1、1高三数学(文)易错题（三）五、坐标系与参数方程例 1 在平面直角坐标系下，直线 （ 为参数） ，以原点 为极点，以 轴21:xtlyOx为非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为C4cos0（1）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；l C（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值ABA解：（1）直线 的普通方程为 ， l 10xy由 ，2224cos04cos44xy即曲线 的直角坐标方程为 Cxy（2）法一：圆心 到直线 的距离 弦长20， l2d142AB法二：把直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程得：l C，即 ，2214tt230tt设方程 的
2、两根分别为 ，则230tt 12t， 212114ABttt变式 1：已知曲线 的极坐标方程是 以极点为平面直角坐标系的原点,极C4cos轴为 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 的参数方程是 （ 为参数）x l cosinxtyt（1）将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；C（2）若直线 与曲线 相交于 、 两点,且 ,求直线 的倾斜角 的值lAB14Al解：（1）由 ，得 .4cos2()4xy（2）法一：直线 的直角方程是l 0tant点 到直线 的距离0,Cl 1tan2d 431tant4t22 22 或drAB法二：将 代入圆的方程得 ，1cosinxty 22(cos1)(si
3、)tt化简得 ,设 两点对应的参数分别为 ，则 ，2s30tAB12,t12cos3t ，221211|()4cos4ABttt ， ， 或coscos3变式 2：已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 轴的非负半轴重合,若x曲线 的极坐标系方程为 ,直线 的参数方程为 为参C6cos2inl12(ty数).（1）求曲线 的直角坐标方程与直线 的普通方程;l（2）设点 直线 与曲线 交于 两点, 求 的值.1,2QlCABQAB解：（1）由 ,得 ,即曲线 的直6cosin2 26cosin,6xyC角坐标方程为 .由 ,消去参数 ,得直线 的普通方程20xy1xtytl.30xy2
4、（2）由（1）知直线 的参数方程为转化为 ,代入曲线 的直角坐标方程l21xtyC为 得 ,由韦达定理, 得 ,则260xy2350tt125t.125QABt例 2 在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标xOyOx系，曲线 的极坐标方程为 ， .C2sin0,2)（1）求曲线 的直角坐标方程；（2）在曲线 上求一点 ，使点 到直线 （ 为参数， ）的距离D3:xtlyttR最小,并求出此最小值.解：（1）由 ， . 得 ，即 ；2sin0,2)2sin20xy（2）法一:由直线 ，得 .3:xtly350xy由（1）知曲线 为圆： ，即 ，C2022(1)所以圆
5、心坐标为（0,1） ，圆心到直线 的距离为 .:350lxy|15|23d点 到直线 的最小距离为 1.Dl过圆心 且垂直于的方程为 的方程为 ,联立1,0Cl 3yx022yx得: 结合已知得点 的坐标为231yxyx或 D2,法二:曲线 的参数坐标方程为 ,设点 ,则:C)(sin1co为 参 数yxcos,1inD点 到直线 的距离Dl 23i253d有最小值 1,此时点 的坐标为,6,13sin时即当 ZkdD23,变式 1:在直角坐标系 中，已知曲线 （ 为参数） ，直线xOy3cos:inxaCy.:60lxy（1）在曲线 上求一点 ，使点 到直线 的距离最大，并求出此最大值；CP
6、l（2）若点 的极坐标为 ，过点 且与直线 平行的直线 交 于 ， 两点，M,1M1lCAB求点 到 ， 两点的距离之和 .AB解：（1）设点 ，则点 到直线 的距离为(3cos,in)al，|2i(6|3cosi62ad当 时， ，此时 . in()131(,)Pmax42d（2）曲线 化为普通方程为： ，即 ，点 的直角坐标为C2xy3yM0,1直线 的参数方程为 （ 为参数） ，代入 化简得：1l1,2.ty23xy，得 一正一负20t1212+,tt3 . 22121211 32|+|=441MABtttt变式 2:在直角坐标系 xOy中,曲线 1cos,:inxtCy （t 为参数,
