1、2017-2018 学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1已知集合 A=x|y= ，B=x| 0，则 AB=（ ）Ax |1x1 B x|x1 Cx|1x1 Dx|x 12设复数 z 满足 iz=|2+i|+2i（i 是虚数单位） ，则|z |=（ ）A3 B C i D i3设 x，y 满足约束条件 ，则下列不等式恒成立的是（ ）Ax 3 By4 Cx+2y 80 D2xy+104某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A B C D5下列说法正确的是（ ）A “若 a1 ，则 a21” 的否命题是 “若 a1，则 a21”Bx 0（ ，0） ，2 成立C “若
2、tan1，则 ”是真命题Da n为等比数列，则“a 1a 2a 3”是“a 4a 5”的既不充分也不必要条件6已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的焦点为 F，准线 l：x= ，点 M 在抛物线 C 上，点 A 在准线 l 上，若 MAl，且直线 AF 的斜率 kAF= ，则AFM 的面积为（ ）A3 B6 C9 D127已知 y=f（x）是奇函数，当 x（0，2）时，f（x）=lnx ax（a ） ，当 x（2，0）时，f（x）的最小值为 1，则 a=（ ）A 1 B1 C De 28已知定义在 R 上的函数 f（x）满足：f（x ）+ f（2x）=0；f （x2）=f（ x） ；当x1，
3、1时， f（x）= ；则函数 y=f（x）（ ） |x|在区间3，3上的零点个数为（ ）A5 B6 C7 D8二、填空题9甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是 10执行如图所示的程序框图，若输入的 N 是 4，则输出 p 的值是 11设 P 是双曲线 上一点，F 1，F 2 分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|=9，则|PF2|等于 12直线 y=kx+3 与圆（x 4） 2+（y3） 2=4 相交于 M，N 两点，|MN | ，则 k 的取值范围是 13在直角三角形 ABC 中， ACB=90 ，AC=BC=2，点
4、 P 是斜边 AB 上的一个三等分点，则= 14已知 x，y 均为正实数，且 x+y=16，则 的最大值为 三、解答题15已知函数 f（x ）=2sin 2x+2 sinxsin（x+ ）（1）求 f（x）的最小正周期；（2）若把函数 y=f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移 2 个单位，得函数 g（x）的图象，求函数 g（x）在区间0， 上的取值范围16在ABC ，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b， c，且 cos2A=3cos（B +C）+1（1）求角 A 的大小；（2）若 a=3，sinC=2sinB，求 b，c 的值17如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1面
5、ABC，AB=BC=2BB 1，ABC=90，D 为 BC 的中点（1）求证：A 1B平面 ADC1；（2）求二面角 CADC1 的余弦值；（3）若 E 为 A1B1 的中点，求 AE 与 DC1 所成的角18已知数列a n的前 n 项和 Sn 满足：S n=2（a n1） ，数列b n满足：对任意 nN*有a1b1+a2b2+anbn=（n1）2 n+1+2（1）求数列a n与数列 bn的通项公式；（2）记 cn= ，数列c n的前 n 项和为 Tn，证明：当 n6 时，n |Tn2|119已知椭圆 C： + =1（ab0）过点 P（ 1，1） ，c 为椭圆的半焦距，且 c= b过点 P 作
6、两条互相垂直的直线 l1，l 2 与椭圆 C 分别交于另两点 M，N（1）求椭圆 C 的方程；（2）若直线 l1 的斜率为1，求PMN 的面积；（3）若线段 MN 的中点在 x 轴上，求直线 MN 的方程20设函数 f（x ）=x 22x+alnx（aR ）（1）当 a=2 时，求函数 f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（2）若函数 f（x）存在两个极值点 x1，x 2（x 1x 2）求实数 a 的范围；证明： 2017-2018 学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案一、选择题1-5： AACDC 6-8：CBA二、填空题9乙 1024 1117 12 ， 1341
