1、2018 届上海市金山区高三上学期期末质量监控数学试卷(满分：150 分，完卷时间：120 分钟) （答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1若全集 U=R，集合 A=x|x0 或 x2 ，则 UA= 2不等式 1x的解为 3方程组 532y的增广矩阵是 4若复数 z=2i（i 为虚数单位） ，则 z= 5已知 F1、F 2 是椭圆 1952yx的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，则| PF1|PF2|的最大值是_ 6已知 x，y 满足 203y，则目标函数 k=2
2、x+y 的最大值为 7从一副混合后的扑克牌（52 张）中随机抽取 1 张，事件 A 为“抽得红桃 K”，事件 B 为“抽得为黑桃” ，则概率 P(AB)= （结果用最简分数表示） 8已知点 A(2，3)、点 B(2， 3)，直线 l 过点 P(1，0)，若直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 9. 数列a n的通项公式是 an=2n1(nN*)，数列b n的通项公式是 bn=3n(nN*)，令集合A=a1， a2，a n，B=b 1，b 2，b n， ，n N*将集合 AB 中的所有元素按从小到大的顺序排列，构成的数列记为c n则数列c n的前 28 项的和 S28=
3、 10向量 i、 j是平面直角坐标系 x 轴、y 轴的基本单位向量，且| a i|+| 2 j|= 5，则 |2|ia的取值范围为 11某地区原有森林木材存有量为 a，且每年增长率为 25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为 10a，设 an 为第 n 年末后该地区森林木材存量，则 an= 12关于函数 ()1xf，给出以下四个命题：(1) 当 x0 时，y=f( x)单调递减且没有最值；(2)方程 f(x)=kx+b(k0) 一定有实数解；(3) 如果方程 f(x)=m(m 为常数)有解，则解的个数一定是偶数；(4) y=f(x)是偶函数且有最小值其中假命题的序号是 二、选择题（本
4、大题共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13若非空集合 A、B、C 满足 AB=C ，且 B 不是 A 的子集，则( )(A) “xC”是“x A”的充分条件但不是必要条件(B) “xC”是“xA ”的必要条件但不是充分条件 (C) “xC”是“xA ”的充要条件 (D) “xC”既不是“xA ”的充分条件也不是 “xA”的必要条件14将如图所示的一个 RtABC（C=90）绕斜边 AB 旋转一周，所得到的几何体的主视图是下面四个图形中的( )15二项式( 3ix)10(i 为虚数单位) 的展开式中第 8 项
5、是( )(A) 135x7 (B)135x7 (C)360 3i x7 (D)360 3i x7 16给出下列四个命题：(1)函数 y=arccosx (1x1)的反函数为 y=cosx(xR)；(2)函数 12mxy(mN)为奇函数；(3)参数方程 221tyt(tR)所表示的曲线是圆；(4)函数 f(x)=sin2x )3(，当 x2017时，f (x) 21恒成立其中真命题的个数为( )(A) 4 个 (B) 3 个 (C) 2 个 (D) 1 个三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17 (本题满分 14 分，第 1
6、小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分)如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2，E ，F 分别是 BB1、CD 的中点(1) 求三棱锥 FAA1E 的体积；(2) 求异面直线 EF 与 AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 18 (本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)已知函数 f(x)= 3sin2x+cos2x1 (xR)(1) 写出函数 f(x)的最小正周期以及单调递增区间；(2) 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b， c，若 f(B)=0，23BCA，且 a+c=4，求 b 的值19 (本题满分 14 分
