1、43 三角函数的图象与性质1 “五点法”作图(1)在确定正弦函数 ysinx 在 0，2 上的图象形状时，起关键作用的五个点是， ， ， ， (2)在确定余弦函数 ycosx 在0 ，2 上的图象形状时，起关键作用的五个点是， ， ， ， 2周期函数的定义对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 _，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的_ 3三角函数的图象和性质函数性质 ysinx y cosx ytanx定义域 _ _ _图象（
2、一个周期）值域 _ _ R对称性对称轴：_；对称中心：_对称轴：_；对称中心：_无对称轴；对称中心：_最小正周期 _ _ _单调性单调增区间_；单调增区间_单调增区间_；单调减区间_单调增区间_奇偶性 _ _ _21自查自纠1(1)(0 ，0) (，0) (2，0)(2， 1) (32， 1)(2)(0，1) (，1) (2，1)(2， 0) (32， 0)2f(x T)f(x) 最小正周期3R R 1，1x|x k 2， k Z1，1 x k (kZ) ( k，0)(kZ )2xk(kZ) (kZ)(k 2， 0) (kZ) 2 2 (k2， 0) (kZ)2k 2， 2k 2 (kZ)2k
3、 2， 2k 322k，2k(kZ) 2k，2k ( kZ ) (kZ) 奇函数(k 2， k 2)偶函数 奇函数 21 (2015四川)下列函数中，最小正周期为 的奇函数是( )Aysin By cos(2x2) (2x 2)Cy sin2x cos2x Dysinxcosx解：对 A 项，ysin cos2 x，最小正周期为 ，且为偶函数，不符合题意；(2x 2)对 B 项，ycos sin2x，最小正周期为 ，且为奇函数，符合题意；(2x 2)对 C 项，ysin2x cos2x sin ，最小正周期为 ，为非奇非偶函数，不符合题意；2 (2x 4)对 D 项，ysinx cosx si
4、n ，最小正周期为 2，为非奇非偶函数，不符合题意2 (x 4)故选 B.(2015长沙模拟)下列函数中，周期为 且在 上是减函数的是( )0， 2Aysin By cos(x4) (x 4)Cy sin2x Dycos2x解：对于函数 ycos2 x，T，当 x 时，2x0，ycos2 x 是减函数故选 D.0，2(2016长沙模拟)若函数 ycos (N *)的图象的一个对称中心是 ，则 的最小值为( )( x6) (6， 0)A1 B2 C4 D8解：由题意知 k (kZ)，所以 6k2(kZ) ，又 N *，则 min2.故选 B.6 6 2(2016浙江)已知 2cos2xsin2
5、xAsin(x )b(A0)，则 Ab_.解：由于 2cos2xsin2 x1cos2xsin2 x sin 1，所以 A ，b1，即 Ab 1.故填 1.2 (2x 4) 2 2 2(2015浙江)函数 f(x)sin 2xsinx cosx1 的最小正周期是_，单调递减区间是_解：f(x ) sin2x 1 sin ，最小正周期是 T .1 cos2x2 12 22 (2x 4) 32 22由 2k2x 2k ，kZ ，解得 k x k，kZ，2 4 32 38 78所以函数 f(x)的单调递减区间是 ，kZ.38 k，78 k故填 ； ，kZ.38 k， 78 k类型一 三角函数的定义域
6、、值域(1)函数 ylg(sinx cosx )的定义域是_解：要使函数有意义，必须使 sinxcos x0.解法一：利用图象在同一坐标系中画出0，2上 ysinx 和 ycos x 的图象，如图所示：在0，2内，满足 sinxcosx 的 x 为 ， ，在 内 sinxcosx，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所454 (4，54)以定义域为 .x|4 2k x 54 2k，kZ解法二：利用三角函数线如图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使 sinxcosx ，只须 x (在0，24 54内)所以定义域为 .x|4 2k x 54 2k，kZ解法三：sinx cosx sin 0，由正弦
7、函数 ysinx 的图象和性质可知 2kx 2k，解得2 (x 4) 42k x 2k ，k Z.4 54所以定义域为 .x|4 2k x 54 2k，kZ故填 .x|4 2k x 54 2k， k Z【点拨】求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式) ；求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴；对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集(2)(2017全国卷)函数 f(x)sin 2x cosx 的最大值是_334(x 0， 2)解：f(x )1cos 2x cosx cos 2
