1、第八章 第 3 讲A 级 基础达标 1l 1，l 2 表示空间中的两条直线，若 p：l 1，l 2 是异面直线；q：l 1，l 2 不相交，则( )Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件Cp 是 q 的充要条件Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件【答案】A 【解析】直线 l1，l2 是异面直线，一定有 l1 与 l2 不相交，因此 p 是 q 的充分条件；若 l1 与l2 不相交，那么 l1 与 l2 可能平行，也可能是异面直 线，所以 p 不是 q 的必要条件故选 A2(2017 年郑州联考)已知直线 a 和平面 ，l
2、 ，a，a，且 a 在 ， 内的射影分别为直线 b 和 c，则直线 b 和 c 的位置关系是( )A相交或平行 B相交或异面C平行或异面 D相交、平行或异面【答案】D 【解析】依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面故选 D3(2017 年湘潭三模)若平面 平面 ，点 A，C ，B，D ，则直线 AC直线BD 的充要条件是( )AABCD BADCBCAB 与 CD 相交 DA，B，C，D 四点共面【答案】D 【解析】因为平面 平面 ，要使直线 AC直线 BD，则直 线 AC 与 BD 是共面直线，即A，B，C，D 四点必须共面4(2017 年济南模拟)a，b，c 是两两不同
3、的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面B若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交C若 ab，则 a，b 与 c 所成的角相等D若 ab，bc，则 ac【答案】C 【解析】若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 相交、平行或异面；若 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交、平行或异面；若 ab，bc，则 a，c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知 C 正确故选 C5如图所示，ABCDA 1B1C1D1 是长方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论正确的是 (
4、)AA，M ，O 三点共线 BA，M，O，A 1 不共面CA，M，C，O 不共面 DB，B 1，O，M 共面【答案】A 【解析】连接 A1C1，AC，则 A1C1AC，所以 A1，C1，C，A 四点共面所以 A1C平面ACC1A1.因为 MA1C，所以 M平面 ACC1A1.又 M平面 AB1D1，所以 M 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线 上同理 O 在平面 ACC1A1 与平面 AB1D1 的交线上，所以 A，M，O 三点共线6已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别为 BB1，CC 1 的中点，那么异面直线AE 与 D1F 所成角的余弦值为( )A B 4
5、5 35C D23 57【答案】B 【解析】连接 DF，则 AEDF，D1FD 为异面直线 AE 与 D1F 所成的角设正方体棱长为 a，则 D1Da，DFD 1F a，52cos D1FD .( 52a)2 ( 52a)2 a22 52a 52a 357如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段 AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面直线的对数为_对【答案】3 【解析】将正方体的展开图还原成直观图如图所示， 显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交， CD 与 EF 平行故互为异面的直线有且只有 3 对8(20
6、17 年福建六校联考)设 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若 ab，bc，则 ac ；若 ab，bc，则 ac ；若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若 a平面 ，b平面 ，则 a，b 一定是异面直线上述命题中正确的是_( 写出所有正确命题的序号)【答案】 【解析】由线、线位置关系易知 正确；当 ab，bc 时，a 与 c 可以相交、平行或异面，故错 ；当 a 与 b 相交，b 与 c 相交时， a 与 c 可以相交、平行，也可以异面，故 错；a ，b，并不能 说明 a 与 b“不同在任何一个平面内” ，故错9(2017 年成都月考)如图所示，在三棱
7、锥 PABC 中，PA 底面 ABC，D 是 PC 的中点已知BAC ，AB 2，AC2 ，PA 2.求：2 3(1)三棱锥 PABC 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值【解析】(1)S ABC 22 2 ，12 3 3三棱锥 PABC 的体积为 V SABCPA 2 2 .13 13 3 433(2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE，AE，则 EDBC，所以 ADE 是异面直线 BC 与 AD所成的角( 或其补角)在ADE 中，DE2，AE ，AD2，2cos ADE .22 22 2222 34故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .34B 级 能力提升1
