1、页 1 第2018 届重庆市九校联盟高三上学期第一次联合考试数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 或 ，故 x 的可取值为1，2， ，故选：D2. 已知为虚数单位，且 ，则复数对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】由 ，复数 z 对应的点位于第二象限，故选：B3. 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故选：B4. 已知随机事件 发生
2、的概率满足条件 ，某人猜测事件 发生，则此人猜测正确的概率为（ ）A. 1 B. C. D. 0【答案】C【解析】事件 与事件 是对立事件， ，故选：C页 2 第5. 双曲线 的一个焦点为 ，过点 作双曲线 的渐近线的垂线，垂足为 ，且交 轴于 ，若 为 的中点，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A故选：A6. 某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为 2，则该几何体的体积等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】其体积为 ，故选：D点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、
3、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7. 将函数 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平移 个单位，则所得函数图像的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 经伸长变换得 ，再作平移变换得 ，页 3 第故选：B8. 执行如图所示的程序框图，若输出的 ，则 的所有可能取之和等于（ ）A. 19 B. 21 C. 23 D. 25【答案】D【解析】N 的可取值有且只有 12，13，其和为 25，故选：D点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，
4、属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9. 已知抛物线 经过点 ，则该抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】依题意得 ，故选：B10. 已知 分别是 内角 的对边， ，当 时， 面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
5、解析】由 ，故 （当且仅当时取等号） ，故选：C页 4 第点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误11. 设定义在 上的函数 的导函数 满足 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 ， ，故 ，即 ，故选：A12. 设 ，则 的最小值为（ ）A. 3 B. 4 C. 9 D. 16【答案】C【解析】其几何意义是单位圆上的点到直线 的距离的平方，故其最小值为 ，故选：C点睛：本题主要考查待定两点间距离公式以及求
6、最值问题，属于难题.解决最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是平面几何的有关结论来求最值的.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量 ， ，且 ，则 _【答案】10【解析】由 ，故 故答案为：1014. 已知实数 满足 ，则目标函数 的最大值为_【答案】【解析】作出可行域，如图：页 5 第由可行域知其最优解对应的点为 A ，故 故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问
7、题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 已知奇函数 的图像关于直线 对称，当 时， ，则 _【答案】2【解析】依题意知 的最小正周期是 12，故 ，即故答案为：216. 半径为 的球 放置在水平平面 上，点 位于球 的正上方，且到球 表面的最小距离为 ，则从点 发出的光线在平面 上形成的球 的中心投影的面积等于_【答案】【解析】轴截面如图 1 所示， ，中心投影的面积为
8、 故答案为：页 6 第三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 是公差不为 0 的等差数列 的前 项和， ， 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）利用条件布列关于 ，解方程即可得到数列 的通项公式；（2）利用裂项相消法求数列 的前 项和 .试题解析：（） ，设公差为 d， ， 成等比数列 （舍去 ）（） ，点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：（1 ） ；（ 2） ；（3 ）18. 某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时
9、间” ，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了 100 位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间” （单位：小时） ，活动时间按照 、 从少到多分成 9 组，制成样本的频率分布直方图如图所示 .页 7 第（1）求图中的值；（2）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（3）在 、 这两组中采用分层抽样抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.【答案】(1) (2) （3）【解析】试题分析：(1)根据频率分布直方图计算的值；（ 2）根据频率分布直方图估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（3）由题意得平
10、均户外活动时间在 ， 中的人数分别有 15 人、20 人，按分层抽样的方法分别抽取 3 人、4 人，记作 A，B，C 及 a，b，c，d，从 7 人中随机抽取 2 人，共有 21 种，同时在同一组的有 9 种，从而得到抽取的两人恰好都在同一个组的概率.试题解析：（）由频率分布直方图，可知，平均户外“活动时间”在 的频率为 同理，在 ， ， ， ， ， 等组的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，由 解得 （）设中位数为 m 小时因为前 5 组的频率之和为 ，而前 4 组的频率之和为 ，所以 由 ，解得 故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中
11、位数为 2.06 小时（）由题意得平均户外活动时间在 ， 中的人数分别有 15 人、20 人，按分层抽样的方法分别抽取 3 人、4 人，记作 A，B，C 及 a，b，c，d，从 7 人中随机抽取 2 人，共有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，页 8 第， ， ， ， 共 21 种，同时在同一组的有 ， ， ， ， ， ， ， 共 9 种，故其概率是 19. 如图，直三棱柱 中，侧面 是正方形， .（1）证明： ；（2）当三棱锥 的体积为 2， 时，求点 到平面 的距离.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：(1) 由 是正方形得 ，易证 ，所以 平面 ，从而问
12、题得证；（2）利用等积法构建点 到平面 的距离的方程，解之即可.试题解析：（）证明：如图 2，由 是正方形得 ，在直三棱柱 中， ，又 ，故 平面 ，且 平面 ，故 ，且 ，故 平面 ，且 平面 ，故 页 9 第（）解：依题意得 如图，设 ，连接 ，则 ，设点 到平面 的距离为 d，则 ， 由对称性知：点 C 到平面 的距离为 20. 如图， 是椭圆 长轴的两个端点， 是椭圆 上都不与 重合的两点，记直线的斜率分别是 .（1）求证： ；（2）若 ，求证：直线 恒过定点，并求出定点坐标 .【答案】(1)见解析(2) 直线 PQ： 恒过定点试题解析：（）设 ， ， ， （）由（）知： 设 ，直线
13、PQ： ，代入 ，得 ，页 10 第， ， 由 得： ，上式解出： ，直线 PQ： 恒过定点 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 设函数 .（1）当 时，证明： ， ；（2）若 ， 都成立，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：(1) 当 时， , 故 在 上是增函数，从而证得不等式；（2）讨论的情况，当 时，设 与
14、 在点 处有公切线 ，当 时，设 与 在点 处有公切线 ，从而得到实数的取值范围.试题解析：（）证明：由 知 ，当 时， （当且仅当 时取等号） ，故 在 上是增函数，又 ，故 ， ，即：当 时， ， （）解：当 时， ，符合条件；当 时，设 与 在点 处有公切线 ，页 11 第则 ，故 ；当 时，设 与 在点 处有公切线 ，同法可得 ；综上所述，实数 a 的取值范围是 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的正半轴重合，圆 的极坐标方程为 ，直线的参数方程为 （为参数）.（1）
15、求直线和圆 的直角坐标方程；（2）设点 ，直线与圆 交于 两点，求 的值.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）把直线的参数方程与圆 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将代入 ，整理得： ，利用根与系数的关系及参数 t 的几何意义表示的值.试题解析：（）直线 l 的直角坐标方程为 ；圆 C 的直角坐标方程为 （）将 代入 ，整理得： ， 23. 选修 4-5：不等式选讲页 12 第已知函数 .（1）解不等式 ；（2）若对于任意 ，有 ， ，求证： .【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）通过讨论 x 的范围，解不等式，取并集即可；（2）利用绝对值三角不等式证明即可试题解析：（）解： 或 ，解集为 （）证明：