8、x cosx 21，由自变量的范围 x 可得，334 3 14 (cosx 32) 0，2cosx0，1，当 cosx 时，函数 f(x)取得最大值 1.故填 1.32【点拨】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题求最值时，要注意三角函数的取值范围(3)已知函数 f(x) cos ，求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值2 (2x4) 2， 0解：因为 x0，所以 2x ，2 34 4 4所以当 2x ，即 x 时，f (x)有最小值，f (x)min1；4 34 2当 2x 0，即 x 时，f(x)有最大值，f(x) max ，即 f(x)在 上的最小值为1，最大值为
9、 .4 8 2 2，0 2【点拨】求三角函数的值域(最值) 时，代数中求值域(最值)的方法均适用，如配方法( 参看例 1(2)，注意三角函数的取值范围)、换元法(注意换元后的范围变化)、判别式法、不等式法等对于形如 yAsin(x)b(或 yA cos(x)b)，可直接求出 x 在区间的范围，然后根据单调性求解(1)求函数 y 的定义域；lgsinx2sinx 3(2)已知函数 f(x)sin ，xR，求 f(x)在 上的最大值和最小值；(2x6) 0， 2(3)(北京海淀 2017 届期中)已知函数 f(x)cos 4xsin 2x，下列结论中错误的是( )Af(x)是偶函数B函数 f(x)
10、的最小值为34C. 是函数 f(x)的一个周期2D函数 f(x)在 内是减函数(0，2)(4)求函数 ysinx cosx sinxcosx 的值域解：(1)因为 y ，所以lgsinx2sinx 3 sinx 0，2sinx 3 0.)所以原函数的定义域为 .x|2k x 2k ，且 x 2k3，x2k 23，kZ(2)因为 x ，所以 2x .0，2 6 6，56当 2x ，即 x0 时，函数 f(x)有最小值 ；6 6 12当 2x ，即 x 时，函数 f(x)有最大值 1.6 2 3(3)由 f( x)cos 4(x) sin 2(x)f(x)，知函数 f(x)是偶函数，则 A 正确；
11、f(x)(1sin 2x)2sin 2xsin 4xsin 2x1 2 ，又 sin2x ，则当 sin2x 时，f (x)min ，则 B(sin2x 12) 34 0，1 12 34正确；f sin 4 sin 2 1cos 4x1cos 2xcos 4xsin 2x，则 f f(x) ，则 C 也正确故选 D.(x 2) (x 2) (x 2) (x 2)(4)设 tsin xcosx ，则 t212sin xcosx，sinxcosx ，且 t .1 t22 2 2所以 y t (t 1)21.t22 12 12当 t1 时，y max1；当 t 时，y min .212 2所以函数
12、ysinxcosx sinxcosx 的值域为 . 12 2，1类型二 三角函数的周期性在函数ycos|2x |，y|cosx|，y cos ，y tan 中，最小正周期为 的所有函数(2x 6) (2x 4)为( )A B C D解：可分别求出各个函数的最小正周期ycos|2 x| cos2x，T ；22由图象知，函数的最小正周期 T ；T ；22T .2综上知，最小正周期为 的所有函数为.故选 C.【点拨】求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解注意带绝对值的三角函数的周期是否减半，可用图象法判定，y|cosx
13、|的图象即是将 ycosx 的图象在 x 轴下方部分翻折到 x 轴的上方去求下列函数的最小正周期(1)y(asinxcosx) 2(aR)；(2)y2cosxsin sin2xsin xcosx；(x3) 3(3)y2 .|sin(4x 3)|解：(1)y sin(x )2a2 1(a 21)sin 2(x)(a 21) ( 为辅助角) ，1 cos（2x 2）2所以此函数的最小正周期为 T .22(2)y2cosx sin2xsinxcosx(12sinx 32cosx) 3sinxcosx cos2x sin2xsinxcosx3 3sin2x cos2x32sin ，(2x 3)该函数的