7、，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)设 P(x, y)为函数 f(x)= a2(xD，D 为定义域)图像上的一个动点，O 为坐标原点， |OP|为点 O 与点 P 两点间的距离(1) 若 a=3，D=3 ，4，求|OP|的最大值与最小值；(2) 若 D=1，2，是否存在实数 a，使得|OP| 的最小值不小于 2？若存在，请求出 a 的取值范围；若不存在，则说明理由20 (本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 7 分)给出定理：在圆锥曲线中， AB 是抛物线：y 2=2px (p0)的一条弦，C 是 AB 的中点，过点 C 且
8、平行于x 轴的直线与抛物线的交点为 D，若 A、B 两点纵坐标之差的绝对值 |BAy=a (a0)，则ADB 的面积 S ADB= pa163试运用上述定理求解以下各题：(1) 若 p=2，AB 所在直线的方程为 y=2x4，C 是 AB 的中点，过 C 且平行于 x 轴的直线与抛物线的交点为 D，求 SADB ；(2) 已知 AB 是抛物线 ：y 2=2px (p0)的一条弦，C 是 AB 的中点，过点 C 且平行于 x 轴的直线与抛物线的交点为 D，E、F 分别为 AD 和 BD 的中点，过 E、F 且平行于 x 轴的直线与抛物线：y 2=2px (p0)分别交于点 M、N ，若 A、B
9、两点纵坐标之差的绝对值 |BAy=a (a0)，求 SAMD 和 SBND ； (3) 请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：y 2=2px (p0)与弦 AB 围成的“弓形”的面积，并求出相应面积 21 (本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分)若 数 列 an中 存 在 三 项 ， 按 一 定 次 序 排 列 构 成 等 比 数 列 ， 则 称 an为 “等 比 源 数 列 ”(1) 已知数列 an中，a 1=2，a n+1=2an1求数列a n的通项公式；(2) 在(1)的结论下，试判断数列 an是否为“等比源数列” ，并
10、证明你的结论；(3) 已知数列 an为等差数列，且 a10 ，a nZ(nN*)，求证：a n为“等比源数列”金山区 2017 学年第一学期期末考试高三数学试卷评分参考答案(满分：150 分，完卷时间：120 分钟) 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分） 1 A=x|00)的一条弦，M 是 AD 的中点，且 A、D 两点纵坐标之差为定值，| yAyD|= 2a(a0)， 6 分由已知的结论，得 SAMD = pa168)2(33，8 分同理可得 SBND = pa16)(33；9 分(3) 将(2)的结果看作是一次操作，操作继
11、续下去，取每段新弦的中点作平行于 x轴的直线与抛物线得到交点，并与弦端点连接，计算得到新三角形面积。操作无限重复下去第一次操作，增加的面积为 SAMD 和 SBND = pa164)2(33，10 分第二次操作，增加了 4 个三角形，面积共增加了)(233，12 分第三次操作，增加了 8 个三角形，面积共增加了 pa164)8(33，14 分可得到一个公比为 14的无穷等比数列，随着操作继续充分下去，这些三角形逐渐填满抛物线与弦 AB围成的“弓形” ，15 分因此“弓形面积” )41(641lim3nnpaS pa2316 分 21解(1) 由 an+1=2an1，得 an+11=2(an1)
12、，且 a11=1，所以数列 an1是首项为1，公比为2 的等比数列，2分所以a n1=2n1，所以，数列 an的通项公式为 a n=2n1+14分(2)数列 an不是“等比源数列” ，用反证法证明如下：假设数列 an是 “等比源数列 ”，则存在三项a m，a n，a k (mn k)按一定次序排列构成等比数列，因为a n=2n1+1，所以a ma n ak， 7分所以a n2=amak，得 (2n1+1)2=(2m1+1)(2k1+1)，即2 2nm1+2nm+12k12km=1，又mnk，m，n，kN*，所以2nm11，nm+1 1，k1 1，km1，所以2 2nm1+2nm+12k12km
13、为偶数，与2 2nm1+2nm+12k12km=1矛盾，所以，数列 an中不存在任何三项， 按一定次序排列构成等比数列，综上可得，数列a n不是“等比源数列 ”； 10分(3)不妨设等差数列 an的公差d0 ，当d=0时，等差数列a n为非零常数数列，数列a n为“等比源数列” ；当d0时，因为a nZ，则d 1，且dZ，所以数列a n中必有一项a m0，12分 为了使得 an为 “等比源数列 ”，只需要 an中存在第 n项，第k项( mn k )，使得a n2=amak成立，即a m+(nm)d2=amam+(km)d，即( nm)2 am+(nm)d=a m(km)成立，15分当n=a m+m，k =2am+amd+m时，上式成立， 所以a n中存在a m，a n，a k成等比数列，所以，数列 an为“等比源数列 ”18分注意：第(3)题批改时注意答案的验证
