1、第五章 第 1 讲A 级 基础达标1设 a 是非零向量， 是非零实数，下列结论中正确的是( )Aa 与 a 的方向相反 Ba 与 2a 的方向相同C|a| a| D|a| |a【答案】B2设 a0 为单位向量，下述命题中：若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a 0；若 a与 a0 平行，则 a|a|a 0；若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa 0.假命题的个数是( )A0 B1 C2 D3【答案】D3设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，则 等于( )OA OB OC OD A B2 OM OM C3 D4OM OM 【答案】D4
2、(2017 年温州八校检测)设 a，b 不共线， 2apb， ab， a2b，AB BC CD 若 A，B，D 三点共线，则实数 p 的值为( )A2 B1 C1 D2【答案】B5如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点， a，AB b，则 ( )AC AD Aa b B ab12 12Ca b D ab12 12【答案】 D6向量 e1，e 2 不共线， 3(e1e 2)， e 2e 1， 2e 1e 2，给出下列结论：AB CB CD A ，B，C 共线；A，B ，D 共线；B，C ，D 共线；A，C，D 共线，其中所有正确结论的序号为_【答案】 【解析】
3、由 4e 12e 22 且 与 不共线，可得 A，C，D 共线且 BAC AB CB CD AB CB 不在此直线上7如图所示，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， ，AB AD AO 则 _.【答案】2 【解析】因为 ABCD 为平行四边形，所以 2 .已知 ，故AB AD AC AO AB AD AO 2.8已知向量 a2e 13e 2，b2e 13e 2，其中 e1，e 2不共线，向量 c2e 19e 2，问是否存在这样的实数 ，使向量 dab 与 c 共线？【解析】d(2e 13e 2)(2 e13e 2)(22 )e1(33)e 2，要使 d 与 c 共线
4、，则应有实数 k，使 dk c，即(22 )e1(33)e 22ke 19k e2，即Error! 得 2.故存在这样的实数 ，只要 2，就能使 d 与 c 共线 9如图所示，四边形 ABCD 是一个等腰梯形，ABDC，M，N 分别是 DC，AB 的中点，已知 a， b， c，试用 a，b，c 表示 ， ， .AB AD DC BC MN DN CN 【解析】 abc.BC BA AD DC 因为 ， ，MN MD DA AN MN MC CB BN 所以 2 b(abc)MN MD MC DA CB AN BN AD BC a2bc.所以 ab c.MN 12 12 2 a2bc.DN CN
5、 DM MN CM MN MN B 级 能力提升10(2017 年延安模拟)设 e1 与 e2 是两个不共线向量， 3e 12e 2， ke 1e 2，AB CB 3e 12ke 2，若 A，B ，D 三点共线，则 k 的值为( )CD A B 94 49C D不存在38【答案】A 【解析】由题意，A，B，D 三点共线，故必存在一个 实数 ，使得 .AB BD 又 3e 12e 2， ke 1e 2， 3e 12ke 2.AB CB CD 所以 3e 12ke 2( ke1e 2)BD CD CB (3k )e1(2k 1)e 2.所以 3e12e 2(3k )e1 (2k1) e2，所以Er
6、ror! 解得 k .9411O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足： ，0 ，) ，则 P 的轨迹一定通过ABC 的( )OP OA (AB |AB |AC |AC |)A外心 B内心 C重心 D垂心【答案】B 【解析】如图所示，作BAC 的平分线 AD ， OP OA (AB |AB |AC |AC |) AP (AB |AB |AC |AC |) (0，) .AD |AD | AP |AD |AD .P 的 轨迹一定通过 ABC 的内心AP AD 12设 G 为ABC 的重心，且 sin A sin B sin C 0，则角 B 的大小为( )GA GB
7、GC A45 B60 C30 D15【答案】B 【解析】G 是 ABC 的重心， 0， ( )，将其代入 sin AGA GB GC GA GB GC sin B sin C 0 ，得 (sin Bsin A) (sin Csin A) 0.又 ， 不共线，GA GB GC GB GC GB GC sin Bsin A0，sin Csin A0， 则 sin Bsin Asin C根据正弦定理知 bac，ABC 是等 边三角形，则角 B60.故选 B13记 maxx，yError!minx，y Error!设 a，b 为平面向量，则( )Amin|ab| ，|ab| min|a|，|b|Bmi
8、n|ab|，|ab| min|a|，|b|Cmax|ab| 2，| ab| 2|a| 2| b|2Dmax| ab| 2，|ab| 2|a| 2| b|2【答案】D 【解析】对于平面向量 a，b，|ab| 与|ab|表示以 a，b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，根据平面几何知 识可得，平行四 边形两对角线长 度的较小者与相邻两边长度的较小者没有确定的大小关系，故 A，B 均错；又|ab| ，|a b|中的较大者与|a|， |b|一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知必有 max|ab| 2，|ab| 2 |a|2|b| 2，故 D 正确，C 错误14若点 O 是ABC 所在平面内的
9、一点，且满足| | 2 |，则OB OC OB OC OA ABC 的形状为_【答案】直角三角形 【解析】 2 ( )( )OB OC OA OB OA OC OA ， ，| | |.故 A，B，C 为矩形的三个顶点，AB AC OB OC CB AB AC AB AC AB AC ABC 为直角三角形15(2016 年广州调研)已知 ABC 和点 M 满足 0，若存在实数 m 使得MA MB MC m 成立，则 m_.AB AC AM 【答案】3 【解析】由已知条件得 ，如图所示，延 长 AM 交 BCMB MC MA 于 D 点，则 D 为 BC 的中点延 长 B M 交 AC 于 E 点
10、，延长 CM 交 AB 于F 点，同理可证 E，F 分别为 AC，AB 的中点，即 M 为 ABC 的重心， ( )，即 3 ，则 m3.AM 23AD 13AB AC AB AC AM 16若 a，b 是两个不共线的非零向量，则当 t 为何值时，共起点的三向量a，t b， (ab)的终点在同一条直线上？13【解析】设 a， tb， (ab)，OA OB OC 13 a b，AC OC OA 23 13 tba.AB OB OA 要使 A，B，C 三点共线，只需 ，AC AB 即 a b(tba)t b a.23 13a 与 b 为不共线的非零向量，Error!Error!当 t 时，三向量终
11、点在同一直线上1217已知 O，A，B 是不共线的三点，且 m n (m，nR)OP OA OB (1)若 mn1 ，求证：A，P ，B 三点共线；(2)若 A， P，B 三点共线，求证：mn1.【证明】(1)若 mn1，则 m (1m) m ( )，OP OA OB OB OA OB m( )，OP OB OA OB 即 m ， 与 共线BP BA BP BA 又 与 有公共点 B，BP BA A，P，B 三点共线(2)若 A，P，B 三点共线，则存在 实数 ，使 ，BP BA ( )OP OB OA OB 又 m n ，OP OA OB 故有 m ( n1) ，OA OB OA OB 即(m ) (n1) 0.OA OB O，A，B 不共线， ， 不共 线OA OB Error!mn 1.
