1、46 三角恒等变换1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()_.(2)cos()_.(3)tan()_.2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2 _(2)cos2 _ _ _(3)tan2 Error!.3半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin .2 1 cos2(2)cos . 2 1 cos2(3)tan . 2 1 cos1 cos sin1 cos 1 cossin4几个常用的变形公式(1)升幂公式：1sin Error!；1cos Error!；1cos Error!(2)降幂公式：sin 2 Error!；cos 2 Error!(3)tan tan _；tan tan
2、 11 .tan tantan（ ） tan tantan（ ）(4)辅助角公式：asin bcos sin( )，其中 cosError!，sin Error!，或 tanError!，a2 b2角所在象限与点(a，b)所在象限 _， 角的终边经过点( a，b)自查自纠1(1)sin cos cos sin (2)cos cos sin sin(3)tan tan1tan tan2(1)2sin cos(2)cos2 sin 2 2cos 2 1 12sin 2 (3)2tan1 tan24(1) 2cos 2 2sin 2(sin 2cos 2)2 2 2(2) (3)tan()(1tan
3、 tan )1 cos22 1 cos22(4) 相同aa2 b2 ba2 b2 ba(2015全国卷)sin20cos10cos160sin10( )A B. C D.32 32 12 12解：原式sin20cos10 cos20sin10sin30 .故选 D.12(2016全国卷)若 tan ，则 cos2 ( )13A B C. D.45 15 15 45解：因为 tan ，所以 cos3sin ，根据同角三角函数关系可得 sin29sin 21，sin 2 .由倍角公式，13 110cos212sin 2 .故选 D.45(2017全国卷)函数 f(x) sin cos 的最大值为(
4、 )15 (x 3) (x 6)A. B1 C. D.65 35 15解：f(x ) sin cos15 (x 3) (x 6) cosx sin x15(sinx12 cosx 32) 32 12 sinx cosx 2sin35 335 35 (x 3) sin ，最大值为 .65 (x 3) 65故选 A.(2017江苏)若 tan ，则 tan _.( 4) 16解：tan tan .故填 .( 4) 4tan( 4) tan41 tan( 4)tan416 11 16 75 75(2016上海)方程 3sinx1cos2x 在区间0 ，2 上的解为 _解：3sinx1 cos2x，即
5、 3sinx22sin 2x，所以 2sin2x 3sinx20，解得 sinx 或 sinx2(舍去) ，所以12在区间 上的解为 或 .故填 或 .0，26 56 6 56类型一 非特殊角求值问题(1)(2017山东)已知 cosx ，则 cos2x( )34A B. C D.14 14 18 18解：由 cosx 得 cos2x2cos 2x12 21 .故选 D.34 (34) 18(2)(教材复习参考题)sin50(1 tan10)_.3解：sin50(1 tan10)3sin50 (1 3sin10cos10)sin50cos10 3sin10cos10sin502(12cos10
6、 32sin10)cos10 1.故填 1.2sin50cos50cos10 sin100cos10 cos10cos10(3)(福建漳州 2017 届八校联考 )已知 tan 2(0 ，) ，则 cos ( )(52 2)A. B. C D35 45 35 45解：由 tan2 得 sin2cos ，sin 2cos 21，得4cos2 cos21，cos 2 ，cos cos sin2 2sin cos4cos 2 .故选 D.15 (52 2) (2 2) 45【点拨】解决非特殊角求值问题的基本思路有：(1)化非特殊角为特殊角； (2)化为正负相消的项，消去后求值；(3)化分子、分母使之
7、出现公约数，进行约分求值；(4)当有 ，2 ，3 ，4 同时出现在一个式子中时，一般将 向 2，3 (或 4)向 2 转化，再求关于 2 式子的值(1)(2016四川)cos 2 sin 2 _.8 8解：根据二倍角公式有 cos2 sin 2 cos .故填 .8 8 4 22 22(2)(2015长沙模拟) _.3tan12 3sin12（4cos212 2）解：3tan12 3sin12（4cos212 2）3（sin12 3cos12）2cos24sin12cos12 4 .故填4 .23sin（12 60）12sin48 3 3(3)(2015浙 江 模 拟 )tan70 tan50
