2018届重庆市巴蜀中学高三适应性月考（九）数学（理）试题（解析版）.doc

1、第页 12018 届重庆市巴蜀中学高三适应性月考（九）数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先根据一元二次不等式的解法以及绝对值的解法，项确定出集合 P,Q 中的元素，最后根据集合的交集中元素的特征，求得 ，即得结果.详解：解不等式 ，可得 ，结合 ，可得 ，解不等式 ，可得 ，所以 ，所以 ，故选 C.点睛：该题以集合为载体，考查了一元二次不等式的解法以及绝对值不等式的解法，注意交集中元素的特征

2、，最后求得结果.2. 若复数满足 ，则的共轭复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先利用复数的模以及复数的除法运算，求得复数，之后应用共轭复数的定义，求得， 从而确定其虚部的值，求得结果.详解：根据题意，有 ，所以 ，故其虚部为 ，故选 B.点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及共轭复数的定义，在求解的过程中，注意对复数的除法运算法则要掌握，最后一定要看清题意，是其共轭复数的虚部，从而正确求得结果.3. 已知等比数列 满足 ， ，则该数列的公比为（ ）A. B. C. D. 【答案】A第页 2【解析】分析：首先根据等比数列的性质，确定出 ，之后应用等比数列的通项

3、公式求得 ，因为题中没有关于限定公比的条件的语句，所以应该是两个值，得到结果.详解：根据等比数列的性质可得 ，所以 ，即 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关等比数列的性质的问题，在求解的过程中，注意对数列的通项公式的应用，得到其公比 q 所满足的等量关系式，求得结果.4. 阅读如图 1 所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的 S 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先分析该程序框图的作用以及要完成的任务，从中可以发现就是求几个数的和，要看清条件，到什么时候结束，最后通分，求得结果.详解：根据题中所给的框图，可知输出的 ，故选 C.点睛：该题考查的是有关程序框图的输出

4、结果的求解问题，在解题的过程中，需要明确其要求，以及对应的量有哪些，算到什么时候就结束了，一定要注意条件，最后求得结果即可.5. 函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则下列选项中的函数 的一条对称轴的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先根据题意，结合左右平移的规律，得到 的解析式，再利用正弦型函数的性质求得图像的对称轴方程，之后对各个选项逐一验证，即可得结果.详解：依题意， ，第页 3令 ，解得 ，逐项对比，可以求得 满足条件，故选 B.点睛：该题考查的是有关三角函数图像的平移变换以及对称性，在解题的过程中，需要明确左右平移对函数解析式中量的变化，以及对

5、应函数图像的对称轴位置的确定以及对称轴方程的求解问题.6. 下列命题中，正确的选项是（ ）A. 若 为真命题，则 为真命题 B. ，使得 C. “平面向量与 的夹角为钝角”的充分不必要条件是“ ” D. 在锐角 中，必有【答案】D【解析】分析：首先对各个选项的内容进行分析，对于 A 项，要明确复合命题的真值表，两个命题都是真命题，才会有 为真命题，而只要有一个真命题，则 就为真命题，在研究指数函数的图像的时候，发现，当 时，在 y 轴右侧，当底数越小的时候，图像越靠近于 x 轴，对于 时，除了夹角为钝角，还有反向共线的时候，所以都是不正确的，利用锐角三角形三个内角的大小，以及正弦函数的单调性还

6、有诱导公式，可以确定 D 项是正确的，从而求得结果.详解：因为若 为真命题的条件是 至少有一个是真命题，而 为真命题的条件为 两个都是真命题，所以当 一个真一个假时， 为假命题，所以 A 不正确；当 时，都有 成立，所以 B 不正确；“ ”是“平面向量与 的夹角为钝角”的必要不充分条件，所以 C 不正确；因为在直角三角形中， ，有 ，所以有 ，即 ，故选 D.点睛：该题考查的内容比较多，每一个知识点都是相互独立的，所以需要对各选项逐一分析，涉及到的知识点有复合命题的，有向量的，有函数的，有三角的，所以需要我们对基础知识比较扎实，才能做好本题.7. 已知圆 ，若圆 刚好被直线 平分，则 的最小值

