1、第 13 计 钥匙开门 各归各用计名释义开门的钥匙应有“个性” ，如果你的钥匙有“通性” ，则将把所有的邻居吓跑.所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处” ，当你的问题本身离定义很近时，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说.典例示范【例 1】
2、 F1、F 2 是椭圆的两个焦点，| F1F2|=2c, 椭圆上的点 P（x, y)到 F1（-c, 0), F2 (c, 0)的距离之和为 2a. 求证：|PF 1|= |PF2|=xa.xa【分析】 一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有 c 无 b，而椭圆方程却有 b 无 c，搬动椭圆方程肯定是舍近求远.12yax【解答】 对| PF1| 和 |PF2|用距离公式，结合椭圆的定义得关于 |PF1|= r1, |PF2|= r2 的方程组- 消 y2, x2 和 c2 得 r r )(221ycxr 21cx4，联立，解得 故|PF 1|= |PF2|=xacr21 ,xac.xac【点
3、评】 快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远.【例 2】 设数列a n的前 n 项和 Sn=1+anlgb, 求使 成立的 b 的取值范围.1limnS【思考】 应首先分清a n是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题 .【解答】 a1=1+a1lgb, 若 lgb=0, 即 b =1 时， a1=S1=1 与 矛盾.linb1,于是 a1= 而 an=(1+anlgb)-(1+an-1lgb).,lg数学破题 36 计a n(1-lgb)=-an-1lgb, = 为常数，a n是首项为 公比 q= 的无穷1nlgb,lg1b1lgb递缩等比数列(已知 存在) ，q= (-1
4、,0)(0,1). limnSlgb由 -1, 即 0, 得 lgb1,1lgb1lg2b21又 0 0lgb1,于是 0lgb b(1, ) l, 10由 0 1 b(0, 1) 1lg1lgl0或 ,0lg综合、，取并集，所求 b 的取值范围为 b(0，1) (1, ).1【例 3】 某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有 4 只红球和 3 只白球，当抽到红球时奖励 20 元的商品，当抽到白球时奖励10 元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中). (1)当顾客购买金额超过 500 元而少于 1000 元时，可抽取 3
5、个小球，求其中至少有一个红球的概率；(2)当顾客购买金额超过 1000 元时，可抽取 4 个小球，设他所获奖商品的金额为 ( =50,60,70,80)元，求 的概率分布和期望 .【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有关计算公式也无法准确解题，例如：(1)随机事件 A 发生的概率 0P(A) 1, 其计算方法为 P (A)= , 其中 m ，n 分别表示事件 A 发生的次数和基本事件总数；(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于 A 与 必有一个发生，故 A 与 既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足 P(A)+P（ ）=1； (3)离散型随机变量的期望，E
6、 =x1 p1+x2 p2+xn pn+, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;(4)离散型随机变量的方差 D =(x1-E )2p1+(x2-E )2p2+(xn - E )2pn+，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.【解答】 (1)基本事件总数 n=C =35, 设事件 A=任取 3 球，至少有一个红球，则事件37 =任取 3 球，全是白球. AA 与 为对立事件，而 Card =1(任取 3 球全是白球仅一种可能).AP( )= ,于是 P (A)=1-P ( )=A351.354即该顾客任取 3 球，至少有一个红球的概率为 .(2) =50 表示所取 4
7、 球为 3 白 1 红( 310+120=50), P ( =50)= ;354C713 =60 表示所取 4 球为 2 白 2 红( 210+220=60), P ( =60)= ;84723 =70 表示所取 4 球为 3 红 1 白( 320+110=70), P ( =70)= ;51C473 =80 表示所取 4 球全为红球, P (=80)= .351C47于是 的分布列为： 50 60 70 80P 354351835121D =50 +60 +70 +80 = (元).354182740即该顾客获奖的期望是 63(元). 70对应训练1 M 为双曲线 上任意一点， F1 为左焦
8、点， 求证: 以 MF1 为直径的圆与圆12byaxx2+y2= a2 相切.2 求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相切.3 在离散型随机变量中，证明其期望与方差分别具有性质:(1)E(a +b)=aE +b; (2)D =E 2 - E 2 .4 M 为抛物线 y2=2px 上任意一点，F 为焦点，证明以 MF 为直径的圆必与 y 轴相切.参考答案1 如图所示，MF 1 的中点为 P, 设| PF1|= r, 连接 PO、MF 2, |PO|= |MF2|(中位线性质）1|PF 1| - |PO|= (|MF1| - |MF2|)= 2a= a,即|
9、PO |= r-a, 故以 MF1 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 内切.2 如图所示，设 M 为椭圆上任一点， MF1 为焦半径，MF 1 的中点为 P, 设|PF 1|= r, 连OP、MF 2.则|OP |= |MF2|= (2a-|MF1|)= a-r1以 MF1 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.第 1 题解图 第 2 题解图3 （1）E =x1 p1+x2 p2+xn pn,E (a +b)= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+(axn+b)pn= a (x1 p1+x2 p2+xn pn)+b(p1+p2+pn) = aE +b (p 1+p2+pn=1).（2）D =(x1 - E )2p1+(x2 - E )2p2+(xn - E )2pn+=（x p1+x p2+x pn+）-2 E (x1 p1+x2 p2+xn pn+)+E2 (p1+p2+pn+)=E 2-2E E +E2 1=E 2 - E2 .4 如图所示，抛物线焦点 F ，0,准线 l:x= ,作 MHl 于 H，FM 中点2p为 P，设圆 P 的半径|PF|= r，作 PQy轴于 Q，则 PQ 为梯形 MNOF 的中位线.|PQ |= ,|21|)|(|1 rMFNOF以 MF 为直径的圆与 y 轴相切. 第 4 题解图
