1、 第 1 页 复旦大学附属中学 2017 学年第一学期高二年级数学期末考试试卷一、填空（每题 4 分，共 48 分）1、准线方程为 的抛物线标准方程为 .10y2、已知圆 和点 ，则过点 圆的切线方程为 .25x,2AA3、若椭圆 的弦被点 平分，则此弦所在直线的斜率为 .2 169y4,4、参数方程 （ 为参数，且 ）化为普通方程是 .2cosinxyR5、已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则 的值为 .2104xa2193xya6、设 和 为双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且满足 ，则1F22yP1260FP的面积是 .PA7、已知抛物线 的焦点 和点 ，点 为抛物线上的动点，则 取得
2、最小值时24yxF1,AA点 的坐标为 .8、椭圆 上的点到直线 的距离最大值为 .216xy210xy9、双曲线 的左右焦点分别为 ， 为右支上一点，且 ，则双24xyb12,FP1126,0PF曲线渐近线的夹角为 .10、已知定点 和定圆 ，动圆 与圆 外切，且经过点 ，求圆心 的轨,0P2:8QxyMQM迹方程 .第 2 页 11、设直线 与抛物线 相交于 两点，与圆 相切于点 ，且l24yx,AB2250xyrM为线段 的中点，若这样的直线 恰有 4 条，则 的取值范围是 .MABlr12、已知直线 与 相交于点 ，线段 是圆1:310lmxy2:310xmyPAB的一条动弦，且 ，则
3、 的最小值是 .22:4CxABAB二、选择题：（每题 4 分，共 16 分）13.当 时，方程 所表示的曲线是（ ）0ab2axybA.焦点在 轴的椭圆 B. 焦点在 轴的双曲线 C. 焦点在 轴的椭圆 D. 焦点在 轴的双曲线x yy14、已知圆 的方程为 ，点 是圆 内一点，以 为中点的弦所O220xyr,0PabOP在的直线为 ，直线 的方程为 ，则（ ）mn2abA. ，且 与圆 相离 B. ，且 与圆 相交/n/mnC. 与 重合，且 与圆 相离 D. ，且 与圆 相离OO15、椭圆 上有 个不同的点 ，椭圆的右焦点 ，数列 是公差大于2165xyn123,.nPFnP的等差数列，
4、则 的最大值为（ ）108A.2017 B.2018 C.4036 D. 403716、如图，过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 两点，以 为直径的圆与准20ypxF,AB线 的公共点为 ，若 ，则 的大小为（ ）lM6AFMOA. B. C. D.不确定153045第 3 页 三、解答题（共 56 分）17.（满分 10 分，各小题 5 分）已知抛物线 与直线 交于 两点。2:4Cyxl,AB（1）若直线 的方程为 ，求弦 的长度；l（2） 为坐标原点，直线 过抛物线的焦点，且 面积为 ，求直线 的方程.Ol AOB2l18.（满分 10 分，各小题 5 分）已知双曲线 .2:143xyC（
5、1）求与双曲线 有共同的渐近线，且实轴长为 20 的双曲线的标准方程；第 4 页 （2） 为双曲线 右支上一动点，点 的坐标是 ，求 的最小值.PCA4,0PA19、 （满分 10 分，各小题 5 分）已知曲线 ，点 是曲线 上的动点， 是坐标原点.21:4CxyN1CO（1）已知定点 ，动点 满足 ，求动点 的轨迹方程；3,MPMNP（2）如图，设点 为曲线 与 轴的正半轴交点，将点 绕原点逆时针旋转 得到点，点 在A1xA23N曲线 上运动，若 ,求 的最大值.1CONmnB第 5 页 20、 （满分 13 分，4+4+5=13）已知椭圆 ，四点 中恰有三点在椭圆2:10xyCab1234
6、3,0,1,2PP上。（1）求 的方程；（2）椭圆 上是否存在不动的两点 关于直线 对称？若存在，请求出直线 的方程，C,MN1xyMN若不存在，请说明理由；（3）设直线 不经过点 且与 相交于 两点，若直线 与直线 的斜率的和为 1，求证：l2PC,AB2PA2B过定点.l第 6 页 21、 （满分 13 分，4+4+5=13）已知曲线 .2:240,axbyabR（1）若 ，求经过点 且与曲线 只有一个公共点的直线方程；41,（2）若 ，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论 如何变化，a b这两个点都不在曲线 上；（3）若曲线 与线段 有公共点，求 的最小值.01
7、yx2ab第 7 页 参考答案1、 2、 3、24xy50xy124、 ， 5、4 6、231,x7、 8、 9、1 2yx10、 11、 12、2241xyx2,44513-16、DACB17.略18.略19、 （1 ） ；（2）22341xy20、 （1 ） ；（2） ， （3 ）略2421、（1） 时，曲线为： ，设经过 的直线方程为4ab2yx1,01xmyI)若 不存在，则该方程为 ，当 时，代入抛物线方程有 ，此时有唯一交点 符m000,合题意；第 8 页 II)若 存在，联立方程得： ，消去 ，整理得 ；m21yxmx210ym若仅有唯一交点，则方程只有唯一解，求得 ，故方程为
8、；x综上所述，满足题意的直线方程为： 、 ， 210xy210y（2） 时，曲线为：4a444bxb若无论 如何变化，点都不在曲线 上，则这样的点 只要满足：b,mn即可，即 ；可取点 ， 满足题意；2401mn1mn0,1A3,B（3）方法一：若曲线 与线段 有公共点，将 代入曲线方程有：yxyx，即该方程在 上有解240bxaxb0,1记函数 ，即函数与 轴，在 上至少有一个交点；24faxbx,（i）恰有一个交点，则 ，即01f2840aba若将 对应到直角坐标系中，其所在区域如图 1 所示；该范围内，距离,ab原点最近点为 和 ，即4,0,2min16ab（ii）若有 2 个交点，则222 400 444010bafabbf b xy图1Oxy图2OM第 9 页 若将 对应到直角坐标系中，其所在区域如图 2 所示；,ab该范围内，距离原点的距离 ，即此时 ；OMr22min186ab综上所述， 2min16ab方法二：若曲线 与线段 有公共点，将 代入曲线方程有：01yxyx，即该方程在 上有解24bxaxb0,x将方程改写为： ，可看作是关于 所满足的一条直线，214,Pab因此原点到直线距离，不大于 ，即： 在 上恒成立；PO2 2241xab0,1x故 221142xabx ，则 ，故0,1x,31x144,2x故 22min46abab
