高考分类题库5考点36 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用.doc

1、温 馨 提 示 ：此 题 库 为 Word 版 ， 请 按 住 Ctrl,滑 动 鼠 标 滚 轴 ， 调 节 合 适 的 观看 比 例 ， 关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块 。 考 点 36 曲 线 与 方 程 、 圆 锥 曲 线 的 综 合 应 用一 、 解 答 题1.(2016全 国 卷 高 考 理 科 T20)设 圆 x2+y2+2x-15=0 的 圆 心 为 A,直 线 过 点 B(1,0)且 与 x 轴 不l重 合 , 交 圆 A 于 C,D 两 点 ,过 B 作 AC 的 平 行 线 交 AD 于 点 E.l(1)证 明 |EA|+|EB|为 定 值 ,并 写 出 点

2、E 的 轨 迹 方 程 .(2)设 点 E 的 轨 迹 为 曲 线 C1,直 线 交 C1 于 M,N 两 点 ,过 B 且 与 垂 直 的 直 线 与 圆 A 交 于 P,Q 两l l点 ,求 四 边 形 MPNQ 面 积 的 取 值 范 围 .【 解 析 】 (1)圆 A 整 理 为 (x+1)2+y2=16,点 A 坐 标 为 (-1,0),如 图 , BE AC,则 ACB= EBD,由 |AC|=|AD|,则 ADC= ACD, EBD= EDB,则 |EB|=|ED|, |AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.所 以 E 的 轨 迹 为 一 个 椭 圆 ,方 程 为

3、+ =1(y 0);2x3(2)C1: + =1;设 :x=my+1,2x4y3l因 为 PQ ,设 PQ:y=-m(x-1),联 立 与 椭 圆 C1,l l得 (3m2+4)y2+6my-9=0;2xy1,4则 |MN|= |yM-yN|2= = ;2236m4121m3圆 心 A 到 PQ 距 离 d= = ,2m12所 以 |PQ|=2 =2| 2461= ,243m1 SMPNQ= |MN|PQ|= = =24 12,8 ).21222m4331 2m12332.(2016全 国 卷 高 考 文 科 T20)在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ,直 线 :y=t(t 0)交 y 轴

4、于 点 M,交 抛 物 线lC:y2=2px(p0)于 点 P,M 关 于 点 P 的 对 称 点 为 N,连 接 ON 并 延 长 交 C 于 点 H.(1)求 .OHN(2)除 H 以 外 ,直 线 MH 与 C 是 否 有 其 他 公 共 点 ?说 明 理 由 .【 解 析 】 (1)由 已 知 得 M(0,t),P ,又 N 为 M 关 于 点 P 的 对 称 点 ,故 N ,故 直 线2tp 2tpON 的 方 程 为 y= x,将 其 代 入 y2=2px 整 理 得 px2-2t2x=0,解 得 x1=0,x2= ,因 此 H ,ptt2t所 以 N 为 OH 的 中 点 ,即

5、=2.N(2)直 线 MH 与 C 除 H 以 外 没 有 其 他 公 共 点 .理 由 如 下 :直 线 MH 的 方 程 为 y-t= x,即 x= (y-t).代 入 y2=2px 得 y2-4ty+4t2=0,解 得 y1=y2=2t,即 直 线p2MH 与 C 只 有 一 个 公 共 点 ,所 以 除 H 以 外 ,直 线 MH 与 C 没 有 其 他 公 共 点 .3.(2016全 国 卷 理 科 T20)(本 小 题 满 分 12 分 )已 知 抛 物 线 C:y2=2x 的 焦 点 为 F,平 行 于 x 轴 的 两 条 直 线 l1,l2 分 别 交 C 于 A,B 两 点

6、,交 C 的 准 线于 P,Q 两 点 .(1)若 F 在 线 段 AB 上 ,R 是 PQ 的 中 点 ,证 明 :AR FQ.(2)若 PQF 的 面 积 是 ABF 的 面 积 的 两 倍 ,求 AB 中 点 的 轨 迹 方 程 .【 解 析 】 (1)由 题 意 可 知 F ,设 l1:y=a,l2:y=b 且 ab 0,A ,B022a2b,P ,Q ,R ,a2bab,记 过 A,B 两 点 的 直 线 方 程 为 l,由 点 A,B 可 得 直 线 方 程 为 2x-(a+b)y+ab=0,因 为 点 F 在 线 段 AB 上 ,所 以 ab+1=0,记 直 线 AR 的 斜 率

7、 为 k1,直 线 FQ 的 斜 率 为 k2,所 以 k1= ,k2= =-b,又 因 为 ab+1=0,ab所 以 k1= ,所 以 k1=k2,即 AR FQ.21aa(2)设 直 线 AB 与 x 轴 的 交 点 为 D ,1x0所 以 S ABF= ,bb222又 S PQF= ,a所 以 由 题 意 可 得 S PQF=2S ABF 即 : =2 a1,1x2ab解 得 x1=0(舍 )或 x1=1.设 满 足 条 件 的 AB 的 中 点 为 E(x,y).当 AB 与 x 轴 不 垂 直 时 ,由 kAB=kDE 可 得 (x 1).而 ,所 以 y2=x-1(x 1).2ya

