1、2018 届云南省保山市普通高中毕业生第二次市级统测试卷文科数学试题（解析版）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 复数 的虚部为（ ）A. -2 B. C. D. 0【答案】A【解析】由 ，则的虚部为 ，故选 A2. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（ ）A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】B【解析】集合 的元素表示的是椭圆上的点，集合 的元素表示的是抛物线上的点，由数形结合可知，两图象有两个交点，则 中的元素个数为 2，故选 B3. 我国古代数学名著增删算法统宗中有如下问题：“有个金球里面空，
2、球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径 12 寸，球壁厚 0.3 寸，1 立方寸金重 1 斤，试问金球重是多少斤？（注 ） （ ）A. 125.77 B. 864 C. 123.23 D. 369.69【答案】C【解析】由题意知，大球半径 ，空心金球的半径 ，则其体积 （立方寸） 因 1 立方寸金重 1 斤，则金球重 斤，故选 C4. 为双曲线 ： 上一点， ， 分别为双曲线的左、右焦点， ，则 的值为（ ）A. 6 B. 9 C. 18 D. 36【答案】D【解析】在 中，设 与 的夹角为，由余弦定理得 ，故选 D5. 若 ， 满足约束条件 ，则
3、的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 表示的是以 为圆心，以 1 为半径圆上及其圆的内部的点，而 的几何意义是点 到原点的距离，则 的最小值为 ，故选 A6. 已知函数 ， ，若有 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 ， ，则 ，所以 ，故选 C7. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 取最大值时的 为（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 4 或 5【答案】B【解析】由 为等差数列，所以 ，即 ，由 ，所以 ，令 ，即 ，所以 取最大值时的 为 ，故选 B8. 某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图为全等的直角边为 1 的等腰
4、直角三角形，则该四棱锥的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，由三视图可知，四棱锥即为边长为 1 的正方体上的四棱锥 ，则四棱锥 的表面积为 ，故选 B点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和9. 如图所示，其功能是判断常数 是否为完全数的程序框图，若输出的结果是 是完全数，则输入的 可以是
5、（ ）A. 5 B. 12 C. 16 D. 28【答案】D【解析】由程序框图可知，完全数等于其所有真因子的和，而 ，即 是一个完全数，故选 D10. 四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 2 的正方形， ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示，延长 AD 到 H，使 ，过 P 作 ，F 为 PG 的中点，连接 BF，FH， BH，则 为异面直线 与 所成的角或者补角，在 中，由余弦定理得 ，故选 C点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异
6、面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角11. 已知函数 在 时有极值 0，则椭圆 的离心率为（ ）A. B. C. 或 D. 【答案】B【解析】对函数 求导得 ，由题意得 即 解得 或当 时 ，故所以椭圆 的离心率为 ，故选 B12. 在 中，若 ，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 的内角 A，B，C 所对应的三条边分别为 ，则有 ，.由正弦定理得：展开可得 ，所以 ，则 = ，当且仅
7、当 时，等号成立，故选 B点睛：当方程左右两边关于边或角为齐次式时，可以利用正弦定理统一化为边或化为角来处理；在三角形中要注重利用条件 进行化简运算；用均值不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 甲同学在“附中好声音”歌唱选拔赛中，5 位评委评分情况分别为 76，77，88，90，94，则甲同学得分的方差为_【答案】52【解析】故答案为：52.14. 函数 的最大值是_【答案】【解析】 = ，所以当 时，有最大值 故答案为： .15. 数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 _【答案】【解析】所以， 故答案为： .点睛：数列
8、求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和16. 已知 是抛物线 ： 的焦点，点 的坐标为 ，点 是 上的任意一点，当 在点 时， 取得最大值，当 在点 时， 取得最小值，则 ， 两点间的距离为_【答案】【解析】由抛物线的方程为 ，则点 的坐标为 ，当 平行 轴时， 取得最大值，则 的坐标为 ；当 三点共线，且点 在 之间时， 取得最小值，由点 的坐标为 ，则 的坐标为，所以 故答案为： .三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
9、） 17. 已知函数 .（）求函数 的最小正周期及对称中心；（）设 的内角 ， ， 的对边分别为， ， ，若 ， ，且 ，求， 的值.【答案】(1) 对称中心 (2)【解析】试题分析：（）化简函数得 ，最小正周期 ，由 可得对称中心；（）由 ，得 ， ，由正弦定理得 ，进而由余弦定理求解即可.试题解析：（），所以最小正周期 ；由 ，得对称轴中心为（）由 得，由正弦定理得 ，由余弦定理 ，由解得18. 某校进行文科、理科数学成绩对比，某次考试后，各随机抽取 100 名同学的数学考试成绩进行统计，其频率分布表如下.（）根据数学成绩的频率分布表，求理科数学成绩的中位数的估计值；（精确到 0.01）（
