1、2018 年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足 ，则在平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】分析：根据复数的运算法则，求得复数，从而确定出实部和虚部的符号，最后求得结果 .详解：根据题意 ，所以 在平面内对应的点的坐标是 ，所以在第三象限，故选 C.点睛：该题考查了复数的除法运算以及在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.2. 若实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）A. B.
2、C. D. 【答案】C【解析】分析：该题属于线性规划的问题，首先根据题中所给的约束条件，画出可行域，再判断目标函数在哪个点处取得最小值，代入求得结果.详解：根据题意，能够判断出约束条件所对应的可行域就是三条直线所围成的三角形区域，能够判断出目标函数在 点处取得最小值，代入求得最小值为 ，故选 C.点睛：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可得结果.3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析： ,考点：程序框图4. 已知集合 ，集合 ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C
3、. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：该题属于不等式、函数的定义域、集合间关系以及充要条件判断的综合题，根据题意求出集合，之后应用集合的关系判断充分必要性即可.详解：利用绝对值不等式的求法求得 ，利用对数式有意义，真数大于零求得 ，因为 是 的真子集，故“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选 B.点睛：分别求出题中所给的集合 A,B，结合集合的包含关系判断即可 .5. 若 ， ， ，则， ，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析： ， ， ，所以 ，故选 D考点：比较大小，定积分6. 在 中， ， ，则角 （ ）A. B. C. 或 D.
4、【答案】D【解析】分析：在 中，利用 ，结合题中条件，利用和差角公式可求得 ，利用正弦定理与二倍角的正弦即可求得结果.详解：在 中，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，所以由正弦定理得 ，联立两式可得 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选 D.点睛：本题主要考查三角函数的计算以及正余弦定理的应用，最后求得 之后，一定要抓住题中条件，最后确定出角的大小.7. 已知双曲线 的右焦点恰好是抛物线 （ ）的焦点 ，且 为抛物线的准线与 轴的交点，为抛物线上的一点，且满足 ，则点 到直线 的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：求出双曲线的右焦点，即为抛物线的焦点，可得
5、，求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义，结合三角形的有关知识求得结果.详解：双曲线 的右焦点为 ，抛物线 的焦点为 ，则 ，解得 ，则抛物线方程为 ，准线方程为 ，由点 N 向抛物线的准线作垂线，垂足为 R，则由抛物线的定义，可得，从而可以得到 ，从而得到 ，所以有点 到直线 的距离为，故选 D.点睛：解决该题的关键是要把握抛物线的定义，将相关量放到一个三角形中去解决即可.8. 已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图像的走向，找出函
6、数的极值，从而结合图像完成任务.详解： ，即 ，结合函数解析式，可以求得方程 的根为 或，从而得到 和 一共有三个根，即 共有三个根，当时， ， ，从而可以确定函数 在 上是减函数，在上是增函数，在 上是减函数，且 ，此时两个值的差距小于 2，所以该题等价于 或 或 或 或 ，解得或 或 ，所以所求 a 的范围是 ，故选B.点睛：解决该题的关键是明确函数图像的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9. 在二项式 的展开式中，含 的项的系数是_【答案】【解析】分析：先求得二项展开式
7、的通项公式，再令 的幂指数等于 7，求得 r 的值，即可求得含 项的系数值.详解：二项式 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ，可得展开式中含 项的系数是 ，故答案是-5.点睛：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第 r+1 项，整理成最简形式，令 x 的指数为 7 求得 r，再代入系数求出结果，所以解决该题的关键就是通项公式.10. 已知曲线 的极坐标方程是 .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是 （为参数） ，若直线与曲线 相交于 ， 两点，则_【答案】【解析】分析：该题属于直线被圆截得的弦长问题，先将极坐标方程化为直角坐标方程
