1、校 区：学生姓名：卓越教育广州分校一对一个性化辅导2013 年数学中考专题备考训练（二）数学 二第 1 页 共 13 页第二讲 方案设计一、方程（不等式） 、函数型设计题例 1、某饮料厂开发了 A、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示。现用甲原料和乙原料各 2800 克进行试生产，计划生产 A、B 两种饮料共 100 瓶。设生产 A 种饮料x 瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果 A 种饮料每瓶的成本为 2.60 元，B 种饮料每瓶的成本为 2.80 元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出 y 与 x 之间的关系式，并说明
2、 x 取何值会使成本总额最低？变式练习（1）为创建“国家卫生城市” ，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在 60 天内完成工程现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用 25 天，甲、乙两队合作完成工程需要 30 天，甲队每天的工程费用 2500 元，乙队每天的工程费用 2000 元。甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用原料名称饮料名称 甲 乙A 20 克 40 克B 30 克 20 克第 2 页 共
3、13 页北京 上海重庆（元/台） 800 500汉口（元/台） 400 300（2）我市某镇组织 20 辆汽车装运完 A、B、C 三种脐橙共 100 吨到外地销售。按计划，20 辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。根据下表提供的信息，解答以下问题：脐 橙 品 种 A B C每辆汽车运载量（吨） 6 5 4每吨脐橙获得（百元） 12 16 10设装运 A 种脐橙的车辆数为 ，装运 B 种脐橙的车辆数为 ，求 与 之间的函数关系式；xyx如果装运每种脐橙的车辆数都不少于 4 辆，那么车辆的安排方案有几种？写出每种安排方案；若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利
4、润的值。（3）某建筑公司从上海某厂购得挖机 4 台，从北京某厂购得挖机 10 台，现在决定运往重庆分公司 8台，其余都运往汉口分公司；运输费用如表所示：若总运费为 8400 元，上海运往汉口应多少台？若总运费少于 8400 元，有哪几种调运方案？求出总运费最低的调运方案，总运费是多少？（4）广州亚运“潮流”火炬 2010 年 11 月 5 日开始在羊城传递，圣火燃激情，广州市民万众喜迎亚运。某商店经销的一种进价为每件 40 元的亚运纪念运动休闲衫热销。据市场调查分析，若每件按 50元销售，一个月能售出 500 件；销售单价每涨价 1 元，月销售量就减少 10 件。针对这种的销售情况，请回答以下
5、问题：当销售单价定为每件 55 元时，计算月销售量和销售利润；商店想使月销售利润达到 8000 元以上，请问该休闲衫的销售方案有几种？哪种方案的销售利润最大？最大利润是多少？第 3 页 共 13 页3.2 7.0 7.8 8 8.4 9.8123分数人数二、概率、统计型设计题例题 2、某学校举行演讲比赛，选出了 10 名同学担任评委，并事先拟定从如下 4 个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分：方案 1：所有评委所给分的平均数。方案 2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数。方案 3：所有评委所给分的中位数。方案 4：所有评委所给分的众数。为了探
6、究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验。下面是这个同学的得分统计图：（1）分别按上述 4 个方案计算这个同学演讲的最后得分；（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分。变式练习、（1）某中学要召开运动会，决定从初三年级全部的 150 名的女生中选 30 人，组成一个彩旗方队（要求参加方队的同学的身高尽可能接近） 。现在抽测了 10 名女生的身高，结果如下（单位：厘米）：166 154 151 167 162 158 158 160 162 162依据样本数据估计，初三年级全体女生的平均身高约是多少厘米？这 10 名女生的身高的中位数、