7、41 三、解答题15解：（1）函数 f（ x）=2sin 2x+2 sinxsin（ x+ ）=2 + sin2x=2sin（2x ）+1，故 f（x）的最小正周期为 =（2）把函数 y=f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移 2 个单位，可得函数 g（x）=2sin（2x + ）+2+1=2sin（2x+ ）+3 的图象，在区间0， 上，2x+ ， ，故当 2x+ = 时，f（x）取得最小值为 2（ ）+3=3 ；当 2x+ = 时，f（x）取得最大值为 2+3=516解：（1）由 cos2A=3cos（B +C）+1 得，2cos2A+3cosA2=0，即（2cosA 1） （cosA
8、 +2）=0，解得 cosA= 或 cosA=2（舍去） ，因为 A 为三角形的内角，所以 A= ；（2）由（1）知 cosA= ，又 sinC=2sinB，c=2b ；由余弦定理 a2=b2+c22bccosA，9=b 2+4b22b2b ，解得 b= ；c=2 17 （）证明：可设 AB=BC=2BB1=2，以 B 为坐标原点， BA 所在直线为 x 轴，BC 所在直线为y 轴，BB 1 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，A1（ 2，0 ，1 ） ，B（0 ，0，0） ，A （2，0 ，0） ，D（0，1，0） ，C 1（0，2，1） ，则有 =（ 2，0，1） ， =（ 2，1，0
9、 ） ， =（2，2，1） ，设平面 ADC1 的法向量为 m=（x 1，y 1，z 1） ，由 ，取 x1=1，得 m=（1，2，2） ， m=2+0+2=0， ，则 A1B平面 ADC1；（）解：由（）可得 =（2，1，0） ， =（2，2，1） ， =（0，1，0） ，由 C1C 平面 ABC，可知平面 ABC 的法向量为 =（0，0，1） ，由（）可得平面 ADC1 的法向量为 m=（1，2，2） ，由 cos = = 故二面角 CADC1 的余弦值为 ；（）解：E 为 A1B1 的中点，则 E（1，0 ， 1） ， =（1，0，1） ， =（0，1，1） ，cos = = ，由 0
10、，可得 = ，则 AE 与 DC1 所成的角为 18解：（1）数列a n的前 n 项和 Sn 满足：S n=2（a n1），则：S n1=2（a n11），所以：得：a n=2an1，即： ，当 n=1 时，解得：a 1=2故数列a n的通项公式为： （首项符合） 故通项公式为： 数列b n满足：对任意 nN*有 a1b1+a2b2+anbn=（n1）2 n+1+2则：a 1b1+a2b2+an1bn1=（n 22n+2得：故：b n=n证明：（2）根据（1）的通项公式，则： = ，= 得： = 解得： 故：|T n2|= = ，所以：n|T n2|= ，当 n6 时， 故：n|T n2|1
11、成立19解：（1）因为椭圆 C： + =1（ab0）过点 P（1，1） ，c 为椭圆的半焦距，且 c= b，所以 ，且 c2=2b2，所以 a2=3b2，解得 b2= ，a 2=4所以椭圆方程为： + =1（2）设 l1 方程为 y+1=k（x +1） ，联立 ，消去 y 得（1+3k 2）x 2+6k（ k1）x+3（k 1） 24=0因为 P 为（1，1） ，解得 M（ ， ） （5 分）当 k0 时，用 代替 k，得 N（ ， ） （7 分）将 k=1 代入，得 M（2，0） ，N（1，1 ） 因为 P（1 ，1） ，所以 PM= ，PN=2 ，所以PMN 的面积为 2 =2 （9 分）
12、（3）设 M（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，则 ，两式相减得（x 1+x2） （x 1x2）+3（y 1+y2） （y 1y2）=0，因为线段 MN 的中点在 x 轴上，所以 y1+y2=0，从而可得（ x1+x2） （x 1x2）=0（12 分）若 x1+x2=0，则 N（x 1，y 1） 因为 PMPN，所以 =0，得 x12+y12=2又因为 x12+3y12=4，所以解得 x1=1，所以 M（1，1 ） ，N（1， 1）或 M（1， 1） ，N（1，1） 所以直线 MN 的方程为 y=x（14 分）若 x1x2=0，则 N（x 1，y 1） ，因为 PMPN，所以 =0，
13、得 y12=（x 1+1） 2+1又因为 x12+3y12=4，所以解得 x1= 或1，经检验：x= 满足条件， x=1 不满足条件综上，直线 MN 的方程为 x+y=0 或 x= （16 分）20解：（1）当 a=2 时，函数 f（x）=x 22x+2lnx（x0） ，f（x ）=2x2+ = ，可得 f（ 1）=1，f（1）=2在点（1，f（1 ） ）处的切线方程为： y（1）=2（x1） ，即 2xy3=0（2） ， （x0 ） ，函数 f（x）存在两个极值点 x1，x 2（x 1x 2） 2x 22x+a=0 有两个不等正实根， ，实数 a 的范围：（0， ） a=2x 1x2=2x2（1x 2） ，1x 1=x2， = = = ， （） 令 h（t）=t+2（1t）ln （1t） ， （ ） ，h ，h （t）在（ ）递增，
