1、第四节第四节无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量- 1 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续第四节 无穷大量与无穷小量一 无穷小量二 无穷大量第四节第四节无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量- 2 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续一 无穷小1 无穷小量的定义定义 1如果函数()fx在自变量的某个趋向过程下以零为极限,则称()fx为该趋向过程的 无穷小量 ,简称 无穷小 .根据极限的统一定义,无穷小也可以叙述为:如果对于任意给定的0, 总存在某一个时刻,自此以后,恒有|()|fx 使得定理 1 在同一过程中,两个无穷小的和、差仍是无穷小 .以x 为例证明.0, 1;2xX当时恒有+22+
2、因为()fx是0x x有界变量 , 使得当010| |x x 所以存在第四节第四节无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量- 6 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续时 ,恒有|()| ,fx M使得当020| |x x 因为0lim ( ) ,xxf xA=所以0, 使当00| |x x 0, 使当00| |x x 改为()fx M或() ,fx M)(恒有为无穷大 , 简称lim ( ) .f x =记为第四节第四节无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量- 10 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续02lim() .xxfx=切勿将 认 为极限存在3 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量
3、未必是无穷大 .注意的定义 , 记为 lim ( )fx1 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;=+ 或 lim ( ) .fx=11,0,sin,.xyxx=例如 当 时是一个无界变量 但不是无穷大01(1) ( 0,1,2,3, )22xkk=+null取第四节第四节无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量- 11 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续,22)(0+= kxy0,( )kyx .M当充 分 大 时01(2) ( 0,1,2,3, )2xkk=null取,kkx M1,1Mx要使11,xM就有.11lim1=xxxyo1第四节第四节无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量- 12 -第一章第一章函数函数极限极限连续连续00lim ( ) , ( ).xxf xxxyfx= =如果 则直线 是函数的形 的铅直渐近线图例 2证明lim .xxe+=证 0,M 取ln ,X M=当 x X 时，所以lim .xxe+=无穷小与无穷大的关系定理 4| ,xxXeeeM= =恒有在同一过程中 ,无穷大的倒数为无穷小 ;不为零的无穷小的倒数为无穷大 .恒xyo0x()yfx=