10、）请填写下面的列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为数学成绩与文理科有关：参考公式与临界值表：0.100 0.050 0.025 0.010 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 10.828【答案】(1)108.65 分(2) 没有 90%的把握认为数学成绩与文理科有关【解析】 试题分析：（）中位数两边的概率值相等均为 0.5，由此可得解；（）根据数学成绩的频率分布表可完成列联表，根据题中公式计算 ，查表下结论即可.试题解析：（）文科数学成绩的频率分布表中，成绩小于 105 分的频率为 0.410.5，故文科数学成绩的中位数的估计值为 分 （）根据数学成绩的频率
11、分布表得如下列联表：数学成绩 分 数学成绩 分 合计理科 25 75 100文科 22 78 100合计 47 153 200，故没有 90%的把握认为数学成绩与文理科有关 19. 如图，已知四棱锥 的底面为菱形，且 ， 是 中点.（）证明： 平面 ；（）若 ， ，求三棱锥 的体积.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（）连接 ， ，连接 ，可证得 是中位线，从而得 ，进而得证；（）先证得 ， ，得 平面 ，由 即可得解.试题解析：（）证明：如图，连接 ， ，连接 ，四棱锥 的底面为菱形，为 中点，又 是 中点，在 中， 是中位线， ，又 平面 ，而 平面 ， 平面 （）解：如图，取
12、的中点 ，连接 ， ， 为菱形，且 ， 为正三角形， ， ， ，且 为等腰直角三角形，即 ，且 ， ， ，又 ， 平面 ， 20. 已知平面内动点 到两定点 和 的距离之和为 4.（）求动点 的轨迹 的方程；（）已知直线 和 的倾斜角均为 ，直线 过坐标原点 且与曲线 相交于 ， 两点，直线 过点且与曲线 是交于 ， 两点，求证：对任意 ， .【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（）由椭圆定义可得动点 的轨迹 E 是以定点 和 为焦点的椭圆，且 ，从而得方程；（）由题设可设直线 的参数方程分别为 ； ，将直线 的参数方程分别和椭圆 联立后整理得： ；，由 和 ，从而由韦达定理求解即可
13、.试题解析：（）解： 则根据椭圆的定义得：动点 的轨迹 E 是以定点 和 为焦点的椭圆，且 ，可得动点 M 的轨迹 的方程为 （）证明：由题设可设直线 的参数方程分别为； 将直线 的参数方程分别和椭圆 联立后整理得：； 则由参数 t 的几何意义、根与系数的关系及椭圆的对称性有：；，故 21. 已知函数 .（）设函数 ，试讨论函数 的单调性；（）设函数 ，求函数 的最小值.【答案】(1) 函数 在 上单增，在 上单减，在 上单增(2)【解析】试题分析：（） ， ，讨论导函数的正负从而得函数单调性；（）函数 ，令 ，则 ，从而通过求 和 的最小值进而可得 的最小值.试题解析：（）函数 的定义域为
14、， ， 故 令 ，得 或 ， 当 时， ， 在 上为单调增函数，当 时， ， 在 上为单调减函数， 当 时， ， 在 上为单调增函数， 故函数 在 上单增，在 上单减，在 上单增 （）函数 ， 由（）得函数 在 上单增，在 上单减，在 上单增， 时， ，而 ， 故函数 的最小值为 ， 令 ，得 ，当 时， ， 在 上为单调减函数，当 时， ， 在 上为单调增函数， 函数 的最小值为 ， 故当 时，函数 的最小值为 .点睛：利用导数求函数在闭区间上的最值问题，先对函数求导，再求导函数的零点，一般先看能不能因式分解，如果不能就要分三个方面考虑，一是导函数恒正或恒负，二是可观察出函数的零点，再通过二
15、阶导证明导函数单调，导函数只有唯一零点，三是导函数的零点不可求，我们一般称为隐零点，通过图像和根的存在性定理，先判定和设零点，后面一般需要回代消去隐零点或参数，本题中是将一个函数拆为两个函数分别求得最值，又恰好在同一处取到.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数） ，在以直角坐标系的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 .（
16、）求曲线 的直角坐标方程和直线的普通方程；（）若直线与曲线 相交于 ， 两点，求 的面积.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（）由 , 可得曲线 的直角坐标方程，直线消去参数即可；（）将直线的参数方程化为 （t 为参数） ，与抛物线联立得 ，设 两点对应的参数分别为 ， ，原点到直线 的距离 即可得解.试题解析：（）由曲线 的极坐标方程为 ，得 ，所以曲线 的直角坐标方程是 由直线的参数方程为 （t 为参数） ，得直线的普通方程 （）由直线的参数方程为 （t 为参数） ，得 （t 为参数） ，代入 ，得 ，设 两点对应的参数分别为 ，则 ，所以 ，因为原点到直线 的距离 ，所以 23.
17、选修 4-5：不等式选讲已知函数 .（）当 时，求 的解集；（）当 时， 恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（）利用零点分段去绝对值求解即可；（）当 时， 恒成立，即 ，显然当 时，不等式恒成立，当时，讨论 和定义域的关系即可.试题解析：（）当 时，由 ，可得 ，或 或 解求得 ，解求得 ，解求得 ，综上可得不等式的解集为 （）当 时， 恒成立，即 ，当 时， ；当 时，若 ，即 时， ， ，所以 ;若 ，即 时， ， ，所以 ;若 ，即 时， 时，不等式不成立综上， 点晴：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.第二问将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.