7、众数各是多少？请你依据样本数据，设计一个挑选参加方队的女生的方案。 （请简要说明）第 4 页 共 13 页太平洋电脑城电脑单价（单位：元）A 型：6000B 型：4000C 型：2500D 型：5000E 型：2000（2）太平洋电脑公司现有 A，B，C 三种型号的甲品牌电脑和 D，E 两种型号的乙品牌电脑希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑。写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示） ；如果中各种选购方案被选中的可能性相同，那么 A 型号电脑被选中的概率是多少？现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共 36 台（价格如图所示） ，恰好用了 10 万元人民币，其中甲品牌电脑为 A
8、 型号电脑，求购买的 A 型号电脑有几台。三、测量设计题例题 3、一天，某校数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些深坑对河道的影响。如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：（1）先测量出沙坑坑沿圆周的周长约为 34.54 米；（2）甲同学直立于沙坑坑沿圆周所在平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点 B 时，恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上的一点 A 看到坑底 S（甲同学的视线起点 C 与点 A、点 S 三点共线） 。经测量：AB=1.2 米，BC=1.6 米。根据以上测量数据，求“圆锥形坑”的深度（圆锥的 高
9、） 。 （ 取 3.14，结果精确到 0.1 米）第 5 页 共 13 页AB变式练习、 如图，小山上有一棵树现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端 A 到水平地面的距离 AB。要求：（1）画出测量示意图；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示） ；（3）根据（2）中的数据计算 AB。四、图形设计题例题 4、如图 1 是以正方形两顶点为圆心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图 2 是以图 1 为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形。（1）请你仿照图 1，用两段相等圆弧（小于或等于半圆） ，在图 3 中重新设计一个不同的轴对称图形。（
10、2）以你在图 3 中所画的图形为基本图案，经过图形变换在图 4 中拼成一个中心对称图形。变式练习（1）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形。种植花草部分用阴影表示。请你在图、图、图中画出三种不同的的设计图案。第 6 页 共 13 页（2）某人定制了一批地砖，每块地砖（如图（1）所示）是边长为 0.4 米的正方形 ABCD，点 E、F 分别在边 BC 和 CD 上，CFE、ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成，制成 CFE、ABE和四边形 AEFD
11、的三种材料的每平方米价格依次为 30 元、20 元、10 元，若将此种地砖按图（2）所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形 EFGH。判断图（2）中四边形 EFGH 是何形状，并说明理由；E、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？（3）某外语学校在圣诞节要举行汇报演出，需要准备一些圣诞帽，为了培养学生的动手能力，学校决定自己制作这些圣诞帽。如果圣诞帽（圆锥形状）的规格是母线长 42 厘米，底面直径为 16 厘米。求圣诞帽的侧面展开图（扇形）的圆心角的度数（精确到度） ；已知 A 种规格的纸片能做 3 个圣诞帽，B 种规格的纸片能做 4 个圣诞帽，汇报演出需要 26 个圣诞帽
12、，写出 A 种规格的纸片 y 张与 B 种规格的纸片 x 张之间的函数关系式及其 x 的最大值与最小值；若自己制作时，A、 B 两种规格的纸片各买多少张时，才不会浪费纸张？现有一张边长为 79 厘米的正方形纸片，它最多能制作几个这种规格的圣诞帽（圣诞帽的粘接处忽略不计） 。请在比例尺为 115 的正方形纸片上画出圣诞帽的侧面展开图的裁剪草图，并利用所学的数学知识说明其可行性。 第 7 页 共 13 页五、课后练习1、一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为 60的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图形图案。某同学为此提供了如图所示的
