1、山东 K12 联盟 2018 届高三开年迎春考试数学（理科试题卷）第 卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.已知全集 3|04xUZ，集合 |21|AxZ， 2*|0BxNx，则()AB中元素的个数是（ ）A0 B1 C2 D3 2.若复数 23208|34|1izii，则 z的共轭复数 z的虚部为（ ）A 5B 95C 95D 95i 3.在区间 (,)上随机取一个实数 x，使得 3|tan|2x的概率为（ ）A 23B 13C 14D 12 4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，
2、粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A 12B 356C 173D 163 5.在边长为 2 的等边三角形 A中，若 0，则 AB（ ）A B 2C 4D 4 6.执行下面的程序框图，如果输入的 0.t，则输出的 n为（ ）A7 B6 C5 D4 7.已知 2|axd，在 2(1)axy的展开式中，记 mnxy的系数为 (,)fn，则 (2,3)f(7,)f（ ）A 64B 64C 160D 160 8.在四面体 CD中， 3ADA， 2B，则它的外接球的面积 S（ ）A 102B 52C 10D 5 9.以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，
3、称它们互为共轭双曲线设双曲线 1C：21xyab（ 0a， b）与双曲线 2互为共轭双曲线，它们的离心率分别为 1e、2e以下说法错误的是（ ）A 1、 2的渐近线方程都是 yxaB 12e的最小值是 2C 12eD 21 10.记函数 2()sincosfxax（ 0a， ）的图象按向量 3(,1)4m平移后所得图象对应的函数为 g，对任意的 R都有 ()4fx，则 ()8g的值为（ ）A 21aB 21aC aD 1 11.函数 ()|sin|fxmx（ ）在 (0,)上有两个不同的零点 x、 2（ 12x） ，以下正确的是（ ）A 221ta()4xxB 221tan()4xxC 22t
4、n()D 22t()12.对于函数 ln()xfe，以下描述正确的是（ ）A 0(2,)x， 0,2fB (2,)x， (,2)fxC ， ()xD min1f 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知变量 x、 y满足20,3,xy则 2241zxy的最大值为 14.公元五世纪张丘建所著张丘建算经卷中第 1 题为：今有户出银一斤八两一十二铢，今以家有贫富不等，今户别作差品，通融出之，最下户出银八两，以次户差各多三两，问户几何？题目的意思是：每户应交税银 1 斤 8 两 12 铢，若考虑贫富的差别，家最贫者交 8 两，户别差为 3 两，则户数
5、为 （1 斤 6两，1 两 24铢）15.过抛物线 C： (0)ypx的焦点 F的直线与抛物线 C交于 A、 B两点，过 、 两点分别作抛物线 的准线 l的垂线，垂足分别为 M、 N，若 3， 1NF，则抛物线 C的方程为 16. ABC的面积 103S，角 A、 B、 C的对边分别为 a、b、 c， 7a， 1cosinba， 的内切圆半径等于 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知数列 n， 1e， 31n（ *N） （1）求数列 a的通项公式；（2）设 (2)lnnb，求数列 nb的前 项和 nT 18.在矩形 ABCD中，
6、 1， 2A， E为线段 AD的中点，如图 1，沿 BE将 A折起至 PBE，使 PE，如图 2 所示（1）求证：平面 PBE平面 CD；（2）求二面角 的余弦值19.为了治理大气污染，某市 2017 年初采用了一系列措施，比如“煤改电” ， “煤改气” ， “整治散落污染企业”等下表是该市 2016 年 11 月份和 2017 年 11 月份的空气质量指数（ AQI） （ 指数越小，空气质量越好）统计表根据表中数据回答下列问题：（1）将 2017 年 11 月的空气质量指数 AQI数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统抽样方法从中抽取 6 个 AQI数据，若在 2017 年 11 月 1
7、6 日到 11 月 20 日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是 19 号，写出抽出的样本数据；（2）根据环境空气质量指数（ AI）技术规定（试行） 规定：当空气质量指数为 05（含 50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，空气质量级别为一级的天数为 ，求 的分布列及数学期望；（3）求出这两年 11 月空气质量指数为一级的概率，你认为该市 2017 年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？20.已知 1F、 2分别是离心率为 13的椭圆 C：21(0)xyab的左、右焦点，点 P是椭圆 C上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点 2F作 12P的外
8、角平分线 L的垂线 2FQ，交 L于点 ，且|3OQ（ 为坐标原点） （1）求椭圆 C的方程；（2）若点 M在圆 22xyb上，且在第一象限，过 M作圆 22xyb的切线交椭圆于 A、 B两点，问： 2AFB的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由21.已知函数 2()()xfeaxR（1）曲线 在点 1,(f处的切线垂直于直线 L： 20xey，求 a的值；（2）讨论函数 )fx零点的个数请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 2cos,1inxy（ 为参数）
9、 ，以原点 O为极点， x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2的极坐标方程为 2cs()()4tR（1）写出曲线 1C的极坐标方程和曲线 2C的直角坐标方程；（2）已知点 P是曲线 上一点，点 Q是曲线 上一点， |PQ的最小值为 2，求实数 t的值23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 ()|1|2|fxx（1）解不等式 ；（2）若 ()|3|gxmx，对 1R， 2x，使 12()fxg成立，求实数 m的取值范围山东 K12 联盟 2018 届高三开年迎春考试数学（理科试题卷）答案一、选择题1-5:DBC 6-10: ADC 11、12： AC二、填空题13.17 14.12 15.
