1、2018 年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考数学试卷（文科） 一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1. 已知全集 ,集合 ,集合 ,则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ,选 C.2. 实数 满足不等式组 则目标函数 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数变形为 ，要求目标函数最小值，即求截距的最小值，所以过 A(1,1)点时， ，选 B.【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型： ，与直线的截距相关联，若 ，当 的最值情况
2、和 z 的一致；若 ，当 的最值情况和的相反；（2）斜率型： 与 的斜率，常见的变形： ， .（3）点点距离型： 表示 到 两点距离的平方；3. 执行如图 1 所示的程序框图,若输入 的值为 3,则输出的值是（ ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 7【答案】C【解析】试题分析：第一次循环 ；第二次循环 ；第三次循环 ；结束循环，输出 选 C.考点：循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.4
3、. 若 ， ,则 的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ，所以 ，选 D.5. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由 ，解得 ，由 ，可知“ ”是“ ”的充分不必要条件，选 A.6. 函数 的最小正周期是 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 的图象 ( )A. 关于点 对称 B. 关于直线 对称C. 关于点 对称 D. 关于直线 对称【答案】B【解析】最小正周期是 ,得 ， ，图像向左平移 个单位后得到的函数为为奇函数，所以 ， ，所以直线 是函数
4、f(x)的对称，选 B.7. 已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于 , 两点, 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 , 的面积为 , 则抛物线的焦点为( )A. ( ) B. （ ） C. D. 【答案】D【解析】双曲线离心率 抛物线的准线 ， ，所以抛物线的焦点坐标 。选 D.【点睛】圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，也是一大难点命题的热点主要有四个方面：一是直线和圆锥曲线的位置关系中的基本运算；二是最值与范围问题；三是定点与定值问题；四是有关探究性的问题命题多与函数、方程、不等式、数列、向量等多种知识综合，考查考生的各种数学思想与技能，因此也是高考的难点本题是圆锥曲中的基本量运
5、算。8. 已知函数 ,若存在 ，使得关于 的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得 ， ，因为 ，所以函数 f(x)在区间 单调递增，在区间 单调递减，在区间 单调递增，而函数有三个不同的零点，所以，所以 ，填 。【点睛】绝对值函数常用的两种方法，一是分段讨论写成分段函数，二是数形结合，本题由于参数有范围，所以函数图像确定，由图像可得函数零点问题。二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在试题的相应的横线上.9. 已知是虚数单位，则 _【答案】【解析】 ,填 。10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体
6、的体积为_ 【答案】【解析】试题分析：几何体为一个半圆柱，半圆半径为 1，圆柱高为 2，所以体积为考点：三视图【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解11. 等比数列 中，各项都是正数，且 , , 成等差数列，则 =_【答案】【解析】由题意得 ，所以 ， = = ,填12. 设直线 与圆 相交于 两点,若 ,则 _【答案】【解
7、析】圆化为标准方程为 ，圆心 ，半径为 ，圆心到直线的距离 ，所以 ， ，填 。【点睛】直线与圆相交，连接圆心与弦中点的直线垂直于弦，所以关于弦的问题，利用这个垂直构成直角三角形运算。13. 已知正实数 满足 且 ,则 的最小值为_.【答案】【解析】由题意得 ，当且仅当 ， ，填 。【点睛】当 时，(当且仅当 时取“ ”号).利用基本不等式求最值满足条件：一正、二定、三相等.14. 已知菱形 的边长为 2, ,点 、 分别在边 上, ， ,若 , 则 的最小值_【答案】3【点睛】平面向量基本定理是向量运算的根本，所以选择合适的基底，用基底去表示其它向量及向量运算。本题就是选择了 做基底，把数量
8、积转化为基底运算，转化为的函数。三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. 从高三学生中抽取 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间 ,且成绩在区间 的学生人数是 人,（1）求 的值；（2）若从数学成绩（单位：分）在 的学生中随机选取 人进行成绩分析列出所有可能的抽取结果；设选取的 人中,成绩都在 内为事件 ,求事件 发生的概率 .【答案】 （1）50；（2）见解析，【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图的面积和为 1，可求得 x。 (2)用枚举法列出所有基本事件，再由古典概型可求得事件
