 支飞镖，击中第部分” ，再设表示事件“第部分被击中 2 次或第部分被击中 2 次” ，然后根
10、据互斥事件和相互独立事件的概率公式即可求出答案；（2）根据题意知的可能取值为 ， ， ， ， ，计算对应的概率，写出随机变量的概率分布，计算数学期望.试题解析：（1）设 表示事件“第 支飞镖，击中第部分”，表示事件“第 支飞镖，击中第部分”，表示事件“第 1 支飞镖，击中第部分” ，表示事件“第 2 支飞镖，击中第部分” ，设 表示事件“第部分被击中 2 次或第部分被击中 2 次”，则有 ， ，由互斥事件和相互独立事件的概率公式有： （）的可能取值为 ， ， ， ， ，依题意知 ， ， ， ， ， ， 的分布列为：页 10 第故的数学期望为： 19. 如图，在等腰梯形 中， ，上底 ，下底 ，
11、点 为下底 的中点，现将该梯形中的三角形 沿线段 折起，形成四棱锥 .（1）在四棱锥 中，求证： ；（2）若平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （）见解析（） 【解析】试题分析：（1）由 ， ， ，点 为 的中点，得三角形 沿线段 折起后可得四边形 为菱形，边长为 ， ，取 的中点 ，连接 ， ， ，可证 ，即可证 平面 ，从而 平面 ，即可得证 ；（2）以 为坐标原点， 建立空间直角坐标系，由（1）可证 为平面 与平面 所成二面角的平面角，从而求出 ， ， ， ，再求出平面的一个法向量，即可求出直线 与平面 所成角的正弦值.试题解析：（1）证明：由
12、三角形 沿线段 折起前， ， ， ，点 为 的中点，得三角形 沿线段 折起后，四边形 为菱形， 边长为 ， ，如图，取 的中点 ，连接 ， ， ，由题得 和 均为正三角形， ， ， 又 平面 ，页 11 第 平面 ， 平面 ， （2）解：以 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系 ，由 平面 ，有轴在平面 内，在（1）中， ， ， 为平面 与平面 所成二面角的平面角， ， 而 ， 且 ，得点 的横坐标为 ，点 的竖坐标为 ， 则 ， ， ， ，故 ， ， ，设平面 的一个法向量为 ， 得令 ，得 ， ，平面 的一个法向量为 ， ，直线 与平面 所成角为锐角或直角， 直线 与平面 所成角的正弦值为
13、 页 12 第点睛：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，空间向量在立体几何中的应用之线面角的求法.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角20. 已知抛物线 上的两个动点 ， 的横坐标 ，线段 的中点坐标为 ，直线与线段 的垂直平分线相交于点 .（1）求点 的坐标；（2）求 的面积的最大值.【答案】 （） （） 【解析】试题分析：（1）根据题设条件可求出线段 的斜率，进
14、而求出线段 的垂直平分线方程，联立直线 与线段 的垂直平分线方程，即可求出点 的坐标；（2）联立直线 与抛物线 的方程，结合韦达定理及弦长公式求出线段 的长，再求出点 到直线 的距离，即可求出 的表达式，再构造新函数，即可求出最大值.试题解析：（1） ，有 ，又点 M 不在抛物线 C 上，有 ，而 ， ，线段 的斜率为 ，线段 的垂直平分线方程为 ，即 ，由 得 ，即 ，得 ， ，点 的坐标 .（2）直线 的方程为 ，由 得 ， ， ，结合（1）得 ，又 ， ，页 13 第 ，又点 到直线 的距离 ， ，设 ， ， 则 ，令 得 (舍去)， ，由于 时， ， 单调递增，时， ， 单调递减，当
15、时， 取得最大值， 即 的面积取得最大值，故 的面积的最大值为 点睛：圆锥曲线中的最值与范围问题是高考中的常考题型，常与不等式、函数等知识结合在一起，涉及的知识点较多、难度较大解题时可先建立关于某个参数的目标函数，再求这个函数的最值，常用的方法有以下几个：利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围21. 设函数 ， .（1）当 时，讨论 的单调性；（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （）见解析（） 【解析】试题分析；（1）根据 ，对 进行求导，即可求出 的单调性；（2
16、）令 ，对求导后，对 进行分类讨论，求出函数 的单调性，然后求出 ，即可求出 的取值范围.试题解析：（1）当 时， ， ，页 14 第由于 ，故当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增 （2）令 ， 则 ，当 时， 恒成立， 若 ，则 时， ， ，此时 不恒成立；若 ，由 时， 恒成立，则 ，则 ，令 ，得 或 ， （）若 ，则 ， 当 时， ， 单调递减， 而 ，当 时， ，此时 不恒成立；（）若 ，则 ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， ，此时 恒成立；（）若 ，当 时， ， 单调递增，有 ，此时 恒成立，综上所述， 点睛:这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的
17、应用，在研究函数最值的应用；对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于 0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知点 ，以原页 15 第点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，过点 作极坐标方程为 的直线的平行线，分别交曲线 于 两点.（1）写出曲线 和直线的直角坐标方程；（2）若 成等比数列，求的值.【答案】 （） ， （） 【
18、解析】试题分析：（1）利用方程的互化方法求出曲线 和直线的直角坐标方程；（2）写出直线的参数方程，代入到曲线 的方程，结合韦达定理及 成等比数列，即可求出 的值.试题解析：（1）由 ，得 ， 得曲线 E 的直角坐标方程为 ，又直线的斜率为 ，且过点 ，故直线的直角坐标方程为 （2）在直角坐标系 中，直线的参数方程为 (为参数)，代入 得 ， ， ， ， ，即 ， ，得 ，由 ，得 23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（1）若 ，求实数 的取值范围；（2）若函数 且 对定义域内的所有 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （） （） 【解析】试题分析：（1）根据函数 的单调性及 ， ，可得 ，讨论 ，即可求出 的取值范围；（2）根据函数 的值域，令 ，结合函数 且 对页 16 第定义域内的所有 恒成立，即可求出实数 的取值范围.试题解析：（1） 在 上单调递增，且 ， ，故要使 ，只需 ，即只需 ，当 时，有 ，不成立，可知 ，当 时，有 ，故 ， 当 时，有 ，故 ， 综上得实数 的取值范围为 （2） ， 令 ，如果存在 使 ，即 ，则不能满足 对定义域内的所有 恒成立，故有 ，且函数定义域为 ，则要使 对定义域内的所有 恒成立，这时 ，即