7、且 0t ）,其中0,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:sin:2cos.C（1）求 2与 交点的直角坐标；（2）若 1与 相交于点 A, 1C与 3相交于点 B,求 A最大值.解：（1）曲线 的直角坐标方程为 20xy， 曲线 的直角坐标方程为2 3C230xyx，联立两方程解得 或y2所以 与 3C交点的直角坐标为2 3,0,（2）曲线 的极坐标方程为 ，其中 ，因此点 的极坐标1 ,R0A为 ，点 的极坐标为,sinB,cos32所以 ，当 时， 取得最大值 4in4cos32i A 65B例 3 已知直线 （ 为参数） ，圆 ，以坐标原点为极1:xtly221
8、:(3)()1Cxy点， 轴的正半轴为极轴建立直角坐标系.x（1）求圆 的极坐标方程，直线 的极坐标方程；1C1l（2）设 与 的交点为 ，求 的面积.l,MNC解：（1）因为 ，将其代入 展开整理得：cosinxy1C，23cs460圆 的极坐标方程为： .1C23cos4in60消参得 （ ）直线 的极坐标方程为： （ ）.ltanR1l 3R（2）法一：直线 的直角坐标方程为1l xy联立 得:22(3)()xyy 3(,),32MN、 M1),(11 dlC的 距 离到 直 线又 点 432112 dSNC法二：，23cos4in60212+=33606123 .1132CMNS变式
9、1：在直角坐标系 中，直线 ，曲线 （ ） ，xOy1:2Cy2cos:1inxCy02以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求 的极坐标方程；12,C（2）直线 的极坐标方程为 ，若 与 交于点 ， 与 的交点为 ，l ()6Rl1CPl2C,OQ求 的面积 .PQ解：（1）因为 , 的极坐标方程为 . cos,inxy1sin的直角坐标方程为 ，从而 的极坐标方程为2C22(1)24. 2sin02sin（2）法一：直线 的直角坐标方程为：l xy3联立 ，联立 2,3:3Pyx得 21,3:122Qyx得 5P又点 到直线 的距离 的面积为)1,0(2Cxyl:3dCP
10、324d法二：将 代入 ，得 ，即 ， 将 代入6sin2141|4O6，得 ，即 ，从而 ，因为 到直线2sin21|OQ2|5Q2C的距离为 ，则 的面积为l3CP352变式 2：已知曲线 在直角坐标系 下的参数方程为 （ 为参数） ，xysin3co1yx以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.Ox（1）求曲线 的极坐标方程；C（2）直线 的极坐标方程是 ，射线 ： 与曲线 交l 3)6cos(OT）（ 03C于 点，与直线 交于 点，求线段 的长.ABAB解：（1）曲线 的普通方程为 ,)1(2yx又 ， ，曲线 的极坐标方程为 .cosxsinyC02cos2（2）由 ，020
11、322 ）（故射线 与曲线 的交点 的极坐标为 ；OTCA)3,(由 ，故射线 与直线 的交点 的极坐标为6033)6cos(）（ OTlB)3,6( .4| AB例 4 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半xOyx圆 的极坐标方程为 .C2cos,02（1）求 的参数方程；（2）设点 在 上， 在 处的切线与直线 垂直，根据（1）中你得DC:32lyx到的参数方程，确定 的坐标.解：（1） 的普通方程为 012yx可得参数方程为 tty,sinco1为 参 数（2）设 ，由（1）知， 是以 为圆心，1 为半径的上半圆tD,C0,G因为 在点 处的切线与 垂直，
12、所以直线 与 斜率相同，lDl 3,tant故 的直角坐标为 ，即t 3sin,co123,变式: 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数，a0）.cos1inxay在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4cos .（1）说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；（2）直线 C3 的极坐标方程为 =0，其中 0 满足 tan 0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.解： （ 为参数） cos1inxtyt221xya 为以 为圆心， 为半径的圆方程为10， a2210xya 即为 的极坐标方程22sinxy， 2sin10a1C5 两边同乘 得24cosC： 2224coscosxyx，即 ：化为普通方程为xy2xy3C由题意： 和 的公共方程所在直线即为12得： ，即为 240xya3210a1a
