1、第 2 课时 平面向量基本定理及坐标运算1已知点 A( 1，1) ，B(2， y)，向量 a(1 ，2)，若 a，则实数 y 的值为( )AB A5 B6C7 D8答案 C解析 (3，y1)，a(1，2) ， a，则 231(y 1)，解得 y7，故选 C.AB AB 2已知 M(3，2)，N( 5，1) ，且 ，则 P 点的坐标为( )MP 12MN A(8，1) B(1， )32C(1， ) D(8 ，1)32答案 B解析 设 P(x，y)，则 (x3，y2) MP 而 (8，1)(4， )， 解得12MN 12 12 x 3 4，y 2 12. ) x 1，y 32.)P( 1， )故选
2、 B.323如果 e1，e 2 是平面 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )Ae 1 与 e1e 2 Be 12e 2 与 e12e 2Ce 1 e2 与 e1e 2 De 13e 2 与 6e22e 1答案 D解析 选项 A 中，设 e1e 2e 1，则 无解；选项 B 中，设 e12e 2(e 12e 2)，则 无解；1 ，1 0，) 1， 2 2，)选项 C 中，设 e1e 2( e1e 2)，则 无解；选项 D 中，e 13e 2 (6e22e 1)，所以两向量是共线向 1，1 ，) 12量4设向量 a(1，3)，b(2，4) ，若表示向量
3、 4a，3b2a，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c 为( )A(1，1) B(1，1)C(4，6) D(4 ，6)答案 D解析 由题知 4a(4，12)，3b2a(6，12) (2，6)(8，18)，由 4a(3 b2a)c0，知c(4， 6)，选 D.5(2018河北唐山一模)在 ABC 中，B 90， (1 ，2)， (3，)，则 ( )AB AC A1 B1C. D432答案 A解析 在ABC 中， (1，2) ， (3，) ， (2，2) 又B 90，AB AC BC AC AB ， 0，即 22(2) 0，解得 1.故选 A.AB BC AB BC 6(2018湖北襄阳
4、模拟)设向量 a(m，2)，b(1，m1)，且 a 与 b 的方向相反，则实数 m 的值为( )A2 B1C2 或 1 Dm 的值不存在答案 A解析 向量 a(m，2)，b (1，m 1) ，因为 ab，所以 m(m1) 21，解得 m2 或 1.当 m1 时，a(1，2) ，b(1 ，2)，a 与 b 的方向相同，舍去；当 m2 时，a(2，2) ，b(1，1)，a 与 b 的方向相反，符合题意故选 A.7在ABCD 中，若 (3 ，7)， (2，3) ，对角线交点为 O，则 等于( )AD AB CO A( ，5) B( ，5)12 12C( ，5) D( ，5)12 12答案 B解析 (
5、 ) (1，10) ( ，5)CO 12AC 12AD AB 12 128(2018湖北襄樊一模)已知 (1，3)， (2 ，1)， (k 1，k2)，若 A，B，C 三点不能构成OA OB OC 三角形，则实数 k 应满足的条件是( )Ak2 Bk12Ck1 Dk1答案 C解析 若点 A，B，C 不能构成三角形，则向量 与 共线. 因为 (2，1)(1，3)AB AC AB OB OA (1，2)， (k1，k2) (1，3) (k， k1)所以 1(k1)2k0，解得 k1，故选 C.AC OC OA 9在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量 a， b，其中 a(3，1)，b(1 ，3
6、)若OA OB ab，且 01，则 C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是 ( )OC 答案 A解析 由题意知 (3 ，3)，取特殊值，0， 0，知所求区域包含原点，取 0，1，知所OC 求区域包含(1，3)，从而选 A.10(2017安徽合肥一模)已知 a(1，3)，b( 2，k)，且(a2b) (3ab)，则实数 k_答案 6解析 a(1，3)，b( 2，k) ， a2b( 3，32k) ，3ab(5，9k)(a2b) (3ab)， 3(9k) 5(3 2k) 0，解得 k6.11已知梯形 ABCD，其中 ABCD，且 DC2AB ，三个顶点 A(1，2)，B(2，1) ，C(4，2)