8、b21ab当 AB 与 x 轴 垂 直 时 ,E 与 D 重 合 ,所 以 ,所 求 轨 迹 方 程 为 y2=x-1.4.(2016全 国 卷 文 科 T20)(本 小 题 满 分 12 分 )已 知 抛 物 线 C:y2=2x 的 焦 点 为 F,平 行 于 x 轴 的 两 条 直 线 l1,l2 分 别 交 C 于 A,B 两 点 ,交 C 的 准 线于 P,Q 两 点 .(1)若 F 在 线 段 AB 上 ,R 是 PQ 的 中 点 ,证 明 :AR FQ.(2)若 PQF 的 面 积 是 ABF 的 面 积 的 两 倍 ,求 AB 中 点 的 轨 迹 方 程 .【 解 析 】 (1)

9、由 题 意 知 F .设 l1:y=a,l2:y=b,且 ab 0,则,02A ,B ,P ,Q ,2a2baR .1,记 过 A,B 两 点 的 直 线 方 程 为 l,则 l 的 直 线 方 程 为 2x-(a+b)y+ab=0.由 于 F 在 线 段 AB 上 ,故 1+ab=0.记 直 线 AR 的 斜 率 为 k1,FQ 的 斜 率 为 k2,则k1= .22ab-ba所 以 AR FQ.(2)设 l 与 x 轴 的 交 点 为 D(x1,0),则 S ABF= ,S PQF= .11baba22ab2由 题 设 可 得 2 .所 以 x1=0(舍 去 )或 x1=1.1x设 满 足

10、 条 件 的 AB 的 中 点 为 E(x,y).当 AB 与 x 轴 不 垂 直 时 ,由 kAB=kDE 可 得 (x 1).而 =y,所 以 y2=x-1(x 1).2yabab2当 AB 与 x 轴 垂 直 时 ,E 与 D(1,0)重 合 ,所 以 ,所 求 轨 迹 方 程 为 y2=x-1.5.(2016四 川 高 考 文 科 T20)已 知 椭 圆 E: =1(ab0)的 一 个 焦 点 与 短 轴 的 两 个 端 点 是 正2xy三 角 形 的 三 个 顶 点 ,点 P 在 椭 圆 E 上 .1 3,(1)求 椭 圆 E 的 方 程 .(2)设 不 过 原 点 O 且 斜 率

11、为 的 直 线 l 与 椭 圆 E 交 于 不 同 的 两 点 A,B,线 段 AB 的 中 点 为 M,直 线12OM 与 椭 圆 E 交 于 C,D,证 明 :|MA|MB|=|MC|MD|.【 解 题 指 南 】 (1)利 用 点 在 椭 圆 上 ,列 出 方 程 ,解 出 b 的 值 ,从 而 得 到 椭 圆 的 标 准 方 程 .(2)利 用 椭圆 的 几 何 性 质 ,数 形 结 合 ,利 用 根 与 系 数 的 关 系 ,进 行 计 算 .【 解 析 】 (1)由 已 知 ,a=2b,又 椭 圆 =1(ab0)过 点 P ,故 =1,解 得 b2=1,2xy1 3224b所 以

12、椭 圆 的 方 程 为 +y2=1.x4(2)设 直 线 l 的 方 程 为 y= x+m ,A ,B ,01xy2由 方 程 组 得 x2+2mx+2m2-2=0,2x1,4y方 程 的 判 别 式 为 =4 ,由 0,即 2-m20,解 得 - 0).(1)若 直 线 l 过 抛 物 线 C 的 焦 点 ,求 抛 物 线 C 的 方 程 .(2)已 知 抛 物 线 C 上 存 在 关 于 直 线 l 对 称 的 相 异 两 点 P 和 Q. 求 证 :线 段 PQ 的 中 点 坐 标 为 (2-p,-p); 求 p 的 取 值 范 围 .【 解 题 指 南 】 (1)求 出 直 线 与 x

13、 轴 的 交 点 坐 标 可 得 p 的 值 .(2)利 用 对 称 知 识 及 PQ 的 中 点 坐 标 构 造 关 于 y 的 一 元 二 次 方 程 ,利 用 判 别 式 大 于 零 求 解 .【 解 析 】 (1)因 为 l:x-y-2=0,所 以 l 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 (2,0),即 抛 物 线 的 焦 点 为 (2,0),所 以 =2,所 以 y2=8x.p(2) 设 点 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 则21ypx12,py,kPQ= ,又 因 为 P,Q 关 于 直 线 l 对 称 ,1212yyp所 以 kPQ=-1,即 y1+y2=-2p,所 以 =-p,又 因 为 P,Q 的 中 点 一 定 在 直 线 l 上 ,2y所 以 +2=2-p,11xy所 以 线 段 PQ 的 中 点 坐 标 为 (2-p,-p). 为 中 点 坐 标 为 (2-p,-p),即1221y,yx4,p122yp,84所 以 即 方 程 y2+2py+4p2-4p=0 有 两 个 不 等 实 根 .12,y所 以 0,(2p)2-4(4p2-4p)0p .,3关 闭 Word 文 档 返 回 原 板 块