7、为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先要明确圆被直线平分的条件，就是直线过圆心，将圆心坐标代入直线的方程，得到关于两个正数 的整式形式的和为定值，而目标式是关于两个正数 的分式形式和的最值，将两式相乘，利用基本不等式求得结果.详解：根据题意，有圆心在直线上，所以有 ，第页 4所以有 ，故选 C.点睛：该题考查的是有关利用基本不等式求最值的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有圆被直线平分的条件是直线过圆心，之后应用点在直线上的条件，点的坐标满足直线方程，从而求得 所满足的关系，之后应用利用基本不等式求最值的方法求解.8. 已知抛物线 ，直线与抛物线 交于 两点，若 中点

8、的坐标为 ，则原点 到直线的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先根据题意设出直线的方程，之后与抛物线的方程联立，利用韦达定理求得两根和，之后借助于中点坐标公式求得关于 k 所满足的等量关系式，从而确定出直线的方程，接着应用点到直线的距离公式求得结果.详解：根据抛物线的对称性，可知该直线的斜率是存在的，设直线的方程为 ，与抛物线方程联立，化简可得 ，因为 是弦的中点，所以有 ，解得 ，所以直线方程为 ，所以原点到直线的距离为 ，故选 D.点睛：该题考查的是有关抛物线的中点弦所在直线的问题，在求解的过程中，注意有关直线与曲线相交的统一解法，再者注意韦达定理的应用以及中点

9、坐标公式的应用，最后求出直线方程之后注意点到直线的距离公式的正确使用.9. 已知 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先注意 与 的关系，想到用到倍角公式，求得 的值，之后分析 与 的关系，从而应用诱导公式求得结果.详解：依题意， ，故选 B.点睛：该题考查的是有关应用倍角公式以及诱导公式求三角函数值的问题，在解题的过程中，需要认真分析角之间的关系，以及已知量与待求量的联系，应用相应的公式求得结果.第页 510. 2018 年俄罗斯世界杯将于 2018 年 6 月 14 日至 7 月 15 日在俄罗斯境内 座城市的 座球场内举行，共有 支球队参加比赛，其中欧洲有 支球

10、队参赛，中北美球队有 支球队参赛，亚洲、南美洲、非洲各有支球队参赛，所有参赛球队被平均分入 个小组.已知 小组的 支队伍来自不同的大洲，东道主俄罗斯（俄罗斯属于欧洲球队）和墨西哥（墨西哥属于中北美球队）在 小组中，那么南美洲球队巴西队在 小组的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先要明确 A 组球队所满足的条件，来自不同的洲，所以得需要先确定选的哪个洲的球队，之后再确定选定洲之后对应的球队的选法，接着需要明确当南美洲球队巴西队选定之后另一个球队有几种选法，从而得到满足条件的基本事件与总的基本事件数，最后作除法运算求得结果.详解：根据题意有，A 组剩余两个球队需要从亚洲

11、、南美洲、和非洲三个洲中选两个洲，有 种选法，每个洲选定之后从 5 个球队中任选 1 个球队，共有 5 种选法，所以另两个球队共有 种选法，若南美洲球队巴西队在 A 组，则另一个球队有 种选法，所以南美洲球队巴西队在 小组的概率为 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关古典概型的问题，在求解的时候，需要明确实验所对应的基本事件数，以及满徐条件的基本事件数，在此过程中，需要时刻注意题中所给的组队的要求，之后借助于相关公式求得结果.11. 已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，那么函数在区间 上的所有零点之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先从题的条件 得到函数的图像

12、关于直线 对称，借助偶函数，得到图像关于 y 轴对称，从而得到函数是周期函数，借助于两个函数在相应区间上的图像，应用数形结合求得结果.详解：根据 ，可得 是函数 图像的对称轴，又因为 是偶函数，所以其图像关于 y 轴对称，所以其为最小正周期为 2 的周期函数，又函数 也是偶函数，并且其图像也关于直线 对称，第页 6在同一个坐标系中，画出函数 的图像和 的图像，可以发现在区间 上一共有 6 个交点，且是关于 对称的三对，所以留个零点的和为 ，故选 D.点睛：该题考查的是有关函数的零点的问题，在解决之前，需要明确函数的相关性质，一是函数图像的对称性，二是函数的周期性，三是数形结合思想的应用，之后借