7、，则点 D 的坐标为_答案 (2，4)解析 在梯形 ABCD 中，DC2AB， 2 .DC AB 设点 D 的坐标为(x，y)，则 (4 ，2)(x ，y)(4x，2y) ， (2，1)(1 ，2)(1，1)，DC AB (4x，2y)2(1，1) ，即(4 x，2y)(2，2) ， 解得4 x 2，2 y 2，) x 2，y 4，)故点 D 的坐标为(2，4)12已知 A( 3，0) ，B(0， )，O 为坐标原点，C 在第二象限，且AOC30， ，则实数3 OC OA OB 的值为_答案 1解析 由题意知 (3，0) ， (0， )，则 (3， )OA OB 3 OC 3由AOC30知以
8、x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为 150，tan150 ，即 ，1.3 3 33 3313(2018河北联盟二模)已知点 A(1，0)，B(1， )，点 C 在第二象限，且AOC150， 4 3 OC OA ，则 _OB 答案 1解析 点 A(1，0) ，B(1， )，点 C 在第二象限， 4 ，C(4， )AOC150，3 OC OA OB 3COx150 ，tan150 ，解得 1.3 4 3314已知| | 1，| | ， 0，点 C 在AOB 内，且AOC30.设OA OB 3 OA OB m n (m，nR)，则 _OC OA OB mn答案 3解析 方法一：如图所示，
9、 0， .OA OB OB OA 不妨设| |2，过 C 作 于 D， 于 E，则四边形 ODCE 是矩形OC CD OA CE OB .OC OD DC OD OE | |2，COD30，| |1，| | .OC DC OD 3又| | ，| |1，OB 3 OA 故 ， .OD 3OA OE 33OB ，此时 m ，n .OC 3OA 33OB 3 33 3.mn 333方法二：由 0 知AOB 为直角三角形，以 OA，OB 所在直线分别为 x，y 轴建立平面OA OB 直角坐标系，则可知 (1，0) ， (0， )又由 m n ，可知 (m， n)，OA OB 3 OC OA OB OC
10、 3故由 tan30 ，可知 3.3nm 33 mn15(2018湖南长沙一模)在矩形 ABCD 中，AB3，AD2，P 是矩形内部一点(不含边界) ，且 AP1.若x y ，则 3x2y 的取值范围是_AP AB AD 答案 (1， 2解析 在矩形 ABCD 中，AB3，AD2，如图，以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0，0) ，B(3，0)，D(0 ，2)， xAP y x(3，0)y(0 ，2) (3x，2y)AB AD | |1， (3x)2(2y) 21.令 3xcos ，2ysin ， (0， )，则 3x2ycos s
11、in sin( )，AP 2 2 4 ， sin( )1，4 434 22 413x2y ，即 3x2y 的取值范围是(1， 2 216已知 A，B，C 三点的坐标分别为 (1，0)，(3 ，1)，(1，2)，并且 ， .AE 13AC BF 13BC (1)求 E， F 的坐标；(2)求证： .EF AB 答案 (1)E( ， )，F( ，0) (2) 略13 23 73解析 (1)设 E，F 两点的坐标分别为 (x1，y 1)，(x 2，y 2)，则依题意，得 (2 ，2)， (2，3)，AC BC (4，1)AB ( ， )， ( ，1)AE 13AC 23 23 BF 13BC 23
12、(x 1，y 1)( 1，0)( ， )，AE 23 23(x 2，y 2) (3，1)( ，1)BF 23(x1，y 1)( ， )(1，0)( ， )，23 23 13 23(x2，y 2)( ，1)(3，1)( ，0)23 73E 的坐标为( ， )，F 的坐标为( ，0)13 23 73(2)由(1)知(x 1，y 1)( ， )，(x 2，y 2)( ，0) 13 23 73 (x 2，y 2)(x 1，y 1)( ， )EF 83 23又 (4，1)，AB 4( )(1) 0，23 83 .EF AB 17已知向量 a(sin，cos2sin)，b(1 ，2)(1)若 a b，求
