1、第九章 不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1 ） ab a-b0； （2 ）ab, bc ac；（3 ） ab a+cb+c； （4）ab, c0 acbc；（5 ） ab, cb0, cd0 acbd;（7 ） ab0, nN+ anbn; （8 ）ab0, nN+ ;nba（9 ） a0, |x|a xa 或 xb0, cd0，所以 acbc, bcbd，所以 acbd；重复利用性质（6 ） ，可得性质（7 ） ；再证性质（8） ，用反证法，若 ，由性质（ 7）得 ，即nbannba)(ab，与 ab 矛盾，所以假设不成立，所以 ；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|a|a|, -|b
2、|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b|；下面再证（10 ）的左边，因为|a|=|a+b-b|a+b|+|b| ，所以|a|-|b|a+b|，所以（10 ）成立；（11 ）显然成立；下证（12 ） ，因为 x+y-2 0，所以 x+y ，当且2)(yxyxy2仅当 x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令 ，因为 x3+b3+c3-czba333,3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c
3、2-ab-bc-ca)= (a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0，所以21a3+b3+c33abc，即 x+y+z ，等号当且仅当 x=y=z 时成立。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3xyz二、方法与例题1不等式证明的基本方法。（1 ）比较法，在证明 AB 或 A0）与 1B比较大小，最后得出结论。例 1 设 a, b, cR+，试证：对任意实数 x, y, z, 有 x2+y2+z2.)()(2 xzbacyzabxacba例 2 若 a(n+1)n.（4 ）反证法。例 6 设实数 a0, a1,an 满足 a0=an=0，且 a0-2a1+a20, a1-2a
4、2+a30, an-2-2an-1+an0，求证 ak0(k=1, 2, n-1).（5 ）分类讨论法。例 7 已知 x, y, zR+，求证： .0222yxzyzx（6 ）放缩法，即要证 AB，可证 AC1, C1C2,Cn-1Cn, CnB(nN+).例 8 求证： ).(312n例 9 已知 a, b, c 是ABC 的三条边长，m0，求证： .mcba（7 ）引入参变量法。例 10 已知 x, yR+, l, a, b 为待定正数，求 f(x, y)= 的最小值。23ybxa例 11 设 x1x2x3x42, x2+x3+x4x1，求证：(x 1+x2+x3+x4)24x1x2x3x
5、4.（8 ）局部不等式。例 12 已知 x, y, zR+，且 x2+y2+z2=1，求证： 22211zyx.3例 13 已知 0a, b, c1，求证： 2。11abcbca（9 ）利用函数的思想。例 14 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1，求 f(a, b, c)= 的最acba11小值。2几个常用的不等式。（1 ）柯西不等式：若 aiR, biR, i=1, 2, , n，则 .)()(2112niinii baa等号当且仅当存在 R，使得对任意 i=1, 2, , n, ai=bi, 变式 1：若 aiR, biR, i=1, 2, , n，则 .)()(21
6、12niiib等号成立条件为 ai=bi,(i=1, 2, , n)。变式 2：设 ai, bi 同号且不为 0(i=1, 2, , n)，则 .)(121niiini ba等号成立当且仅当 b1=b2=bn.（2 ）平均值不等式：设 a1, a2,anR+，记 Hn= , Gn= , aa21 na21An= ，则 HnGnAnQn. 即调和平均 几何平均nQann22121, 算术平均平方平均。其中等号成立的条件均为 a1=a2=an.【证明】 由柯西不等式得 AnQn，再由 GnAn 可得 HnGn，以下仅证 GnAn. 1）当 n=2 时，显然成立；2）设 n=k 时有 GkAk，当
7、n=k+1 时，记 =Gk+1.kka112因为 a1+a2+ak+ak+1+(k-1)Gk+1 kka1 2kGk+1, kk 21所以 a1+a2+ak+1(k+1)Gk+1，即 Ak+1Gk+1.所以由数学归纳法，结论成立。（3 ）排序不等式：若两组实数 a1a2an 且 b1b2bn，则对于 b1, b2, , bn 的任意排列 ，有 a1bn+a2bn-1+anb1 a1b1+a2b2+anbn.niib,21 niii a21【证明】 引理：记 A0=0，A k= ，则 =)(1ki nii1i iis11)(（阿贝尔求和法） 。nniiibsbs11)(证法一：因为 b1b2bn
8、，所以 b1+b2+bk.kiii bb21记 sk= -( b1+b2+bk)，则 sk0(k=1, 2, , n)。kiii21所以 -(a1b1+a2b2+anbn)= kinii aba21 jjibaj1)(+snan0.njjjs11)(最后一个不等式的理由是 aj-aj+10(j=1, 2, , n-1, sn=0),所以右侧不等式成立，同理可证左侧不等式。证法二：（调整法）考察 ，若 ，则存在。kinii bab21 nij若 (jn-1)，则将 与 互换。nibjniji因为0)()()()( nnnn ijbijnjnjiijn aababaa ，所 调整后，和是不减的，接
9、下来若 ，则继续同样的调整。至多经 n-1 次调1nin整就可将乱序和调整为顺序和，而且每次调整后和是不减的，这说明右边不等式成立，同理可得左边不等式。例 15 已知 a1, a2,anR+，求证； a1+a2+an.21321an注：本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用，希望读者在解题中再加以总结。三、基础训练题1已知 0m，则 m 的最小值是 _.6 “a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|0, b0 且 a b, m=aabb, n=abba, 则比较大小： m_n.11已知 nN+，求证： .12321n12已知 0x20, 1a0，记 ，比较大小：axyaxy1,1221x1x
10、2_y1y2.8已知函数 的值域是 ，则实数 a 的值为_.xacosin,349设 ab0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2，比较大小：bP_Q.2 已知 x2+y2-xy=1，则|x+y-3|+|x+y+2|=_.3二次函数 f(x)=x2+ax+b，记 M=max|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|，则 M 的最小值为_.4设实数 a, b, c, d 满足 abcd 或者 abcd，比较大小：4(a+c+d)(a+b+d)_(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).5已知 xiR+, i=1, 2, ,n 且 ，则 x1x2xn 的最小值为_（这里1n
11、iin1）.6已知 x, yR, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72 的最小值为_.7已知 0ak1(k=1, 2, ,2n)，记 a2n+1=a1, a2n+2=a2，则 的最大值为nkka121)(_.8已知 0x1, 0y1, 0z1，则 的最大值为_.1xyzzyx9已知 x5，求证：23 .19235210对于不全相等的正整数 a, b, c，求证： .27103abc11已知 ai0(i=1, 2, , n)，且 =1。又 0y1+y2+ym，求证：x 1x2xny1y2ym.3设 f(x)=x2+a，记 f(x), fn(x)=f(fn-1(x)(n=2, 3, )，M=aR|对所有正整数 n, )(f|fn(0)| 2，求证： 。4,M4给定正数 和正整数 n(n2)，求最小的正数 M（） ，使得对于所有非负数 x1, x2,xn ，有 M() .)(111nknknk xx5已知 x, y, zR+，求证：(xy+yz+zx) .49)(1)()( 222 xzy6已知非负实数 a, b, c 满足 a+b+c=1，求证：2(1-a 2)2+(1-b2)2+(1-c2)2(1+a)(1+b)(1+c)，并求出等号成立的条件。
