1、版权所有 翻版必究，如有雷同，算我抄你！第 1 页不等式选讲历年高考真题专项突破整理人：毛锦涛命题角度 1含有绝对值不等式的解法1已知函数 f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（）设 a1，且当 时，f（x）g（x） ，求 a 的取值范围2已知函数 f（x）=|x+a|+|x2|（1）当 a=3 时，求不等式 f（x）3 的解集；（2）若 f（x）|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值范围3设函数 f（x）=|xa|+3x，其中 a0（）当 a=1 时，求不等式 f（x）3x+2 的解集（）若不等式 f（x）0 的解集为x
2、|x1，求 a 的值4已知函数 f（x）=|2xa|+a（1）当 a=2 时，求不等式 f（x）6 的解集；（2）设函数 g（x）=|2x1|，当 xR 时，f（x）+g（x）3，求 a 的取值范围5 已知函数 f（x）=|x2|x5|（1）证明：3f（x）3；（2）求不等式 f（x）x 28x+15 的解集命题角度 2含有绝对值的函数的图像与应用6已知函数 f（x）=|x+1|2|xa|，a0（）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围版权所有 翻版必究，如有雷同，算我抄你！第 2 页7设函数 f（x）=|2x
3、4|+1（）画出函数 y=f（x）的图象：（）若不等式 f（x）ax 的解集非空，求 a 的取值范围8. 已知函数 f（x）=|x+1| |2x3|（）在图中画出 y=f（x）的图象；（）求不等式|f（x）| 1 的解集命题角度 3不等式的证明与最值9设函数 f（x）=|x+ |+|xa|（a0） （）证明：f（x）2；（）若 f（3）5，求 a 的取值范围10若 a0，b0，且 + = （）求 a3+b3的最小值；（）是否存在 a，b，使得 2a+3b=6？并说明理由11设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明：（1）若 abcd，则 + + ；版权所有 翻版必究，如有雷同，算
4、我抄你！第 3 页（2） + + 是|ab|cd|的充要条件12设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明：（）（） 13已知函数 f（x）=|x |+|x+ |，M 为不等式 f（x）2 的解集（）求 M；（）证明：当 a，bM 时，|a+b|1+ab|14.设 a0，|x-1| 3 ， |y-2| 3a ，求证：|2x+y-4|a.15. 若函数 的最小值为 5，则实数 a=_.()12fx16已知 a0，b0，c0，函数 f（x）=|x+a|+|xb|+c 的最小值为 4（1）求 a+b+c 的值；（2）求 a2+ b2+c2的最小值 （柯西不等式）17.已知关于 的不等式 的解
5、集为 xxab24x（I）求实数 ， 的值；ab（II）求 的最大值 （柯西不等式）12tt版权所有 翻版必究，如有雷同，算我抄你！第 4 页2017 年 03 月 30 日小毛的高中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共 13 小题）1 （2013新课标） （选修 45：不等式选讲）已知函数 f（x）=|2x1|+|2x+a|，g（x）=x+3（）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（）设 a1，且当 时，f（x）g（x） ，求 a 的取值范围【解答】解：（）当 a=2 时，求不等式 f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30设 y=|2x1|+|2x2|x3，则 y=
6、，它的图象如图所示：结合图象可得，y0 的解集为（0，2） ，故原不等式的解集为（0，2） （）设 a1，且当 时，f（x）=1+a，不等式化为 1+ax+3，故 xa2 对 都成立故 a2，解得 a ，故 a 的取值范围为（1， 版权所有 翻版必究，如有雷同，算我抄你！第 5 页2 （2012新课标）已知函数 f（x）=|x+a|+|x2|（1）当 a=3 时，求不等式 f（x）3 的解集；（2）若 f（x）|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=3 时，f（x）3 即|x3|+|x2|3，即，或 ，或 解可得 x1，解可得 x，解可得 x4把、的解集取并集可得
