1、- 1 -高考复习专题之：概率与统计一、概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.随机事件 的概率 ，其中当 时称为必然事件；当 时称为不可能事件 P(A)0()1P()1PA()0PA=0； 注：求随机概率的三种方法：（一）枚举法例 1 如图 1 所示，有一电路 AB是由图示的开关控制，闭合a， b， c， d， e 五个开关中的任意两个开关，使电路形成通路则使电路形成通路的概率是 分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数，从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。解：闭合五个开关中的两个，可能出现的结果数有
2、 10 种，分别是ab、 ac、 ad、 ae、bc、bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有 6 种，所以 p(通路)= 106= 53评注:枚举法是求概率的一种重要方法,这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算.（二）树形图法例 2 小刚和小明两位同学玩一种游戏游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如， 两人同时出象牌，则两人平局如果用 A、B、C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用 A1、B 1、C 1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌
3、小刚胜小明的概率是多少？ 分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有 9 种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有 3 种所以 P（一次出牌小刚胜小明）= 31点评:当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率（三）列表法例 3 将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中- 2 -随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的两位数是偶数
4、的概率；（2）组成的两位数是 6 的倍数的概率分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数 是 6 的倍数的可能情况。解：列的表格如下：根据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43所以（1）两位数是偶数的概率为 23（2）两位数是 6 的倍数的概率为 13点评：当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)= 。nm3、互斥事件：（A、B 互斥，即事件 A、B 不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)P(A)+P(B)。
5、4、对立事件：（A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但 A、B 中必然有一个发生）。计算公式是：P（A）+ P(B)；P( )=1P(A)；5、独立事件：（事件 A、B 的发生相互独立，互不影响）P(AB)P(A) P(B) 。提醒：（1）如果事件 A、B 独立，那么事件 A 与 、 与 及事件 与也都是独立事件；（2）如果事件 A、B 相互独立，那么事件 A、B 至少有一B个不发生的概率是 1P（A B）1P(A)P(B)；（3）如果事件 A、B 相互独立，那么事件 A、B 至少有一个发生的概率是 1P（ ）1P( )P( )。6、独立事件重复试验：事件 A 在 n 次独立重复试验
6、中恰好发生了 次的概率 (是二项k(1)knknnPCp展开式 的第 k+1 项)，其中 为在一次独立重复试验中事件 A 发生的概率。(1)npp提醒：（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有 k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件。（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的
7、解题规范：先设事件 A=“”， B=“”；列式计算；作答。二、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验.- 3 -2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若 是一个随机变量，a，b 是常数.则 ba也是一个随机变量.一般地，若 是随机变量，)(xf是连续函数或单调函数，则 )(f也是随机变量.也就是说，随机变量的
8、某些函数也是随机变量.设离散型随机变量 可能取的值为： ,21ix 取每一个值 ),21(ix的概率 iipP)(，则表称为随机变量 的概率分布，简称 的分布列.x iP 1p2p i有性质： ,0i； 121 ip.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如： 5,0即 可以取05 之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是： knqpCk)P(其中 pqn1,0 于是得到随机变量 的概率分布如下：我们称这样的随机变量 服从二项分布，记作 B（np
9、），其中 n，p 为参数，并记 p)nb(k;qpCnk.二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“ k”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把 k 次试验时事件 A 发生记为kA，事 A 不发生记为 q)P(A,，那么 )AP(k)(k121 .根据相互独立事件的概率乘法分式：)(P
10、)(k121 ,321p于是得到随机变量 的概率分布列.1 2 3 k P q qp q2 pq1我们称 服从几何分布，并记 p)g(k,1，其中 3,2.15. 超几何分布：一批产品共有 N 件，其中有 M（MN）件次品，今抽取 )Nn(件，则其中的次品数 是一离散型随机变量，分布列为 )Mkn,0k(Ck)P(n .分子是从 M 件次品中取 k 件，从 N-M 件正品中取 n-k 件的取法数，如果规定 m r时 r，则 k 的范围可以写为 k=0，1，n.超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取 n 件（1na+b），则次品数 的分布列为 n.,01kCk)P
11、(nba.超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取- 4 -n 件时，其中次品数 服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数 的分布列可如下求得：把 ba个产品编号，则抽取 n 次共有 nba)(个可能结果，等可能： k)(含 knbaC个结果，故n,012k,1Cb)(ak)P(nknk ，即 )(B.我们先为 k 个次品选定位置，共 knC种选法；然后每个次品位置有 a 种选法，每个正品位置有 b 种选法 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时， k)P()(，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.三、数学期望与方差.1
12、. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量 的概率分布为1x2x ixP pp ip则称 nE21为 的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. 随机变量 ba的数学期望： baEE)( 当 0a时， E)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.当 1时， ，即随机变量 与常数之和的期望等于 的期望与这个常数的和.当 b时， a)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.单点分布： cE1其分布列为： cP)1(. 两点分布： pq0，其分布列为：（p + q = 1）二项分布： nknEk)!( 其分布列为 ),(pnB.