10、23yx 16. 3三、解答题17.解：（1）由 1ae， 31na知， 0n，所以 1llna，数列 lna是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以 ， 1ne（2）由（1）得 1(2)l(2)3nnnba，01353nT，21 ()()nn， ，得 1323n312()2()nn所以 1nnT 18.（1）证明：在图 1 中连接 EC，则 ABCE45， 90BC， E PBCE， P， 平面 P， 平面 D，平面 平面 D.（2）解：取 中点 O，连接 ， ， B，平面 PE平面 C， P平面 BCE以 为坐标原点，以过点 且平行于 D的直线为 x轴，过点 O且平行于 BC的直线为
11、y轴，直线 PO为z轴，建立如图所示的直角坐标系，则 1(,0)2， 1(,0)2， 13(,0)2， 13(,0)2D，2(0,)P，1(,)E， (0,1)DE， 132(,)CP， (1,0)C设平面 P的法向量为 1,mxyz，平面 D的法向量为 2,nxyz，由 1120,20,mxDEy可得 (2,0)；由 223,nCPxz可得 (,)3n；则 3cos,1|mn，所以二面角 CPDE的余弦值为 19.解：（1）系统抽样，分段间隔 3056k，这些抽出的样本的编号依次是 4 号、9 号、14 号、19 号、24 号、29 号，对应的样本数据依次是 28、56、94、48、40、2
12、21（2）随机变量 所有可能的取值为 0，1，2,3，0361()2CP，2369()CP，21369()0CP，3061()2CP，随机变量 的分布列为：0 1 2 3P1292090120所以 19()03.520E （3）2016 年 11 月 AQI指数为一级的概率 17P，2017 年 11 月 指数为一级的概率 23，21P，说明这些措施是有效的20.解：（1）延长 2FQ交直线 1P于点 R， 2为 1的外角平分线的垂线， 2|FP， Q为 2FR的中点， | 2RO1| 3a，由椭圆的离心率 3ca，得 ， 28b，椭圆的方程为2198xy（2）由题意，设 AB的方程为 kxm
13、（ 0， ） ，直线 与圆 28xy相切， 2|1，即 21k，由 2,198ykxm得 22(9)18970kxm，设 1(,)Axy103)， 2(,)By（ 203x） ，则 12289kmx，21978xk，212|Bkx1212)4k2|6|2，又 2 211 1|()()8(9)xFy ， 211|93Ax，同理 22|()Bx， 21|6()3F2689km， 22|AA，即 2AFB的周长为定值 6 21.解：（1） 2()xfea，因为 ()fx在点 ,1处垂直于直线 2ey0，所以 22ee， ，解得 a或 e（2）函数 ()fx的定义域为 R， ()2)(xxfe当 0a
14、时， 2xe0，无零点；当 时， ()f，得 ln()2a当 9(,ln2x时， ()fx，函数 fx单调递减；当 )a时， 0，函数 ()单调递增， 2min3(l)ln(24afxf因为 2)xxfeae，且当 0时， 20，当 时， 20xea， ()fx，当 23ln()4a时，即 3ln()4a，34，函数 f有两个不同的零点；当 23ln()04a时，即342ae时，函数 ()fx有一个零点；当 2l()时，即340时，函数 ()f没有零点；当 0a时，令 (0fx，得 lna当 (,ln)x时， )，函数 ()fx单调递减；当 时， (fx，函数 单调递增， 2min()(l)l
15、nfxfa当 和当 ，均有 ()0fx，当 2l0时，即 l， 1a时，函数 ()fx有两个不同的零点；当 na时，即 时，函数 ()fx有一个零点；当 2l时，即 时，函数 没有零点；综上，当34ae或 1时，函数 ()fx有两个不同的零点；当 2或 时，函数 有一个零点；当34e时，函数 ()fx没有零点22.解：（1）由曲线 1C的参数方程，消去参数 t，可得 1C的普通方程为 22(1)xy，即 20xy，化为极坐标方程为 2sin0，由曲线 2的极坐标方程 cos()4t（ R） ，得 2(cosin)t（ R） ，曲线 2C的直角坐标方程为 xyt，即 0xyt（2）曲线 1的圆心 (0,)到直线 t的距离 |12td，故 |PQ的最小值为 |122td，解得 7t或 5t23.解：（1）不等式等价于 ,32x或1,2x或1,23x解得 x或 102x或 x，所以不等式 ()f的解集为 |01（2）由3,1,()2,xfx知，当 2x时， min13()()2fxf；()|32)(1)|2|gxm，当且仅当 0x时取等号，所以 |1|2，解得 54m故实数 的取值范围是 15,4