8、，将参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，之后应用圆中的特殊三角形勾股定理求得结果.详解：由题意可知曲线 的直角坐标方程是 ，曲线是以 为圆心，以 为半径的圆， 直线的普通方程是 ，所以圆心到直线的距离 ，所以 ，故答案是 .点睛：该题也可以将直线的参数方程代入曲线方程中，整理，求得两根，利用直线参数方程中参数的几何意义，求得两根差的绝对值，即为结果.11. 某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是_【答案】【解析】分析：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥，下面是半个圆柱，并求出底面圆的半径以及几何体的高，由椎体、柱体的体积公式求出此几
9、何体的体积.详解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，且圆锥的底面圆的半径 、高是 2，圆柱的底面圆的半径 、高是 1，所以此几何体的体积是 ，故答案是 .点睛：该题属于已知几何体的三视图，还原几何体，求其体积的问题，在解题的过程中，还原几何体以及找出对应的量是最关键的，之后应用体积公式求解即可.12. 在平行四边形 中， ， ， ， 为 的中点，若 是线段 上一动点，则的取值范围是_【答案】【解析】分析：设 ，用 表示出题中所涉及的向量，得出 关于的函数，根据的范围，结合二次函数的性质求得结果.详解：根据题意，设 ，则 ，结合二次函数的性质，可知当 时取得最小值 ，
10、当 时取得最大值 ，故答案是 .点睛：该题是有关向量的数量积的范围问题，在解题的过程中，需要提炼题的条件，将其转化为已知向量的数量积的问题，之后应用公式，求得关于的函数关系，之后转化为二次函数在某个闭区间上的值域问题来求解.13. 若正实数 ， ，满足 ，则 的最大值是_【答案】【解析】分析：将题中的式子进行整理，将 当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题的求解方法，即可求得结果.详解： ，故答案是 .点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后注意此类问题的求解方法-相乘，即可得结果.14. 个
11、男生和 个女生排成一列，若男生甲与另外两个男同学都不相邻，则不同的排法共有_种（用数字作答） 【答案】【解析】分析：根据题意，需要分清一共有多少种情况，对于男生甲可以和乙相邻，可以和丙相邻，这里边对于甲与乙和丙同时相邻的就算了两次，所以该题用间接法来求，在进行减法运算时，注意将多减的需要再加上即可.详解：将 6 名同学排成一列，不同的排法种数由有 种，不妨称另外两名男同学为乙和丙，若男同学甲与男同学乙相邻，不同的排法种数是 种，同理可知男同学甲与男同学丙相邻，不同的排法种数是 种，若男同学甲与乙和丙都相邻，不同的排法种数是 种，所以满足条件的不同的排法种数是 种，故答案是 288.点睛：该题属
12、于排列的综合问题，关于相邻问题捆绑法，不邻问题插空法，该题也可以从不相邻入手用加法运算做，即方法是不唯一的，但是都需要将情况讨论全.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 .（1）求 的单调递增区间；（2）若 ， ，求 的值.【答案】 （1） ， ；（2）【解析】分析：第一问需要应用诱导公式、倍角公式以及辅助角公式化简函数解析式，之后结合正弦函数的单调区间求解即可，第二问利用题中的条件，求得 ，根据题中所给的自变量的取值范围，求得整体角 的范围，利用平方关系，结合角的范围，求得 ，之后将角进行配凑，利用和角公式求得结果.详解
13、：（1） 令 ， ，所以， 的单调递增区间为 ， .（2） ， .点睛：该题属于三角函数的问题，在解题的过程中，需要利用诱导公式、倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用正弦型函数的解决思路解题，在第二问求 值的时候需要结合题中的条件，对角进行配凑，利用和角公式求解.16. 某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有 张印有“一等奖”的卡片， 张印有“二等奖”的卡片， 3 张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖 元， 抽中“二等奖”获奖元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记 表示“小
14、张恰好抽奖 次停止活动” ，求 的值；（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取 张卡片. 记 表示“小王参加抽奖活动中奖” ，求 的值；设 表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元） ”，求 的分布列和数学期望.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】分析：第一问可以看做是前三次中有一次是无奖金的，第四次肯定是有奖金的排序问题，而总体结果是随意排的，从而应用排列数求得对应的概率，第二问将问题用反面思维，求出不中奖的概率，用减法运算求得结果，后边问题分析出 X 的所有可能的取值，并求得相应的概率值，列出分布列，利用公式求得期望.详解：（1）（2）由题意可知 可取的值为 ， ， ， ，则；
