1、3.2 平面向量基本定理内容要求 1.理解平面向量基本定理及其意义(重点).2.体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题(难点)知识点 1 平面向量基本定理(1)定理：如果 e1， e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2.(2)基底：把不共线的向量 e1， e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底【预习评价】(1)0 能不能作为基底？提示 由于 0 与任何向量都是共线的，因此 0 不能作为基底(2)平面向量的基底唯一吗？提示 不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面内所有向量的一组基底题型一 对向量基底的理解【例
2、1】 如果 e1， e2是平面 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是_ e1 e2( 、 R)可以表示平面 内的所有向量；对于平面 内任一向量 a，使 a e1 e2的实数对( ， )有无穷多个；若向量 1e1 1e2与 2e1 2e2共线，则有且只有一个实数 ，使得 1e1 1e2 ( 2e1 2e2)；若存在实数 ， 使得 e1 e20，则 0.解析 由平面向量基本定理可知，是正确的对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的对于，当两向量的系数均为零，即 1 2 1 20 时，这样的 有无数个答案 规律方法 考查两个向量是否能构
3、成基底，主要看两向量是否非零且不共线此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来【训练 1】 设 e1， e2是平面内一组基向量，且 a e1 2e2， b e1 e2，则向量 e1 e2可以表示为另一组基向量 a， b 的线性组合，即 e1 e2_ a_ b.解析 由题意，设 e1 e2 ma nb.因为 a e12 e2， b e1 e2，所以 e1 e2 m(e12 e2) n( e1 e2)( m n)e1(2 m n)e2.由平面向量基本定理，得Error!所以Error!答案 23 13【例 2】 设 D 为 ABC 所在平面内一点， 3 ，
4、则( )BC CD A. B. AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C. D. AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 解析 由题得 AD AC CD AC 13BC .故选 A.AC 13AC 13AB 13AB 43AC 答案 A【迁移 1】 在例题中将“ 3 ”改为“ ”试用 、 表示 .BC CD BC CD AB AC AD 解 AD AC CD AC BC 2 .AC AC AB AC AB 【迁移 2】 在例题中将“ 3 ”改为“ 3 ”试用 ， 表示向量 .BC CD BC CD AB AC AD 解 由题 AD AC CD AC ( 13BC )
5、AC 13(AC AB ) AC 13AC 13AB .23AC 13AB 规律方法 应用平面向量基本定理时的关注点(1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系(2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等(3)一个重要结论：设 a、 b 是同一平面内的两个不共线的向量，若 x1a y1b x2a y2b，则有Error!题型三 平面向量基本定理的应用【例 3】 如图， ABC 中，点 D 是 AC 的中点，点 E 是 BD 的中点，设 a， c.BA BC (1)用 a， c 表示向量 ；AE (2)若点 F 在 AC 上，且 a c，求 AF
6、CF.BF 15 45解 (1) c a，AC BC BA (c a)，AD 12AC 12 ( )AE 12AB AD 12AB 12AD a (c a)12 14 c a.14 34(2)设 ，AF AC BF BA AF BA AC a (c a)(1 )a c.又 a c，BF 15 45 ，45 ，AF 45AC AF CF41.【训练 2】 设 e1， e2是不共线的非零向量，且 a e12 e2， b e13 e2.(1)证明： a， b 可以作为一组基底；(2)以 a， b 为基底，求向量 c3 e1 e2的分解式；(3)若 4e13 e2 a b，求 ， 的值(1)证明 设
7、a b( R)，则 e12 e2 (e13 e2)由 e1， e2不共线得Error!即 Error! 不存在，故 a 与 b 不共线，可以作为一组基底(2)解 设 c ma nb(m、 nR)，则3e1 e2 m(e12 e2) n(e13 e2)( m n)e1(2 m3 n)e2.Error! 即Error! c 2a b.(3)由 4e13 e2 a b，得4e13 e2 (e12 e2) (e13 e2)( )e1(2 3 )e2.Error! 即Error!故所求 、 的值分别为 3 和 1.课堂达标1设 e1， e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(
8、 )A e1 e2和 e1 e2 B3 e14 e2和 6e18 e2C e12 e2和 2e1 e2 D e1和 e1 e2解析 B 中，6 e18 e22(3 e14 e2)，(6 e18 e2)(3 e14 e2)，3 e14 e2和 6e18 e2不能作为基底答案 B2.如图，已知 a， b， 3 ，用 a， b 表示 ，则 等于( )AB AC BD DC AD AD A a b B. a b34 14 34C. a b D. a b14 14 34 14解析 ( ) a b.AD AB BD AB 34BC AB 34AC AB 14AB 34AC 14 34答案 B3如图，在平行
9、四边形 ABCD 中， E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若 ，AC AE AF 其中 、 R，则 _.解析 设 a， b，则 a b， a b，AB AD AE 12 AF 12又 a b，AC ( )，即 ， .AC 23AE AF 23 43答案 434已知 G 为 ABC 的重心，设 a， b.则用 a、 b 表示向量 _.AB AC AG 解析 如图，连接 AG 并延长，交 BC 于点 D，则 D 为 BC 的中点， ( )AG 23AD 23AB BD 23(AB 12BC ) 23AB 13BC ( ) a b.23AB 13AC AB 13AB 13AC 13 13