7、不等式的解集为 x|x1 或 x4（2）原命题即 f（x）|x4|在1，2上恒成立，等价于|x+a|+2x4x在1，2上恒成立，等价于|x+a|2，等价于2x+a2，2xa2x 在1，2上恒成立故当 1x2 时，2x 的最大值为21=3，2x 的最小值为 0，故 a 的取值范围为3，03 （2011新课标）设函数 f（x）=|xa|+3x，其中 a0（）当 a=1 时，求不等式 f（x）3x+2 的解集（）若不等式 f（x）0 的解集为x|x1，求 a 的值【解答】解：（）当 a=1 时，f（x）3x+2 可化为|x1|2由此可得 x3 或 x1故不等式 f（x）3x+2 的解集为x|x3 或
8、 x1（）由 f（x）0 得|xa|+3x0此不等式化为不等式组或即 或版权所有 翻版必究，如有雷同，算我抄你！第 6 页因为 a0，所以不等式组的解集为x|x 由题设可得 =1，故 a=24 （2016新课标）已知函数 f（x）=|2xa|+a（1）当 a=2 时，求不等式 f（x）6 的解集；（2）设函数 g（x）=|2x1|，当 xR 时，f（x）+g（x）3，求 a 的取值范围【解答】解：（1）当 a=2 时，f（x）=|2x2|+2，f（x）6，|2x2|+26，|2x2|4，|x1|2，2x12，解得1x3，不等式 f（x）6 的解集为x|1x3（2）g（x）=|2x1|，f（x）
9、+g（x）=|2x1|+|2xa|+a3，2|x |+2|x |+a3，|x |+|x | ，当 a3 时，成立，当 a3 时，|x |+|x | |a1| 0，（a1） 2（3a） 2，解得 2a3，a 的取值范围是2，+） 5 （2011辽宁）选修 45：不等式选讲已知函数 f（x）=|x2|x5|（1）证明：3f（x）3；（2）求不等式 f（x）x 28x+15 的解集版权所有 翻版必究，如有雷同，算我抄你！第 7 页【解答】解：（1）f（x）=|x2|x5|= 当 2x5 时，32x73所以3f（x）3（2）由（1）可知，当 x2 时，f（x）x 28x+15 的解集为空集；当 2x5
10、 时，f（x）x 28x+15 的解集为x|5 x5；当 x5 时，f（x）x 28x+15 的解集为x|5x6综上，不等式 f（x）x 28x+15 的解集为x|5 x66 （2015新课标）已知函数 f（x）=|x+1|2|xa|，a0（）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围【解答】解：（）当 a=1 时，不等式 f（x）1，即|x+1|2|x1|1，即 ，或 ，或 解求得 x，解求得 x1，解求得 1x2综上可得，原不等式的解集为（ ，2） （）函数 f（x）=|x+1|2|xa|= ，由此求得 f（x
11、）的图象与 x 轴的交点 A （ ，0） ，B（2a+1，0） ，故 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形的第三个顶点 C（a，a+1） ，由ABC 的面积大于 6，可得 2a+1 （a+1）6，求得 a2版权所有 翻版必究，如有雷同，算我抄你！第 8 页故要求的 a 的范围为（2，+） 7 （2010新课标）设函数 f（x）=|2x4|+1（）画出函数 y=f（x）的图象：（）若不等式 f（x）ax 的解集非空，求 a 的取值范围【解答】解：（）由于 f（x）= ，函数 y=f（x）的图象如图所示（）由函数 y=f（x）与函数 y=ax 的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当 a2 或 a
12、 时，函数 y=f（x）与函数 y=ax 的图象有交点故不等式 f（x）ax 的解集非空时，a 的取值范围为（，2） ，+） 版权所有 翻版必究，如有雷同，算我抄你！第 9 页8 （2014新课标）设函数 f（x）=|x+ |+|xa|（a0） （）证明：f（x）2；（）若 f（3）5，求 a 的取值范围【解答】解：（）证明：a0，f（x）=|x+ |+|xa|（x+ ）（xa）|=|a+ |=a+ 2 =2，故不等式 f（x）2 成立（）f（3）=|3+ |+|3a|5，当 a3 时，不等式即 a+ 5，即 a25a+10，解得 3a 当 0a3 时，不等式即 6a+ 5，即 a 2a10，