14、最小正周期为 T .22(3)y2 的最小正周期是 y2sin 的最小正周期的一半，即 T .|sin(4x 3)| (4x 3) 12 24 4类型三 三角函数的奇偶性(1)判断下列函数的奇偶性()f( x)cos cos(x)；(2 2x)()f( x) .1 sinx cosx1 sinx cosx解：() f(x)cos cos(x)(2 2x)(sin2x)(cosx)cosxsin2x.因为 f(x) cos( x)sin2(x) cosxsin2 xf(x)，xR，所以 f(x)是奇函数()因为 1sinxcosx 2cos 0，x2(sinx2 cosx2)所以 x2k 且 x
15、 2k，kZ.2所以 f(x)的定义域不关于原点对称故 f(x)是非奇非偶函数(2)已知函数 f(x)2sin 是偶函数，则 的值为( )(x 3)( 2， 2)A0 B. C. D.6 4 3解：因为函数 f(x)为偶函数，所以 k (kZ )又因为 ，所以 ，解得 ，经检3 2 2，2 3 2 6验符合题意故选 B.【点拨】判断三角函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间，如果是，再验证 f(x)是否等于f(x) 或 f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数另外，对较复杂的解析式，可选择先化简再判断，也可直接用x 取代 x，再化简判断，还可利用 f(
16、x)f( x)0 是否成立来判断其奇偶性(1)判断下列函数的奇偶性()f( x) ；2sinx 1()f( x)lg(sin x )1 sin2x解：() 因为 2sinx10，所以 sinx ，12即 x (kZ)，此区间不关于原点对称2k 6，2k 56所以 f(x)是非奇非偶函数()由题意知函数 f(x)的定义域为 R.f(x)lgsin(x ) 1 sin2（ x）lg lg( sinx 1 sin2x)11 sin2x sinxlg( sinx )f(x)1 sin2x所以函数 f(x)是奇函数(2)(2015哈尔滨模拟)若函数 y3cos(2x )为奇函数，则|的最小值为_3解：依
17、题意得， k (kZ )， k (kZ )，因此| |的最小值是 .故填 .3 2 56 6 6类型四 三角函数的单调性(1)(2017长沙模拟)函数 ysin ，x 2，2的单调递增区间是( )(12x 3)A. B. 和2， 53 2， 53 3， 2C. D.53， 3 3， 2解：令 z x ，函数 ysinz 的单调递增区间为 (kZ )，12 3 2k 2，2k 2由 2k x 2k 得 4k x4k ，而 x 2 ，2 ，2 12 3 2 53 3故其单调递增区间是 .故选 C. 53，3(2)(2017洛阳模拟)已知 0，函数 f(x)sin 在 上单调递减，则 的取值范围是(
18、 )( x4) (2， )A. B.12， 54 12， 34C. D(0，2(0，12解：由 x 得 x ，由题意知 ，所以 解得2 2 4 4 4 (2 4， 4) 2，32 2 4 2， 4 32，) .故选 A.12 54【点拨】(1)求三角函数单调区间的两种方法：求函数的单调区间应遵循简化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减” ；求形如 yAsin(x)(0) 的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解若 0，应先用诱导公式化 x 的系数为正数，以防止把单调性弄错(2) 已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解(201
19、6衡阳模拟)设函数 f(x) sin xcos x， (3，0)，若 f(x)的最小正周期为 ，则 f(x)的3一个单调递减区间是( )A. B.(2， 0) ( 6， 3)C. D.(3， 56) (2， )解：f(x )2sin ，f(x)的最小正周期 T ，又 (3，0) ，所以 2，所以 f(x)2sin(x 6) 2|，令 2k 0)的最小正周期为 ，则该函数的图象( )(x 3)A关于点 对称 B关于直线 x 对称(3， 0) 4C关于点 对称 D关于直线 x 对称(4， 0) 3解：由 T 知 2，2T 2所以函数 f(x)sin .(2x 3)函数 f(x)的对称轴满足 2x
20、k(kZ )，解得 x (kZ)；3 2 12 k2函数 f(x)的对称中心的横坐标满足 2x k(k Z)，3解得 x (kZ)故选 A.6 k21三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数) 等2三角函数值域的求法求三角函数的值域常见的有以下几种类型：(1)形如 yasinx bcosx c