13、tan 的值；(2)若|a|b|，0 ，求 的值答案 (1) (2) 或14 2 34解析 (1)因为 a b，所以 2sincos 2sin ，于是 4sincos ，故 tan .14(2)由|a|b|知，sin 2(cos2sin) 25，所以12sin24sin 25.从而2sin22(1 cos2) 4，即 sin2cos2 1，于是 sin(2 ) .4 22又由 0 知， 2 ，所以 2 或 2 .4 494 4 54 4 74因此 或 .2 3418(2018潍坊二模)已知向量 (6，1) ， (x ，y)， ( 2，3)AB BC CD (1)若 ，求 x 与 y 之间的关系
14、式；BC DA (2)在(1)的条件下，若 ，求 x，y 的值及四边形 ABCD 的面积AC BD 答案 (1)x2y0(2)x6，y3，S 四边形 ABCD16解析 (1) (x 4，y2)，AD AB BC CD (x4，2y)DA AD 又 且 (x，y)，BC DA BC x(2y) y( x4) 0，即 x2y0.(2)由于 (x6，y1)，AC AB BC (x2，y3)，BD BC CD 又 ，AC BD 0，AC BD 即(x6)(x 2)(y1)(y 3)0.联立，化简得 y22y30.解得 y3 或 y1.故当 y3 时，x6，此时 (0，4)， (8，0) ，AC BD
15、当 y1 时，x2.此时 (8，0)， (0，4) AC BD S 四边形 ABCD | | |16.12AC BD 1(2018西安一模)已知向量 a(m1，2)，b(3，m4)，若 ab，且方向相反，则|b|( )A. B.5 10C3 D25 10答案 B思路 本题需要先利用向量共线定理(或利用向量的坐标运算) ，求出参数 m 的值( 注意向量 a，b 方向相反)，再根据向量模的计算公式进行求解解析 方法一：依题意可设 atb(t0) ，则(m1，2) t(3，m4)，所以 解得m 1 3t，2 t（m 4），) t 2，m 5.)从而 b(3，1)，所以|b| .故选 B.10方法二：
16、因为 ab，所以(m1)(m4)60，解得 m5 或 m2.根据向量 a，b 方向相反可知，m 5 符合题意从而 b(3，1)，所以|b| .故选 B.102在平面直角坐标系中，点 O(0，0) ，P(6，8)，将向量 绕点 O 按逆时针方向旋转 后得向量 ，则点OP 34 OQ Q 的坐标是( )A(7 ， ) B(7 ， )2 2 2 2C(4 ，2) D( 4 ，2)6 6答案 A解析 设 与 x 轴正半轴的夹角为 ，则 cos ，sin ，则由三角函数定义，可得 (| |cos( )，OP 35 45 OQ OP 34| |sin( )OP 34| |cos( ) (coscos si
17、nsin )10 ( ) 7 ，OP 34 62 82 34 34 35 22 45 22 2| |sin( ) (sincos cos sin )10 ( ) ，OP 34 62 82 34 34 45 22 35 22 2 (7 ， )，OQ 2 2即点 Q 的坐标为(7 ， )2 23(2018吉林普通高中二模) 在等腰直角三角形 ABC 中， ACBC ，点 D 在 AB 边上且满足 t (1t)CD CA .若ACD 60，则 t 的值为( )CB A. B. 13 12 3C. D.3 22 3 12答案 A解析 t (1 t) ，A ，B，D 三点共线CD CA CB 由题意建立
18、如图所示的直角坐标系，设 ACBC1，则 C(0，0)，A(1，0) ，B(0，1)直线 AB 的方程为 xy1，直线 CD 的方程为 y x，联立解得3x ，y ，D( ， )， ( ， ) (1，0)， (0，1) ，3 12 3 32 3 12 3 32 CD 3 12 3 32 CA CB t (1t) (t，1t)，( ， )(t ，1t) ，解得 t .故选 A.CA CB 3 12 3 32 3 124与直线 3x4y50 的方向向量共线的一个单位向量是( )A(3，4) B(4，3)C( ， ) D( ， )35 45 45 35答案 D5若平面向量 a，b 满足|a b|1，ab 平行于 x 轴，b (2 ，1)，则 a_答案 (1，1)或( 3，1)解析 设 a(x，y)，b(2，1)，则 ab(x 2，y1) ， ab 平行于 x 轴，y10，y1，故ab(x2，0)，又|ab |1，|x 2|1，x1 或 x3， a( 1，1)或 a(3，1)