13、五种设计方案其中可以满足园艺设计师要求的有（ ）A2 种 B3 种 C4 种 D5 种2、某中学的 6 名教师带领 8 名市三好学生到某景点参观，发现门票有这样几种优惠方案。（1）学生可凭学生证享受 6 折优惠。（2）20 人以上的团体队可享受 8 折优惠。（3）通过协商可以享受 9 折优惠。请同学们根据上述优惠途径，设计出五种不同的优惠方案，并说明最佳方法。3、班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共 22 支，送给结对的山区学校的同学，他们去了商场，看到圆珠笔每支 5 元，钢笔每支 6 元。（1）若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去 120 元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？（2）若购圆
14、珠笔可 9 折优惠，钢笔可 8 折优惠，在所需费用不超过 100 元的前提下，请你写出一种选购方案。第 8 页 共 13 页4、今年 6 月份，我市某果农收获荔枝 30 吨，香蕉 13 吨，现计划租用甲、乙两种货车共 10 辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝 4 吨和香蕉 1 吨，一种货车可装荔枝香蕉各 2 吨；（1）该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来（2）若甲种货车每辆要付运输费 2000 元，乙种货车每辆要付运输费 1300 元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？2013 年数学中考专题备考训练（二）一、方程（不等式） 、函数型设计题例题
15、 1、解：（1）设生产 A 种饮料 x 瓶，根据题意得：203(1)2804x解这个不等式组，得 20x40。因为其中正整数解共有 21 个，所以符合题意的生产方案有 21 种。（2）根据题意，得 y2.6x +2.8（100x ） 。整理，得：y 0.2x +280。对于一次函数 y0.2x +280， k0.20， y 随 x 的增大而减小。当 x40 时成本总额最低。巩固练习 1、（1）解：设甲工程队单独完成该工程需 x 天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天。 根据题意得： 。 解得 ，30125x15021x经检验， ， 都是原方程的解。但 不符合题意，应舍去。15当 x=50
16、 时，x+25=75。答：甲工程队单独完成该工程需 50 天，则乙工程队单独完成该工程需 75 天。此问题只要设计出符合条件的一种方案即可。方案一：由甲工程队单独完成，所需费用为：250050=125000 （元） 。方案二：由甲乙两队合作完成，所需费用为：（2500+2000）30=135000 （元） 。（2）解：根据题意，装运 A 种脐橙的车辆数为 ，装运 B 种脐橙的车辆数为 ，那么装运 Cxy种脐橙的车辆数为 ，则有： 20xy6542010yx整理得： y由知，装运 A、B、C 三种脐橙的车辆数分别为 、 、 ，由题意得，解得：4 8，因为 为整数，所以 的值为 4、5、6、7、8
17、，20x xxx所以安排方案共有 5 种。方案一：装运 A 种脐橙 4 车， B 种脐橙 12 车，C 种脐橙 4 车；方案二：装运 A 种脐橙 5 车， B 种脐橙 10 车，C 种脐橙 5 车；方案三：装运 A 种脐橙 6 车， B 种脐橙 8 车，C 种脐橙 6 车；方案四：装运 A 种脐橙 7 车， B 种脐橙 6 车，C 种脐橙 7 车；第 9 页 共 13 页方案五：装运 A 种脐橙 8 车， B 种脐橙 4 车，C 种脐橙 8 车；设利润为 W（百元）则： 61250160160xxxxW 的值随 的增大而减小48k要使利润 W 最大，则 ，故选方案一1408（百元）14.08（
18、万元）大答：当装运 A 种脐橙 4 车， B 种脐橙 12 车，C 种脐橙 4 车时，获利最大，最大利润为 14.08 万元。（3）解：4 台；4 种不同的方案；从上海运往汉口 0 台，总运费为 7600 元。（4）略；二、概率、统计型设计题例题 2、解：（1）方案 1 最后得分： ； 1(3.270.83.498)7.方案 2 最后得分： ；. .)8方案 3 最后得分：8； 方案 4 最后得分：8 或 8.4。（2）因为方案 1 中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平” ，所以方案 1 不适合作为最后得分的方案。因为方案 4 中的众数有两个，众数失去了实际意义，所以方案