10、答案 a b13 135设 M、 N、 P 是 ABC 三边上的点，它们使 ， ， ，若BM 13BC CN 13CA AP 13AB a， b，试用 a， b 将 、 、 表示出来AB AC MN NP PM 解 如图， MN CN CM 13CA 23CB ( )13AC 23AB AC b a.13AC 23AB 13 23同理可得 a b.NP 13 23 ( ) a b.PM MP MN NP 13 13课堂小结1对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：一组基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内表示所有向量的一组基底的条件
11、(2)零向量与任意向量共线，故基底中的向量不是零向量2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的一组基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.基础过关1设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，下列向量组： 与 ； 与 ； 与AD AB DA BC CA ； 与 ，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基底的是( )DC OD OB A BC D解析 由基底的定义知，中两向量不共
12、线，可以作为基底答案 B2如图所示，在矩形 ABCD 中， 5 e1， 3 e2，则 等于( )BC DC OC A. (5e13 e2) B. (5e13 e2)12 12C. (3e25 e1) D. (5e23 e1)12 12解析 ( ) (5e13 e2)OC 12AC 12BC BA 12答案 A3在四边形 ABCD 中， a2 b， 4 a b， 5 a3 b，则四边形 ABCD 的形状是AB BC CD ( )A长方形 B平行四边形C菱形 D梯形解析 8 a2 b2 ，故为梯形AD AB BC CD BC 答案 D4已知 10， 20， e1， e2是一组基底，且 a 1e1
13、2e2，则 a 与 e1_， a与 e2_(填共线或不共线)解析 若 a 与 e1共线，则存在实数 使 a e1 1e1 2e2，则 e1与 e2共线，这与e1， e2不共线矛盾答案 不共线 不共线5已知 e1、 e2不共线， a e12 e2， b2 e1 e2，要使 a、 b 能作为平面内的一组基底，则实数 的取值范围为_解析 若能作为平面内的一组基底，则 a 与 b 不共线a e12 e2， b2 e1 e2，由 a kb 得 4.答案 (，4)(4，)6.如图，已知 ABC 中， D 为 BC 的中点， E， F 为 BC 的三等分点，若 a， b，用AB AC a、 b 表示 、 、
14、 .AD AE AF 解 AD AB BD AB 12BC a (b a) a b；12 12 12 AE AB BE AB 13BC a (b a) a b；13 23 13 AF AB BF AB 23BC a (b a) a b.23 13 237设 e1， e2是不共线的非零向量，且 a e12 e2， b e13 e2.(1)已知 c3 e14 e2，以 a， b 为基底，表示向量 c.(2)若 4e13 e2 a b，求 ， 的值解 (1)设 c a b，则 3e14 e2 (e12 e2) (e13 e2)( )e1(3 2 )e2，所以Error! 解得Error!所以 c a
15、 2b.(4)4e13 e2 a b (e12 e2) (e13 e2)( )e1(3 2 )e2，所以Error! 解得 3， 1.能力提升8设向量 e1和 e2是某一平面内所有向量的一组基底，若 3xe1(10 y)e2(4 y7)e12 xe2，则实数 y 的值为( )A3 B4C D14 34解析 因为 3xe1(10 y)e2(4 y7) e12 xe2，所以(3 x4 y7) e1(10 y2 x)e20，又因为 e1和 e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以Error! 解得Error! 故选 B.答案 B9若 D 点在三角形 ABC 的边 BC 上，且 4 r s ，则 3r
16、 s 的值为( )CD DB AB AC A. B. 165 125C. D.85 45解析 4 r s ，CD DB AB AC ( )CD 45CB 45AB AC r s ，AB AC r ， s .45 453 r s .125 45 85答案 C10在 ABC 所在平面上有一点 P，满足 4 ，则 PBC 与 PAB 的面积比为PA PB PC AB _解析 4 A ，所以 4 2 ，即 P 在 AC 边上，且 AP2 PC，所以PA PB PC AB P PB PC AP PBC 与 PAB 的面积比为 12.答案 1211设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点，
17、 AD AB， BE BC，若12 23 1 2 ( 1， 2为实数)，则 1 2的值为_DE AB AC 解析 易知 ( ) ，所以 1 2 .DE 12AB 23BC 12AB 23AC AB 16AB 23AC 12答案 1212.如图所示，在 OAB 中， a， b， M， N 分别是边 OA， OB 上的点，且OA OB a， b，设 与 交于点 P，以 a、 b 为基底表示 .OM 13 ON 12 AN BM OP 解 ， ，设 m ，OP OM MP OP ON NP MP MB n ，则 m a m (1 m)a mb， n (1 n)b na.NP NA OP OM MB
18、13 (b 13a) 13 OP ON NA 12 a 与 b 不共线，Error! n ， m ，15 25 a b.OP 15 2513(选做题)如图，在 ABC 中， AD 为三角形 BC 边上的中线且 AE2 EC， BE 交 AD 于 G，求 及 的值AGGD BGGE解 设 ， .AGGD BGGE ，即 ，BD DC AD AB AC AD ( )AD 12AB AC 又 ( )，AG GD AD AG .AG 1 AD 2 1 AB 2 1 AC 又 ，即 ( )，BG GE AG AB AE AG (1 ) ， .AG AB AE AG 11 AB 1 AE 又 ， .AE 23AC AG 11 AB 23 1 AC ， 不共线，AB AC Error! 解得Error! 4， .AGGD BGGE 32