21、 的三角函数化为 yAsin(x)k 的形式，再求值域；(2)形如 yasin 2xbsinx c 的三角函数，可先设 sinxt ，化为关于 t 的二次函数求值域；(3)形如 yasinx cosxb(sinxcos x)c 的三角函数，可先设 tsinxcos x，化为关于 t 的二次函数求值域3判断三角函数的奇偶性判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言， “同奇才奇、一偶则偶” 一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性4求三角函数的周期(1)求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度
22、唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求(2)三角函数的最小正周期的求法有：由定义出发去探求； 公式法：化成 yA sin(x )，或yAtan(x)等类型后，用基本结论 T 或 T 来确定；根据图象来判断2| | | |5三角函数的单调性(1)三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解关于复合函数的单调性的求法，参见“2.2 函数的单调性与最大(小) 值” (2)利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内若不是同名三角函数，则应
23、考虑化为同名三角函数或用差值法(例如与 0 比较，与 1 比较等 )求解1(2017全国卷)函数 f(x)sin 的最小正周期为( )(2x3)A4 B2 C D.2解：函数 f(x)的最小正周期为 T .故选 C.222(2016山东)函数 f(x)( sinxcosx)( cosxsinx)的最小正周期是( )3 3A. B C. D22 32解：f(x )2sin 2cos 2sin ，故最小正周期 T .故选 B.(x 6) (x 6) (2x 3) 223(2016河北正定中学模拟) 已知函数 f(x)(1cos2x)sin 2x，xR，则 f(x)是( )A最小正周期为 的奇函数B
24、最小正周期为 的偶函数C最小正周期为 的奇函数2D最小正周期为 的偶函数2解：f(x )(1cos2x ) sin22x ，因为 f(x)f(x) ，所以 f(x)是偶函数，周期1 cos2x2 1 cos22x2 12 1 cos4x4为 T .故选 D.24 24(湖北孝感七校教学联盟 2017 届高三期末) 下列命题中正确的是 ( )A函数 ysinx ，x 0，2 是奇函数B函数 ysin 在区间 上单调递减(6 2x) 6， 3C函数 y2sin cos (xR)的一条对称轴方程是 x(3 2x) (6 2x) 6D函数 ysin xcosx 的最小正周期为 2，且它的最大值为 1解
25、：对于 A 选项，由于定义域不关于原点对称，所以函数 ysinx，x0 ，2不是奇函数；对于 B 选项，y sin sin 的递减区间，即 ysin 的递增区间，(6 2x) (2x 6) (2x 6)令 2k2x 2k ， kx k ，当 k0 时， x ，所以 B 正确；2 6 2 6 3 6 3对于 C 项中函数，y2sin cos(3 2x) (6 2x)2sin cos(2 (6 2x) (6 2x)cos ，x 时 y0 1，选项 C 错误；(6 2x) 6对于选项 D，函数 y sin2x 的最小正周期为 1，且它的最大值为 ，选项 D 错误故选 B.12 125(2015武汉模
26、拟)同时具有性质 “周期为 ，图象关于直线 x 对称，在 上是增函数”的函数是( )3 6， 3Aysin By cos(2x6) (2x 3)Cy cos Dysin(2x6) (x2 6)解：因为周期为 ，所以 2，排除选项 D；图象关于直线 x 对称，即函数在 x 处取得最值，排2T 3 3除选项 C；又 x ，所以 2x ，2x 0，易知函数 ysin 在 上为增函 6，3 6 2，2 3 (2x 6) 6，3数，函数 ycos 在 上为减函数故选 A.(2x 3) 6，36(广东韶关 2017 届调研)已知函数 f(x)2sin(x )(0)的图象与直线 yb(00)的图象与直线 y
27、b(00，| | )，x 为 f(x)的零点，x 为 yf(x) 的图象2 4 4的对称轴，且 f(x)在 上单调，则 的最大值为( )(18， 536)A11 B9 C7 D5解：由题意得 (k，m Z)， 4 k，4 m 2)所以 ， 12( mk)，m k2 4又| ，所以 或 .2 4 4当 时， 14k ，若 9，当 x 时，4 (18，536)9x 的范围为 ，满足 f(x)在 上单调，4 (34，32) (18，536)当 时， 14k ，若 11，当 x 时， 11x 的范围为 ，不满足 f(x)在4 (18，536) 4 (1336，2318)上单调，所以 的最大值为 9.故选 B.(18，536)