13、（P 为发生 的概率）几何分布： p1 其分布列为 ),(pq.（P 为发生 的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量 的分布列为 ),21()(kpxk时，则称 npExxED2212 )()()( 为 的方差. 显然 0D，故 .D为 的根方差或标准差.随机变量 的方差与标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动，集中与离散的程度. 越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.随机变量 ba的方差 DabD2)().（a、b 均为常数）单点分布： 0 其分布列为 pP1两点分布： pq 其分布列为：（p + q = 1）二项分布： n 0 1P q p 0 1P q p- 5 -几何分
14、布： 2pqD 5. 期望与方差的关系.如果 E和 都存在，则 EE)(设 和 是互相独立的两个随机变量，则 D)(,)(期望与方差的转化： 2)(D E（因为 为一常数） 0E.四、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量 ，位于 x 轴上方， 落在任一区间 ),ba内的概率等于它与 x轴.直线 ax与直线 bx所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫 的密度曲线，以其作为图像的函数 )(f叫做 的密度函数，由于“ ),(x”是必然事件，故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1.2. 正态分布与正态曲线：如果随机变量 的概率密度为： 2)(1)(xex
15、f. （ ,R为常数，且0），称 服从参数为 ,的正态分布，用 ,(2N表示. f的表达式可简记为 ),(2N，它的密度曲线简称为正态曲线.正态分布的期望与方差：若 ),(2N，则 的期望与方差分别为： 2,DE.正态曲线的性质.曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交.曲线关于直线 对称.当 时曲线处于最高点，当 x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.当 x 时，曲线上升；当 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向 x 轴无限的靠近.当 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“
16、瘦高”，表示总体的分布越集中.3. 标准正态分布：如果随机变量 的概率函数为 )(21)(2xexx，则称 服从标准正态分布. 即 )1,0(N有 )(xP， )(1(求出，而 P（a b）的计算则是 )()(abaP.注意：当标准正态分布的 的 X 取 0 时，有 .0x当 )(x的 X 取大于 0 的数时，有 5.0x.比如 yxaby=f()- 6 -5.0793.)5.0(则 .必然小于 0，如图. 正态分布与标准正态分布间的关系：若 ),(2N则 的分布函数通常用 )(xF表示，且有 )x(F)xP(. 4.“3 ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布 ),(2N.确定一次试验中的取值 a是否落入范围 )3,(.做出判断：如果 )3,(a，接受统计假设. 如果 )3,(a，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.“3 ”原则的应用：若随机变量 服从正态分布 ),(2N则 落在 )3,(内的概率为 99.7 亦即落在 )3,(之外的概率为 0.3，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即 不服从正态分布）. xya标 准 正 态 分 布 曲 线S阴 =0.5+SS