13、助于中点坐标公式求得相应的结果.12. 已知某几何体的三视图如图 2 所示（小正方形的边长为 ） ，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，还原几何体，得到该几何体是由正方体切割而成的，找到该几何体的顶点有三个是正方体的棱的中点，一个就是正方体的顶点，之后将几何体补体，从而得到该三棱锥的外接球是补成的棱柱的外接球，利用公式求得结果.详解：根据题中所给的三视图，可以将几何体还原，可以得到该几何体是由正方体切割而成的，记正方体是 ，则记 的中点为 E，CD 中点为 F， 中点为 G，题中所涉及的几何体就是三棱锥 ，经过分析，将几何

14、体补体，取棱 中点 H，再取正方体的顶点 ，从而得到该三棱锥的外接球即为直三棱柱 的外接球，利用正弦定理可以求得底面三角形的外接圆的半径为 ，棱柱的高为 4，所以可以求得其外接球的半径 ，所以其表面积为 ，故选 A.点睛：该题考查的是有关利用三视图还原几何体，求其外接球的体积的问题，在解题的过程中，最关键的一第页 7步就是还原几何体，再者就是将其补成一个直三棱柱，之后应用直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心的连线的中点处，利用公式求得结果.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的常数项为_【答案】 . 【解析】分析：首先利用二项式定

15、理得到二项展开式的通项，令 x 的幂指数等于零，求得 r 的值，即可求得展开式中常数项的值.详解： 的展开式的通项为 ，令 ，得 ，所以展开式中的常数项为 ，故答案是 216.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点为求其展开式中的某一项，在求解的过程中，需要先求得展开式中的通项，之后令 x 的幂指数等于题中所要求的量，从而求得结果.14. 已知实数 满足条件 则 的最小值为_【答案】 .【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件作出相应的可行域，结合 表示的是区域内的点到坐标原点的距离的平方，结合图形，根据其几何意义，可以得到其结果为原点到直线 的距离的平方，应用点到直线的距离公

16、式求得结果.详解：根据约束条件画出可行域，其为直线 的右下方，直线 的右上方和直线 的右上方，表示的是区域内的点到原点的距离的平方，从图中可以发现，距离最小时为原点到边界线 的距离，即 ，而其平方为 ，所以 的最小值为 .点睛：该题考查的是有关线性规划的升级问题，约束条件是线性的，目标函数是非线性的，在解题的过程第页 8中，需要先根据约束条件画出相应的可行域，之后结合其几何意义，应用相应的公式求得结果.15. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 且斜率为 的直线与双曲线的两条渐近线分别交于 两点，若 ，则双曲线的离心率为_【答案】 .【解析】分析：首先根据题意，设出直线的方程，之后与双曲线的

17、渐近线联立，分别求出 A,B 两点的坐标，之后根据题中条件 ，得出 A 是 的中点，根据中点坐标公式，得出其坐标间的关系，借助双曲线中 的关系，求得该双曲线的离心率.详解：设直线的方程为 ，两条渐近线的方程分别为 和 ，分别联立方程组，求得 ，根据 ，可以得到 A 是 的中点，所以有 ，整理得 ，结合双曲线中 的关系，可以的到 ，所以答案为 .点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率问题，在解题的过程中，需要做的就是根据题中条件，想办法寻找 的关系，利用题中条件，找到坐标间的关系，从而求得结果.16. 如图 3，正方形 的边长为 ，顶点 分别在 轴的非负半轴， 轴的非负半轴上移动， 为 的中点，则

