1、1 从位移、速度、力到向量内容要求 1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景.2.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示的意义和方法知识点 1 向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量统称为向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量注意 向量的两个要素：大小和方向，缺一不可解题时，注意从两个要素出发考虑问题数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小【预习评价】已知下列各量：力；功；速度；质量；温度；位移；加速度；重力；路程；密度其中是数量的有，是向量的有.知识点 2 向量的表示方法(1)具有方向和长度的线段，叫作有向线段以 A 为起点，以 B
2、为终点的有向线段记作 ，AB 线段 AB 的长度也叫作有向线段 的长度，记作| |.AB AB (2)向量可以用有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，即长度(也称模)箭头所指的方向表示向量的方向(3)向量也可以用黑体小写字母如 a，b，c，来表示，书写用 ， ， ，来表示a b c 【预习评价】两个向量能比较大小吗？有向线段是向量吗？提示 两个向量不能比较大小，因为向量既有大小也有方向有向线段表示向量，但有向线段不是向量知识点 3 与向量有关的概念名称 定义 记法零向量 长度为零的向量称为零向量 0单位向量 长度为单位 1 的向量叫作单位向量相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量
3、向量 a 与 b 相等，记作 a b共线向量(平行向量)如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向a 与 b 平行或共线，记作 a b量平行或共线规定零向量与任一向量平行【预习评价】 (正确的打“” ，错误的打“”)(1)向量的两个要素是大小与方向()(2)长度相等的向量是相等向量()(3)方向相同的向量是共线向量()题型一 向量的有关概念【例 1】 判断下列命题是否正确，并说明理由(1)若 a b，则 a 一定不与 b 共线；(2)若 ，则 A、 B、 C、 D 四点是平行四边形的四个顶点；AB DC (3)在平行四边形 ABCD 中，一定有 ；AB DC (4)若向量 a
4、 与任一向量 b 平行，则 a0；(5)若 a b， b c，则 a c；解 两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以 a 与 b 有共线的可能，故(1)不正确(2) ， A、 B、 C、 D 四点可能在同一条直线上，故(2)不正确(3)在平AB DC 行四边形 ABCD 中，| | |， 与 平行且方向相同，故 ，(3)正确(4)零向量AB DC AB DC AB DC 的方向是任意的，与任一向量平行，(4)正确(5) a b，则| a| b|且 a 与 b 方向相同；b c，则| b| c|且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 方向相同且模相等，故 a c，(5)正确规
5、律方法 对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可【训练 1】 下列说法正确的有_(填序号)若| a| b|，则 a b 或 a b；向量 与 是共线向量，则 A、 B、 C、 D 四点必在同一条直线上；AB CD 向量 与 是平行向量；AB BA 任何两个单位向量都是相等向量解析 错误由| a| b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它们方向的关系错误共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量 、 必须在同AB CD 一直线上，因此点 A、 B、 C、 D 不一定在同一条直线上正确向量 和 是长度相等，方向相反的
6、两个向量AB BA 错误单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同答案 题型二 向量的表示【例 2】 一艘军舰从基地 A 出发向东航行了 200 海里到达基地 B，然后改变航线向东偏北60航行了 400 海里到达 C 岛，最后又改变航线向西航行了 200 海里到达 D 岛(1)试作出向量 ， ， ；AB BC CD (2)求| |.AD 解 (1)建立如图所示的直角坐标系，向量 ， ， 即为所求AB BC CD (2)根据题意，向量 与 方向相反，故向量 .AB CD AB CD 又| | |，在四边形 ABCD 中， AB 綊 CD，四边形 A
7、BCD 为平行四边形，AB CD ，AD BC | | |400(海里)AD BC 规律方法 1.准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可2起点相同，长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量长度为半径的圆【训练 2】 一辆消防车从 A 地去 B 地执行任务，先从 A 地向北偏东 30方向行驶 2 千米到 D 地，然后从 D 地沿北偏东 60方向行驶 6 千米到达 C 地，从 C 地又向南偏西 30方向行驶了 2 千米才到达 B 地(1)在如图所示的坐标系中画出 ，
8、， ， ；AD DC CB AB (2)求 B 地相对于 A 地的位置向量解 (1)向量 ， ， ， 如图所示AD DC CB AB (2)由题意知 ，AD BC AD 綊 BC，四边形 ABCD 为平行四边形， ，AB DC B 地相对于 A 地的位置向量为“北偏东 60，6 千米” 【例 3】 如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中所示与 ， ， 相等的OA OB OC 向量解 ； ；OA CB DO OB DC EO .OC AB ED FO 【迁移 1】 例 3 中与 模相等的向量有多少？OA 解 由图知与 的模相等的向量有 23 个OA 【迁移 2】 例 3 中
9、与向量 的长度相等方向相反的向量有哪些？OA 解 与向量 长度相等方向相反的向量有 ， ， ， .OA OD BC FE AO 【迁移 3】 例 3 中与向量 共线的向量有哪些？OA 解 与向量 共线的向量有 ， ， ， ， ， ， ， ， .OA EF BC OD FE CB DO AO DA AD 规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可.课堂达标1下列说法错误的是( )A若 a0，则| a|0B零向量是没有方向的C零向量与任一向量平行D零向量的方向是任意的解析 零向量的长度为 0，方向是任
10、意的，它与任何向量都平行，所以 B 是错误的答案 B2如图所示，梯形 ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量 与 的关系是( )AB DC A. B| | |AB DC AB DC C. D. |b|，则 ab；若| a| b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；对于任意| a| b|，且 a 与 b 的方向相同，则 a b；向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反A1 B2C3 D4解析 不正确因为向量是不同于数量的一种量它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故不正确不正确由| a| b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向正确因为| a
11、| b|，且 a 与 b 同向由两向量相等的条件可得 a b.不正确因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不确定答案 C10给出以下 5 个条件： a b；| a| b|； a 与 b 的方向相反；| a|0 或| b|0； a 与 b 都是单位向量其中能使 a b 成立的是_(填序号)解析 相等向量一定是共线向量，能使 a b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，能使 a b；零向量与任一向量平行，成立答案 11已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中， ABC60，则| |_.BD 解析 易知 AC BD，且 ABD30，设 AC 与 BD 交于点 O，则 AO AB1.在 R
12、t ABO 中，12易得| | ，| |2| |2 .BO 3 BD BO 3答案 2 312.如图，在四边形 ABCD 中， ， N、 M 分别是 AD、 BC 上的点，且 .求证： AB DC CN MA DN .MB 证明 ，AB DC | | |且 AB CD，AB CD 四边形 ABCD 是平行四边形，| | |，且 DA CB.DA CB 又 与 的方向相同，DA CB . ，四边形 CNAM 是平行四边形，CB DA CN MA .CM NA | | |，| | |，CB DA CM NA | | |.DN MB DN MB 且 与 的方向相同，DN MB .DN MB 13.(选做题)如图， A， B， C 三点的坐标依次是(1，0)，(0,1)，( x， y)，其中 x， yR.当 x， y 满足什么条件时，向量 与 共线(其中 O 为坐标原点)?OC AB 解 由点 A、 B 的坐标分别是(1,0)，(0,1)得 BAO45.当点 C 的坐标满足 x y0 时，点 C 与点 O 重合，则有| OC|0，即| | 0，所以OC 0，这时 与 共线(零向量与任一向量都共线)；OC OC AB 当点 C 的坐标满足 xy0，且 x y，即点 C 在第一、三象限角平分线上时，有 AB OC，这时 与 共线综上可知，当 x y 时， 与 共线OC AB OC AB