9、 发生的概率。试题解析：(1)由直方图可得成绩分布在区间的频率为样本容量 (2) 成绩在区间 共有 人记为成绩在区间 共有 人记为 则从中随机选取 人所有可能的抽取结果共有 种情况； “从上述 5 人中任选 人，都来自 分数段”为事件 A; 则事件 A 包含的基本事件有 ,故所求概率【点睛】直方图的两个结论(1)小长方形的面积组距(频率/组距)频率.(2)各小长方形的面积之和等于 1.16. 锐角 中, 分别为角 的对边, ，（1）若 求 的面积；（2）求 的值. 【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理化角，可得 ，再由角 A 的余弦定理，可求得 ，进一步求得三角形面积。
10、 （2）由正弦和角公式和倍角公式可求值。试题解析：(1) ， ， 是锐角，由余弦定理 ，得 ， ， 则（2） ， 【点睛】（1）一般是根据正弦定理求边或列等式余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到（3）在解三角形的问题中，三角形内角
11、和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解17. 如图，在四棱锥 中，底面 的边长是 2 的正方形， , , 且.（1）求证: ;（2）求证:平面 平面 ;（3）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】试题分析：（1）由 .得可证得 ，即 证 。（2）由（1）中 和 ，可证 ，进一步 证明平面 平面 。 （3）取 的中点,可证 ，线面角为 。试题解析：（1） (2) (3)取 的中点 ,连接 , , ,， ， ，在等腰 ， 是 中点 在 【点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直
12、证明面面垂直；要证明线线垂直，先要证明线面垂直，再由线面垂直证明线线垂直。用几何法求线面角，关键是找到射影，斜线与其射影所成的角，就是线面角.求线面角要求一作、二证、三求。18. 已知 ,椭圆 的离心率 , 是椭圆 的右焦点,直线 的斜率为 , 为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）设过点 的动直线与椭圆 相交于 , 两点,当 的面积最大时,求直线的方程.【答案】 （1） ；（2） 或【解析】试题分析：（1）由离心率与斜率可求得 a,b,c.(2) 设 ，与椭圆组方程组，由弦长公式，点到距离公式，求得三角形面积。试题解析：(1)设 ，由条件知， ，又 ， 故椭圆 的方程为 ； (2)当 轴时，
13、不合题意，故可设 ， ， 设 ， ， 又点 到直线的距离 ， OPQ 的面积 ， 设 ，则 ， ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 满足 ，当 时，OPQ 的面积取得最大值 2，此时直线的方程为 或 .【点睛】弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线 ，上两点 ，所以或19. 已知数列 的前 项和为 ,满足 ( ),数列 满足 ( ),且（1）证明数列 为等差数列,并求数列 和 的通项公式;（2）若 ,求数列 的前 项和 ;（3）若 ,数列 的前 项和为 ,对任意的 ,都有 ,求实数的取值范围.【答案】 （1） ， ；（2） ；（3）试题解析：（1）由 两边同除以 ，得 ， 从而数列 为首项 ，
14、公差 的等差数列，所以 ， 数列 的通项公式为 当 时， ，所以 当 时， ， ，两式相减得 ，又 ，所以 ，从而数列 为首项 ，公比 的等比数列，从而数列 的通项公式为 (2) =（3）由（1）得 ， ，所以，两式相减得所以 ， 由（1）得 ， 因为对 ，都有 ，即 恒成立，所以 恒成立， 记 ，所以 ， 因为 ，从而数列 为递增数列所以当 时， 取最小值 ，于是 【点睛】本题考查知识较多，有递推公式求通 项公式，及通 项公式与前 n 项和关系，裂项求和，并项求和，等差数列求和，错位相减法，数列与不等式交汇等，需要对数列基本知识，基本方法掌握非常好。20. 已知函数 （其中 , ）.（1）当
15、 时,求函数 在 点处的切线方程;（2）若函数 在区间 上为增函数,求实数的取值范围;（3）求证:对于任意大于 1 的正整数 ,都有 .【答案】 （1） ；（2） ；（3）见解析【解析】试题分析：（1） ， ， ，可求得切线方程。 （2）即 在区间 上恒成立。 （3）由（1）得 在 上恒成立,即 。令 ，得， ，不等式同向相加可得。试题解析：（1） ， （2） ， 函数 在 上为增函数， 对任意 恒成立. 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立. 时， ， ，即所求正实数的取值范围是 . （3）当 时， ， ，当 时， ，故 在 上是增函数. 当 时，令 ，则当 时， . 所以 ，所以 ， ，所以 ， 即 ，所以 ，即对于任意大于 1 的正整数 ，都有 .【点睛】(1)若可导函数 f(x)在(a，b)上单调递增，则 0 在区间(a，b)上恒成立；要检验 =0。(2)若可导函数f(x)在( a，b)上单调递减，则 0 在区间(a， b)上恒成立；要检验 =0。离散型不等式证明关键要找到恒成立不等函数，再 x 用离散点列代换，利用不等式同向相加可证，恒成立不等函数一般需要在题中寻找。