18、 的最大值是_【答案】 .【解析】分析：首先根据题意，以及题中所给的图，设出正方形四个顶点的坐标，之后应用中点坐标公式，求得点 E 的坐标，接下来应用向量数量积坐标公式，将其转化为关于 的三角函数式，从而求得结果.详解：根据题意，设 ，根据正方形的特点，可以确定出 ，第页 9根据中点坐标公式，可以求得 ，所以有 ，所以其最大值为 .点睛：该题考查的是有关向量的数量积的最值问题，在求解的时候，关键是将正方形的顶点坐标求出，之后将向量的数量积转化为关于角 的三角函数式，借助于倍角公式和辅助角公式，从而求得结果.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、） 17. 已知在数列 中， .（1）求数列 的通项公式；（2） 设 ，求 的前 项和 .【答案】(1) .(2) .【解析】分析：第一问首先应用题中所给的数列的递推公式，类比着写出 个相邻两项差的式子，之后累加得出结果，注意对首项的验证；第二问利用对数的运算法则求得 的通项，之后求和时利用分组求和法以及裂项相消法求和即可得结果.详解：（） ， ， ，时，（）令的前 项和为 的前 项和为第页 10点睛：该题考查的是有关数列的问题，一是应用累加法求通项的问题，二是应用对数的运算法则求通项公式的问题，三是对数列求和，采用的方法就是分组求和法以及裂项相消法，在用累加法求和时需要对进行验证.18. 支

20、付宝作为一款移动支付工具，在日常生活中起到了重要的作用.巴蜀中学高 2018 届学生为了调查支付宝在人群中的使用情况，在街头随机对 名市民进行了调查，结果如下.（1）对 名市民按年龄以及是否使用支付宝进行分组，得到以下表格，试问能否有 的把握认为“使用支付宝与年龄有关”？使用支付宝 不使用支付宝 合计岁以上岁以下合计（2）现采用分层抽样的方法，从被调查的 岁以下的市民中抽取了 位进行进一步调查，然后从这 位市民中随机抽取 位，求至少抽到 位“使用支付宝”的市民的概率；（3） 为了鼓励市民使用支付宝，支付宝推出了“奖励金”活动，每使用支付宝支付一次，分别有 的概率获得 元奖励金，每次支付获得的奖

21、励金情况互不影响.若某位市民在一周使用了 次支付宝，记 为这一周他获得的奖励金数，求 的分布列和数学期望.附： ，其中 .【答案】(1) 不能有 99%的把握认为 “使用支付宝与年龄有关 ”(2) (3)分布列见解析； .【解析】分析：第一问首先应用题中所给的列联表，利用公式求得观测值 的值，之后与临界值比较大小，第页 11从而得到相应的结论；第二问利用相关知识求得所抽取的 12 人中，使用和不使用支付宝的人数分别是多少，之后借助于组合数求得相应的概率；第三问根据题意，求得随机变量 X 的取值以及相对应的概率，列出分布列，利用期望公式求得其期望.详解：（）不能有 99%的把握认为“使用支付宝与

22、年龄有关”（）12 位中，使用支付宝的人数为 (人)，不使用支付宝的人数为(人) ， （）的分布列如下：0.2 0.3 0.4 0.5 0.6点睛：该题考查的是有关统计、独立检验以及离散型随机变量的分布列的问题，在求解的过程中，需要明确独立检验的步骤，以及观测值的求解公式，再者对随机事件发生的概率求解时，需要对其对应的基本事件数弄清楚，最后在求随机变量的分布列及期望的时候，需要对变量的可取值以及对应的概率要算对.19. 如图 4，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为直角梯形，过 作平面分别交线段 于点 .第页 12（1）证明： ；（2）若直线 与平面 所成的线面角的正切值为 ，则当点 在线段 的何

23、处时，直线 与平面所成角为 ？【答案】(1)见解析.(2) 当 在线段 靠近 的三分点位置时，直线 与平面 所成的线面角为 45【解析】分析：第一问利用梯形的条件，结合线面平行的判定以及性质定理，证得线线垂直；第二问建立相应的空间直角坐标系，设出对应点的坐标，将线面角转化为有关向量所成的角，利用向量所成角的余弦公式求得结果.详解：（）证明： 底面 为直角梯形，平面 ， 平面 ， 平面 ，平面 ， 平面 平面 ，（）解： 平面 ， ，为直线 与平面 所成的线面角， ， 以 点为原点， ， ， 为 轴建立空间直角坐标系 ，(2，0，0)， (2，1，0)， (0，2，0)， (0，0，2)，设 ，