13、求得 a3综上可得，a 的取值范围（ ， ） 9 （2014新课标）若 a0，b0，且 + = （）求 a3+b3的最小值；（）是否存在 a，b，使得 2a+3b=6？并说明理由【解答】解：（）a0，b0，且 + = ， = + 2 ，ab2，当且仅当 a=b= 时取等号a 3+b3 2 2 =4 ，当且仅当 a=b= 时取等号，a 3+b3的最小值为 4 （）2a+3b2 =2 ，当且仅当 2a=3b 时，取等号而由（1）可知，2 2 =4 6，故不存在 a，b，使得 2a+3b=6 成立10 （2015新课标）设 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，证明：（1）若 abcd，则
14、+ + ；（2） + + 是|ab|cd|的充要条件版权所有 翻版必究，如有雷同，算我抄你！第 10 页【解答】证明：（1）由于（ + ） 2=a+b+2 ，（ + ） 2=c+d+2 ，由 a，b，c，d 均为正数，且 a+b=c+d，abcd，则 ，即有（ + ） 2（ + ） 2，则 + + ；（2）若 + + ，则（ + ） 2（ + ） 2，即为 a+b+2 c+d+2 ，由 a+b=c+d，则 abcd，于是（ab） 2=（a+b） 24ab，（cd） 2=（c+d） 24cd，即有（ab） 2（cd） 2，即为|ab|cd|；若|ab|cd|，则（ab） 2（cd） 2，即有（a
15、+b） 24ab（c+d） 24cd，由 a+b=c+d，则 abcd，则有（ + ） 2（ + ） 2综上可得， + + 是|ab|cd|的充要条件11 （2013新课标） 【选修 45；不等式选讲】设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c=1，证明：（）（） 【解答】证明：（）由 a2+b22ab，b 2+c22bc，c 2+a22ca 得：a2+b2+c2ab+bc+ca，由题设得（a+b+c） 2=1，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，所以 3（ab+bc+ca）1，即 ab+bc+ca （）因为 +b2a， +c2b， +a2c，故 + + +（a+b+c）2（a+b
16、+c） ，即 + + a+b+c版权所有 翻版必究，如有雷同，算我抄你！第 11 页所以 + + 112 （2016新课标）已知函数 f（x）=|x |+|x+ |，M 为不等式 f（x）2 的解集（）求 M；（）证明：当 a，bM 时，|a+b|1+ab|【解答】解：（I）当 x 时，不等式 f（x）2 可化为：xx 2，解得：x1，1x ，当 x 时，不等式 f（x）2 可化为： x+x+ =12，此时不等式恒成立， x ，当 x 时，不等式 f（x）2 可化为： +x+x+ 2，解得：x1， x1，综上可得：M=（1，1） ；证明：（）当 a，bM 时，（a 21） （b 21）0，即
17、a2b2+1a 2+b2，即 a2b2+1+2aba 2+b2+2ab，即（ab+1） 2（a+b） 2，即|a+b|1+ab|13 （2015福建）已知 a0，b0，c0，函数 f（x）=|x+a|+|xb|+c 的最小值为 4版权所有 翻版必究，如有雷同，算我抄你！第 12 页（1）求 a+b+c 的值；（2）求 a2+ b2+c2的最小值【解答】解：（1）因为 f（x）=|x+a|+|xb|+c|（x+a）（xb）|+c=|a+b|+c，当且仅当axb 时，等号成立，又 a0，b0，所以|a+b|=a+b，所以 f（x）的最小值为 a+b+c，所以 a+b+c=4；（2）由（1）知 a+
18、b+c=4，由柯西不等式得，（ a2+ b2+c2） （4+9+1）（ 2+ 3+c1） 2=（a+b+c） 2=16，即 a2+ b2+c2当且仅当 = = ，即 a= ，b= ，c= 时，等号成立所以 a2+ b2+c2的最小值为 【解答】解：（）f（x ）= ，由分段函数的图象画法，可得 f（x ）的图象，如右：（）由|f（x）|1，可得当 x1 时，|x4|1，解得 x5 或 x3，即有 x1；当1 x 时，|3x2|1，解得 x1 或 x ，即有1x 或 1x ；当 x 时，|4x|1，解得 x5 或 x3，即有 x5 或 x3综上可得，x 或 1x3 或 x5则|f（ x）|1 的解集为（ ， ）（1，3） （5，+） 版权所有 翻版必究，如有雷同，算我抄你！第 13 页