8、 tan70tan50的值等于( )3A. B. C D333 33 3解：因为 tan120 ，tan70 tan501 tan70tan50 3所以 tan70tan50 tan70tan50 .故选 D.3 3类型二 给值求值问题(1)(2015江苏)已知 tan 2，tan( ) ，则 tan 的值为_17解：tan tan() 3.故填 3.tan（ ） tan1 tan（ ）tan17 21 27(2)设 为锐角，若 cos ，则 sin 的值为_( 6) 45 (2 12)解：cos ， 为锐角，则 为锐角，( 6) 45 6sin ，( 6) 35由二倍角公式得 sin2 ，c
9、os2 ，( 6) 2425 ( 6) 725所以 sin sin(2 12) 2( 6) 4sin2 cos cos2 sin( 6) 4 ( 6) 4 .故填 .2425 22 725 22 17250 17250(3)(2016沈阳十一中联考)若 cos ， 是第三象限角，则 ( )451 tan 21 tan 2A. B. C. 2 D. 212 12解：由 cos ， 是第三象限角，得 sin ，45 351 tan21 tan2cos2 sin2cos2 sin2(cos2 sin2)(cos2 sin2)(cos2 sin2)(cos2 sin2) .故选 A.1 sincos1
10、 35 45 12【点拨】给值求值问题，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角或式子的三角函数值，解题的关键在于“变角” ，如 ( )，2 ()( )等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论另掌握常用的勾股数(3，4，5；5，12 ，13；8，15，17；20，21，29) ，可简化计算(1)已知 tan( )1，tan( ) ，则 的值为( )12 sin2sin2A. B C 3 D313 13解： sin2sin2 sin（ ） （ ）sin（ ） （ ）sin（ ）cos（ ） cos（ ）sin（ ）sin（ ）cos（ ） cos（ ）sin（ ） .故
11、选 A.tan（ ） tan（ ）tan（ ） tan（ ） 13(2)(2015汕头模拟)已知 tan 3，则 cos ( )2A. B C. D45 45 415 35解：cos cos 2 sin 2 .故选 B.2 2cos22 sin22cos22 sin221 tan221 tan22 1 91 9 45(3)已知 cos ，cos( ) ，且 ， ，则 cos( )的值等于( )13 13 (0， 2)A B. C D.12 12 13 2327解：因为 ，2 (0，) ，cos ，所以 cos22cos 21 ，sin2 .而 ， (0，2) 13 79 1 cos22 429
12、，所以 (0 ，)，所以 sin() .所以 cos() cos2()(0，2) 1 cos2（ ） 223cos2 cos( )sin2 sin() .故选 D.( 79) ( 13) 429 223 2327类型三 给值求角问题(福州外校 2017 届高三适应性考试 )已知 A，B 均为钝角， sin2 cos ，且 sinB ，A (A 3) 5 1510 1010则 AB ( )A. B. C. D.34 54 74 76解：由题意知 (1cosA ) cosA sinA ，得 sinA ，sinB .12 12 32 12 1510 55 1010A，B 均为钝角，0，( 31010
13、) 55 1010 22那么， 0)的最小正周期为 .(1)求 的值；(2)求 f(x)的单调递增区间解：(1)因为 f(x)2sin xcosxcos2 xsin2 xcos2 x sin ，2 (2x 4)所以 f(x)的最小正周期 T .22 依题意， ，解得 1.(2)由(1)知 f(x) sin .2 (2x 4)由 2k 2x 2k ，kZ ，2 4 2得 k xk ，k Z.38 8所以 f(x)的单调递增区间为 (k) k 38，k 8(2016河南六市联考)设 a cos2 sin2，b ，c ，则有( )12 32 2tan141 tan214 1 cos502Aa cb Bab cCbca Dcab解：利用三角公式化简得 a cos2 sin2cos(602) cos62 sin28，12 32btan28，c sin25.sin225因为 sin25sin28tan28，所以 cab.故选 D.