8、0以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 A，B ，C，D 共面，点 A，B，C ，E 共面，则点 A，B，C，D，E 共面；若直线 a，b 共面，直线 a，c 共面，则直线 b，c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3【答案】B 【解析】 假 设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以 正确； 从条件看出两平面有三个公共点A，B，C，但是若 A，B，C 共线 ，则结论不正确；不正确；因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空 间四边形， 不正确11若空间中四条两两
9、不同的直线 l1，l 2，l 3，l 4，满足 l1 l2，l 2l 3，l 3l 4，则下列结论一定正确的是( )Al 1l 4Bl 1l 4Cl 1 与 l4 既不垂直也不平行Dl 1 与 l4 的位置关系不确定【答案】D 【解析】如图所示，在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中， 记 l1 DD1，l2DC，l 3DA 若l4AA 1，满足 l1l2，l2l3，l3l4，此时 l1l4，可以排除选项 A 和 C若取 C1D 为 l4，则 l1 与 l4相交；若取 BA 为 l4，则 l1 与 l4 异面；取 C1D1为 l4，则 l1 与 l4 相交且垂直因此 l1 与 l4 的位置关
10、系不能确定12如图是三棱锥 DABC 的三视图，点 O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线 DO 和 AB 所成角的余弦值等于( )A B33 12C D322【答案】A 【解析】由三视图及题意得如图所示的直观图，从 A 出发的三条线段 AB，AC，AD 两两垂直且 ABAC 2，AD 1， O 是 BC 中点，取 AC 中点 E，连接 DE，DO，OE，则 OE1，又可知 AE1，由于 OEAB，故 DOE 即为所求两异面直线 所成的角或其补角在 RtDAE 中，有 DE .由于 O 是中点，在 RtABC 中可以求得 AO ，在 RtDAO 中可以求得 DO2 2.在 DOE 中，由
11、余弦定理得 cosDOE ，故所求余弦值为 .31 3 2213 33 3313如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 C1D1，C 1C 的中点，有以下四个结论：直线 AM 与 CC1 是相交直线；直线 AM 与 BN 是平行直线；直线 BN 与 MB1 是异面直线；直线 MN 与 AC 所成的角为 60.其中正确的结论为_( 填序号) 【答案】 【解析】A，M，C 1 三点共面，且在平面 AD1C1B 中，但 C平面 AD1C1B，C1AM，因此直线 AM 与 CC1 是异面直线，同理 AM 与 BN 也是异面直线 ，错；M，B，B 1 三点共面，且在平面 M
12、BB1 中，但 N平面 MBB1，BMB1，因此直 线 BN 与 MB1 是异面直线，正确；连接D1C，D1A，因为 D1CMN，所以直线 MN 与 AC 所成的角就是 D1C 与 AC 所成的角，易知ACD1为等边三角形，所以 MN 与 AC 所成的角为 60，正确14如图所示，正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直，且ACBC2，ACB90，F，G 分别是线段 AE，BC 的中点，则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为_【答案】 36【解析】取 DE 的中点 H，连 接 HF，GH.由题设，HF 綊 ADGFH 为异面直线 AD12与 GF 所成的角(或其补角) 在
13、GHF 中，可求得 HF ，GFGH ，2 6cos HFG .2 6 6226 3615如图所示，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面是边长为 2 的正三角形，侧棱 A1A底面 ABC，点 E，F 分别是棱 CC1，BB 1 上的点，点 M 是线段 AC 上的动点，EC 2FB2.(1)当点 M 在何位置时， BM平面 AEF?(2)若 BM平面 AEF，判断 BM 与 EF 的位置关系，说明理由；并求 BM 与 EF 所成的角的余弦值【解析】(1)如图所示，取 AE 的中点 O，连接 OF，过点 O 作 OMAC 于点 M.因为侧棱 A1A底面 ABC，所以 C1C底面 ABC，所以 C1CAC又因为 EC2FB2，所以 OMECFB 且 OM ECFB 12所以四边形 OMBF 为矩形，BMOF .因为 OF平面 AEF，BM平面 AEF，故 BM平面 AEF，此时点 M 为 AC 的中点(2)由(1)知，BM 与 EF 异面，OFE 就是异面直线 BM 与 EF 所成的角或其补角易求得 AFEF ，OF ，EO ，5 3 2又 O 为 AE 的中点，所以 OFAE.所以 cos OFE .OFEF 35 155所以 BM 与 EF 所成的角的余弦值为 .155