24、则 ， 设平面 的法向量为 ，则 令 ，则 ， ，第页 13当 在线段 靠近 的三分点位置时，直线 与平面 所成的线面角为 45点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，在解题的过程中，注意空间关系的转化，有关线线平行、线面平行之间的关系，利用相关的判定和性质定理证得结果，有关空间角的问题，大多应用空间向量来完成，注意相关公式的正确使用.20. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，上顶点为 ，右顶点为 ， 的外接圆半径为 .（1）求圆 的标准方程；（2）设直线与椭圆 交于 两点，若以 为直径的圆经过点 ，求 面积的最大值.-【答案】(1) .(2) .【解析】分析：第一问首先应用正弦定理求得三角形的外接

25、圆的直径，结合椭圆的性质，以及三角形的特征，求得短半轴；第二问设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合题中的条件，最后应用导数研究函数的单调性，求得其最值.详解：（） 右顶点为 ， ， 椭圆的标准方程为 （）设直线的方程为 ，与椭圆联立得以 为直径的圆经过点 ， 第页 14，代入 式得 或 （舍去），故直线过定点 ， 令 ，则在 上单调递减，时， 点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的综合题，在解题的过程中，需要明确焦点三角形的有关特征，以及正弦定理的内容和常数的意义，再者就是有关直线与椭圆相交的问题，需要联立消元，韦达定理紧跟其后，将三角形的面积表示成有关变量的函数关系，结合函数的解题

26、思想，求得结果.21. 已知 .（1）当 时，若函数 在 处的切线与函数 相切，求实数 的值；（2）当 时，记 .证明：当 时，存在 ，使得 .【答案】(1) .(2)见解析.【解析】分析：第一问将 代入解析式，之后对函数求导，从而可以求得 ，结合 ，利用点斜式写出切线的方程，之后再结合直线与抛物线相切的有关特征求得参数 b 的值；第二问结合题中的条件，转化函数解析式，利用导数研究函数的性质，向最值靠拢即可证得结果.详解：（）解：当 时， ，故切线方程为 设切线与 相切的切点为 ，第页 15故满足方程组解得 ，故 （）证明： ，令 ，则在 上单调递增，在 上单调递减.即 恒成立，或 ，在 上单

27、调递减，在 上单调递增，只需证 时， 即可，令则 ， 恒成立，在 上单调递减.， 在 上单调递增， 上单调递减，点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，在解题的过程中，需要用到导数的几何意义，求函数图像的切线方程，之后应用抛物线与直线相切，寻找关系，求得结果，至于第二问，利用导数研究函数的单调性，向最值靠拢证得结果.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系 的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中采取相同的单第页 16位长度.曲线 的极坐标方程是 ，直线的参数方程是 （为参数）.（1

28、）求曲线 的直角坐标方程与直线的普通方程；（2）设点 ，若直线与曲线 交于 两点，求 的值.【答案】(1) ； .(2) .【解析】分析：第一问利用极坐标与平面直角坐标之间的关系，将其极坐标方程转化为平面直角坐标方程，将参数方程消参，将其转化为普通方程；第二问将直线的参数方程代入曲线方程中，化简，结合直线参数方程中参数的几何意义结合韦达定理求得结果.详解：（）曲线 C 的直角坐标方程为 ，直线的普通方程为 （）将直线的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得 ，得 ， ， 异号 ，点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标方程与平面直角坐标方程的转换关系以及参数

29、方程向普通方程的转化，再者就是需要明确直线的参数方程中参数的几何意义，将直线的参数方程代入曲线的方程中，结合韦达定理求得结果.23. 已知函数 （ 且 ）.（1）当 时，解不等式 ；（2）若 的最大值为 ，且正实数 满足 ，求 的最小值.【答案】 （1） ；（2）2【解析】分析：第一问首先利用零点分段法，将绝对值符号去掉，将其转化为三个不等式组，将不等式组的解集取并集，求得结果；第二问利用三角不等式求得其最小值，可以转化为 ，得到 之后将式子变形，利用基本不等式求得结果.详解：（） 当 时， ；第页 17当 时， ；当 时，综上所述，不等式的解集为 （）由三角不等式可得的最小值为 2，当且仅当 时取等号点睛：该题考查的是有关不等式的问题，在求解的过程中，需要明确绝对值不等式的解法，再者就是利用三角不等式求得其最值，之后借助于基本不等式求得其最值，在解题的过程中，一定要注意相关的条件.