1、第 31 计 解几开门 轨迹遥控计名释义求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.典例示范【例 1】 动椭圆过定点 M（1，2） ，以 y 轴为准线，离心率 e= . (1)求动椭圆左顶点21的轨迹方程；（2）求椭圆长轴长的最大值和最小值.【思考】 如 M（1，2）为右顶点，则左顶点为 P（1-2a,2）.
2、 椭圆中心为(1- a,2)，左准线为 y 轴. -a=0， 而 e= . =2，有-3 a+1=0，a= . 得点c21cc31P1( ,2)；如 M（1，2）为左顶点，有 P2（1，2） ， P1P2 中点为（ ，2）.3由以上可以预见,所求轨迹是中心为 O( ,2)的椭圆.3【解答】 （1）设椭圆左顶点为 M(x,y)，则左焦点为 F（x 0，y 0）=F(x+a-c ，y )，e= ，且左准线为 y 轴, =0,2ac ac2得 a=x， c= = ，有：F ，由椭圆第二定义： = e= .1xx,231|M2 ，化简得： 1)(23y2)(439yx(2)椭圆的长半轴 a= ， -
3、x- ，得 x 1,.32原椭圆长半轴为 a=x，2a=2x . 故原椭圆长轴最大值为 2，最小值为 .,3【例 2】 已知双曲线的两个焦点分别为 F1，F 2，其中 F1 又是抛物线 y2=4x 的焦点，点A（-1，2） ，B（3，2）在双曲线上， （1）求点 F2 的轨迹方程；（2）是否存在直线 y=x+m与点 F2 的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数 m 的值，不存在，说明理由.【思考】 F1（1，0）为定点，|AF 1|=2 =|BF1|为定值，设 F2(x，y)，则|F 2A|-2 =(F2B-2 ).得|F 2A|=|F2B|或|F 2A|+|F2B|= 4 ，知动点 F2
4、 的轨迹为直线 AB 的垂直数学破题 36 计平分线或以 A、 B 为焦点的椭圆.【解答】 （1）点 F2 的轨迹方程为直线 l：x =1 或椭圆 .(不含短14)2(8)1(2yx轴两端，即不含（1，0） ， （1，4）解法略).（2）如图，当椭圆与直线 y=x+m 相切时，直线与所求轨迹恰有两交点（-为切点，另- 为切线与直线 x=1 的交点） ，其他情况下，若直线 y=x+m 过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由 .8)2()(2)12(8)2()1(2 mxxxymy 3x2+(4m-10)x+2m2-8m+1=0.此方程应有相等
5、二实根，=(4m-10) 2-12(2m2-8m+1)=0.化简得：m 2-2m-11=0,m=12 .3【小结】 探求轨迹，一要注意其完备性也就是充分性：只要符合条件的点都适合轨迹方程；二要注意其纯粹性也就是必要性：只要适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例 3 题图以例 2 为例：若忽视了直线 x=1(不含（1，0） ， （4，0）)则不完备，若不除去（1，0） ，（4，0）则又不纯粹.对应训练1.已知双曲线过坐标原点 O，实轴长为 2，其中一个焦点坐标为 F1（6,0） ，另一个焦点 F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程;(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.2.已知定直线 l 和线
6、外一定点 O，Q 为直线 l 上一动点，OQP 为正三角形（按逆时针方向转） ，求点 P 的轨迹方程.3.已知双曲线过坐标原点 O，实轴长为 2，其中一个焦点坐标为 F1（6，0） ，另一个焦点 F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程；（2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程 .4.已知抛物线 C：y 2=4x，(1) 若椭圆左焦点及相应准线与抛物线 C 的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点 B 与焦点 F 所连线段的中点 P 的轨迹方程；（2）若 M（m,0）是 x轴上的一个定点，Q 是（1）中所求轨迹上任意一点，求|MQ|的最小值.参考答案1.设 F2(x0，y 0), O(0,
7、0)在双曲线上,|OF 2| - |OF1| =2，|OF 1|=6,|OF 2|=62，如|OF 2|=8，则 x20+y20=64 如|OF 2|=4，则 x20+y20=16 当 O、F 1、F 2 共线时， F1、F 2 应在点 O 两侧，故上述轨迹中应分别不含（ 8，0） ， （4，0） 设双曲线中心为 M（x，y）,则yxyx262600代入：(2x-6) 2+(2y)2=64， 即(x-3) 2+y2=16(x7)代入：（2x-6 2+(2y)2=16， 即(x-3) 2+y2=4(x5)(2)a=1，e= = c，且 c=|MF1|= ,)6如 M 的轨迹为(x -3)2+y2=16， 则 c= 436)3(16)(22 x-4x -31 时，以M（m,0）为圆心，R 为半径的圆的方程为： (x-m)2+y2=R2.(*)由 x2+(1-2m)x+m2-1-R2=0.)(22xy命 0，即（1-2m） 2-4(m2-1-R2)=0, R2 . (1)45当 m 时，R min= ， 即| MQ|的最小值为 .4545m45m当 11，即 m 时， |MQ| min=32123.笔者以为不妥，故重解如上，不当之处，请各位同仁指正.45