15、因此 的分布列为的数学期望是点睛：解决该题的关键是 第一问可以应用排列数来解决，分析出对应的满足条件的排列，从而求得结果，第二问注意反面思维的运用，以及分布列的求法，最后应用离散型随机变量的期望公式求得结果.17. 在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 是的中点， 在线段 上，且满足 .（1）求证： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值；（3）在线段 上是否存在点 ，使得 与平面 所成角的余弦值是 ，若存在，求出 的长；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）见解析；（2） ；（3）【解析】分析：该题是立体几何的有关问题，第一问在证明线面平行时，可以利用常规方法，用线面平行的判定定理来证明，
16、也可以应用空间向量来证明，用直线的方向向量与平面的法向量是垂直的即可，第二问求二面角的余弦值，用两个平面的法向量所成角的余弦值来求得，第三问假设其存在，设出点的坐标，建立等量关系式从而求得结果，做好取舍即可.详解：（1）证明：取 的中点 ， 的中点 ，连接 和 ， 且 ， ， 分别为 ， 的中点.且 且 ，四边形 为平行四边形， ， 平面 ， 平面 ， 平面 .（1）由题意可得 ， ， 两两互相垂直，如果，以 为原点， ， ， 分别是 ， ，轴建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ，设平面 的法向量为， ，令 又 ， ，平面 平面（2）设点 坐标为则 ， ，由 得 ，设平面 的法向量为 ，由
17、得 即 令 则又由图可知，该二面角为锐角故二面角 的余弦值为（3）设 ， ， 与平面 所成角的余弦值是 其正弦值为 ，整理得：，解得： ， （舍）存在满足条件的点 ， ，且点睛：在解决立体几何问题时，尤其空间关系的时候，可以有两种方法，一是常规法，二是空间向量法，在应用面的法向量所成角来求二面角的时候，一定需要分清楚是其补角还是其本身，在涉及到是否存在类问题时，都是先假设存在，最后求出来就是有，推出矛盾就是没有.18. 已知数列 的前 项和是 ，且 .数列 是公差 不等于 的等差数列，且满足：， ， ， 成等比数列.（1）求数列 、 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1
18、） ；（2）【解析】分析：第一问利用题中的条件，类比着写出 ，两式相减求得相邻两项的关系，从而确定出数列 是等比数列，再令 求得首项，利用等比数列的通项公式求得结果，对于 ，利用题中条件求得首项，建立关于公差的等量关系式，从而求得结果，第二问涉及到等差数列和等比数列对应项积构成新数列的求和方法- 错位相减法.详解：（1） 时， ，时， ， ， （ ）是以 为首项， 为公比的等比数列，又 得： ，因为 解得 ，（2）点睛：该题考查的是有关数列的通项公式以及求和问题，在求解的过程中，要明确递推公式的利用，要铭记等差数列和等比数列的通项公式的求法，第二问应用错位相减法求和，在求和的过程中，一定要明确
19、整理之后的括号里的只有 项.19. 已知椭圆 （ ）的左右焦点分别为 ， ，椭圆的焦距为 ，离心率为.（1）若 ，求椭圆的方程；（2）设直线 与椭圆相交于 ， 两点， ， 分别为线段 ， 的中点，若坐标原点 在以 为直径的圆上，且 ，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】 （1）由 ，右焦点为 ，求出， ，可得 ，即可求出椭圆的方程；（ 2）联立直线 与椭圆的方程，消去 ，得到关于 的一元二次方程，设 ，可得根与系数的关系，根据题意得，易知，四边形 为平行四边形，则 ，结合向量数量积公式及 ，即可求出 的取值范围.由题意得 ， . 又 ， . 椭圆的方程为 . （2）由 得 .
20、 设 .所以 ，依题意， ，易知，四边形 为平行四边形，所以 . ， ， .即 ，将其整理为 . ， . ，即 .点睛： 在圆锥曲线中研究最值或范围问题时，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.20. 已知函数 ， ，（1）若 ，且 在其定义域上存在单调递减区间，求实数 的取值范围；（2）设函数 ， ，若 恒成
21、立，求实数 的取值范围；（3）设函数 的图象 与函数 的图象 交于点 、 ，过线段 的中点作 轴的垂线分别交 ， 于点、 ，证明： 在点 处的切线与 在点 处的切线不平行.【答案】 （1） ；（2） ；（3）见解析【解析】分析：第一问将 代入，求得 的解析式，函数在定义域上存在单调递减区间，等价于导数有正解，结合二次函数图像求得结果，第二问恒成立转化为求函数最值来处理，第三问假设存在，最后推出矛盾，从而得结果.详解：（1） ，则因为函数 存在单调递减区间，所以 有正解.法 1：因 为开口向上的抛物线且过点 ， ，法 2： 有正解， ，（2） .令 ， ，于是当 时， ， 在区间 是减函数，当
22、时， ， 在区间 是增函数.所以 在 时取得最小值， ，因为 恒成立，所以 ，因 ， ， ，令 ，易知 关于 在 上单调递增，又 ， .（3）证法一.设点 、 的坐标分别是 ， ，不妨设 .则点 、 的横坐标为 ，在点 处的切线斜率为在点 处的切线斜率为 .假设 在点 处的切线与 在点 处的切线平行，则 .即 ，则所以 .设 ，则 ， .令 ， .则 .因为 时， ，所以 在 上单调递增，故 .则 .这与矛盾，假设不成立.故 在点 处的切线与 在点 处的切线不平行.证法二：同证法一得 .因为 ，所以 .令 ，得 ， .令 ， ，则 .因为 ，所以 时， .故 在 上单调递增，从而 ，即 .于是 在 上单调递增.故 ，即 .这与矛盾，假设不成立.故点 在点 处的切线与 在点 处的切线不平行.点睛：该题是导数的综合题，利用导数研究函数图像的走向，确定函数的单调性、函数的最值等等，有关恒成立问题注意向最值转化，还有解决问题的思路是不唯一的，所以要求学生对题的条件有效挖掘.