19、4 不适合作为最后得分的方案。巩固练习 2、 （1）解： （166+154+151+167+162+158+158+160+162+162 ）10160（厘米） ，九年级全体女生的平均身高约是 160 厘米。这 10 名女生的身高的中位数是 161 厘米，众数是 162 厘米。先将九年级中身高为 162 厘米的所有女生挑选出来作为参加旗队的女生，如此进行下去，直至挑选到 30 人为止。（2）解：树状图如下：有 6 可能结果：（A，D） ， （A，E） ， （B，D） ， （B，E） ， （C ，D） ， （C，E） 。因为选中 A 型号电脑有 2 种方案，即（A ， D） （A，E） ，所以
20、A 型号电脑被选中的概率是 31由可知，当选用方案（A ，D ）时，设购买 A 型号、D 型号电脑分别为 x，y 台，根据题意，得 ，解得 ，经检验不符合题意，舍去；360510xy 8016xy当选用方案（A，）时，设购买 A 型号、型号电脑分别为 x，y 台，根据题意，得 ，解得 ，所以希望中学购买了 7 台 A 型号电脑。360210xy729xy三、测量设计题例题 3、解：取圆锥底面圆心 O，连接 OS、OA，则O= ABC=90 ，OSBC，第 10 页 共 13 页ACB=ASO，SOACBA， ， ，OA= ，BC=1.6，BA=1.2，OSABCOBCSA34.5.2OS= ，
21、“圆锥形坑”的深度约为 7.3 米。5.167.32故答案为：7.3 米。巩固练习 3、解：（1）测量图案（示意图）如图示（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点 C 安装测角仪，测得此时树尖 A 的仰角 ，第二步：沿 CB 前进到点 D，用皮尺量出 C，D 之间的距离AHE=CD=m，第三步：在点 D 安装测角仪，测得此时树尖 A 的仰角 ，FE第四步：用皮尺测出测角仪的高 h（3）计算：令 ，则 ，xtanHEx得 ，又 ，HEtanF得 ， ，FCDm，tantxm解得： ， 。tanb=-tanABhb=+-四、图形设计题例题 4、解：（1）在图 3 中设计出符合题目要求的图形。 （2）
22、在图 4 中画出符合题目要求的图形。答案不唯一，符合条件即可。巩固练习 4、 （1）以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一。（2） 四边形 EFGH 是正方形。图（2）可以看作是由四块图（1）所示地砖绕 C 点按顺（逆）时针方向旋转 90后得到的，故 CE=CF=CG。 CEF 是等腰直角三角形，因此四边形 EFGH 是正方形。AEFHC D B第 11 页 共 13 页设 CE=x，则 BE=0.4x，每块地砖的费用为 y，那么2 21 130.4()20.60.4()10y xx(213(.xx当 x=0.1 时，y 有最小值，即费用为最省，此时 CE=CF=0.1。答：当 CE=CF
23、=0.1 米时，总费用最省.（3）圣诞帽的侧面展开图是一个扇形，则扇形的弧长是 16 ，扇形的圆心角是 。69 ，由 y0，得 x 的最大值是 ，最小值是 0。4263yx132显然，x、y 必须取整数，才不会浪费纸张。由 x=1 时， ；x=2 时，y=6；x=3 时， ； 43yx=4 时， ；x =5 时，y =2；x=6 时，103y2故 A、B 两种规格的纸片各买 6 张、2 张或 2 张、5 张时，才不会浪费纸张。裁剪草图，如图。设相邻两个扇形的圆弧相交于点 P，则 PD=PC。过点 P 作 DC 的垂线 PM 交 DC 于 M，则 CM DC 7939.5 又 CP=42，12所
24、以 ，所以 ，又 42+4279 ，所以这样的裁C39.5cosM42C0(96)2剪草图是可行的。五、课后练习 1、C；2、解：最佳方法为：8 名学生使用方法（1） ，6 名老师使用方法（3） 。3、 （1）设买了 x 支圆珠笔，依题意，得：5x+6（22x ） 120，解得：x12，22x 10。答：圆珠笔、钢笔各买了 12、10 枝。（2）答案不惟一。如：圆珠笔、钢笔各买了 19、3 枝等等。4、解：（1）设安排甲种货车 x 辆，则安排乙种货车（10x）辆，依题意，得 ，解这个不等式组，得42(10)3x 57x5 7是整数， x 可取 5、6、7，x即安排甲、乙两种货车有三种方案：甲种货车 5 辆，乙种货车 5 辆；甲种货车 6 辆，乙种货车 4 辆；甲种货车 7 辆，乙种货车 3 辆；（2）方法一：由于甲种货车的运费高于乙种货车的运费，两种货车共 10 辆，所以当甲种货车的数量越少时，总运费就越少，故该果农应选择运费最少，最少运费是 16500 元；方法二：方案需要运费20005+1300516500（元）方案需要运费第 12 页 共 13 页20006+1300417200（元）方案需要运费20007+1300317900（元）该果农应选择 运费最少，最少运费是 16500 元；
