第9课时 二面角.doc

1、第 9 课时 二面角1(2018皖南八校联考)四棱锥 VABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，其他四个侧面是腰长为 3的等腰三角形，则二面角 V ABC 的余弦值的大小为( )A. B.23 24C. D.73 223答案 B解析 如图所示，取 AB 中点 E，过 V 作底面的垂线，垂足为 O，连接 OE，VE，根据题意可知，VEO 是二面角 VABC 的平面角因为 OE1，VE 232 12，所以 cosVEO ，故选 B.2OEVE 122 242.如图，三棱锥 SABC 中，棱 SA，SB，SC 两两垂直，且 SASB SC，则二面角ABCS 的正切值为( )A1 B.2

2、2C. D22答案 C解析 三棱锥 SABC 中，棱 SA，SB，SC 两两垂直，且 SASBSC， SA平面 SBC，且 ABAC ，如图，取 BC 的中点 D，连接 SD，AD，则 SDBC，AD BC，则SA2 SB2ADS 是二面角 ABCS 的平面角，设 SASBSC1，则 SD ，在 RtADS 中，22tanADS ，故选 C.SASD 122 2另解：以 S 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设 SA1，则SB SC SA S(0，0，0)，A(0，0，1) ，B(1，0，0) ，C(0，1，0)， (0 ，0，1)， (1，0，1)

3、 ， (0，1，1)，SA AB AC 易知 (0，0，1)为平面 SBC 的一个法向量，设 n(x，y，z)为平面 ABC 的法向量，则 即SA nAB 0，nAC 0，)令 z1，则 n(1，1，1) 为平面 ABC 的一个法向量，所以 cos ，n ，故二面角x z 0，y z 0，) SA 33ABCS 的正切值为 .23(2018福州质量检测)三棱锥 ABCD 中，ABC 为等边三角形，AB2 ，BDC90，二面角3ABCD 的大小为 150，则三棱锥 ABCD 的外接球的表面积为( )A7 B12C16 D28答案 D解析 本题考查空间直线与平面的位置关系、球的表面积设球心为 F，

4、过点 A 作 AO平面 BCD，垂足为O，取 BC 的中点 E，连接 AE，OE，EF，则AEO30 ，AE3，AO ，OE ，EC ，外接球球32 332 3心 F 在过 E 且平行于 AO 的直线上，设 FEx，外接球半径为 R，则 R23x 2( )2( x) 2，解得332 32x2，R 27，则外接球的表面积为 4R228，故选 D.4.(2018浙江温州中学模拟)如图，四边形 ABCD，ABBDDA2，BCCD .现将ABD2沿 BD 折起，当二面角 ABDC 处于 ， 的过程中，直线 AB 与 CD 所成角的余弦值的 6 56取值范围是( )A ， B ， 528 28 28 5

5、28C0， D0 ， 28 528答案 D解析 如图所示，取 BD 中点 E，连接 AE，CE，AEC 即为二面角 ABDC 的平面角而 AC2AE 2CE 22AECEcos AEC42 cosAEC，又AEC ， ，36 56AC1， ， 2 cos ， ( )2ABBC 1 7 AB CD 2 AB CD AB BD BC AB2 BC2 AC22ABBC AC22， ，52 12设异面直线 AB，CD 所成的角为 ，0cos ，故选 D.12252 5285.如图，平面 与平面 相交成锐角 ，平面 内的一个圆在平面 上的射影是离心率为 的椭圆，则 _12答案 6解析 如图，经过平面 内

6、圆的圆心作平行于和垂直于二面角的棱的两条直径，则这两条直径在平面 上的射影是椭圆的长轴和短轴，则短轴的延长线和垂直于棱的直径所在直线的夹角为二面角的平面角，记为 .因为 e ，所以 ，故 cos ，解得 .ca 12 ba 32 ba 32 66.(2018甘肃天水一模)已知在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，且AD2，PAAB 1，PA 平面 ABCD，E 是 BC 边上的动点，记二面角 PEDA 的大小为 ，则 tan 的取值范围为_答案 ， 12 52解析 由 A 点作 AOED 于 O，连接 PO，则POA 为二面角的平面角tanPOA .PAOA 1OA又 OA ，2，

7、tan POA ， 255 12 527(2018沧州七校联考)三棱锥 ABCD 的三视图如图所示：则二面角 BADC 的正弦值为_答案 48141解析 如图，把三棱锥 ABCD 放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为 5，3，4，BCD 为直角三角形，直角边分别为 5 和 3，三棱锥 ABCD 的高为 4，建立如图空间直角坐标系，则 B(0，0，0)，A(3 ，0，4)，C(3，5，0)，D(0 ，5，0)， (3，5，4)， (0，5，0)， (3 ，0，0)DA DB DC 设 n1(x 1，y 1，z 1)是平面 ABD 的一个法向量，n 1 ，n 1 .DA DB 3x1 5y1 4

8、z1 0， 5y1 0， ) 3x1 4z1 0，y1 0. )可取 n1(4 ，0 ，3)设 n2(x 2，y 2，z 2)是平面 ADC 的一个法向量，n2 ，n 2 ，DA DC 3x2 5y2 4z2 0，3x2 0， ) 5y2 4z2，x2 0. )可取 n2(0 ，4 ，5)cosn 1，n 2 . 155 41 341sinn 1，n 2 .4241 48241即二面角 BADC 的正弦值为 .482418(2018洛阳第一次统考)如图，四边形 ABEF 和四边形 ABCD 均是直角梯形，FABDAB 90，二面角 FAB D 是直二面角，BEAF ，BC AD，AFABBC

9、2，AD 1.(1)证明：在平面 BCE 上，一定存在过点 C 的直线 l 与直线 DF 平行；(2)求二面角 FCDA 的余弦值答案 (1)略 (2)66解析 (1)由已知得，BE AF， AF平面 AFD，BE平面 AFD，BE平面 AFD.同理可得，BC平面 AFD.又 BEBCB，平面 BCE平面 AFD.设平面 DFC 平面 BCEl，则 l 过点 C.平面 BCE平面 ADF，平面 DFC平面 BCEl ，平面 DFC平面 AFDDF，DFl，即在平面 BCE 上一定存在过点 C 的直线 l，使得 DFl.(2)平面 ABEF平面 ABCD，FA平面 ABEF，平面 ABCD平面

10、ABEFAB，又FAB 90，AF AB， AF平面 ABCD，AD平面 ABCD， AFAD.DAB90，ADAB.以 A 为坐标原点，AD，AB， AF 所在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图由已知得，D(1，0 ，0) ，C(2 ，2，0)，F(0，0，2) ， ( 1，0，2)， (1 ，2，0)DF DC 设平面 DFC 的法向量为 n (x，y，z)，则 nDF 0，nDC 0，) x 2z，x 2y，)不妨取 z1，则 n(2，1 ，1) ，不妨取平面 ACD 的一个法向量为 m(0，0，1) ，cosm，n ，mn|m|n| 16 66由于二面角 FC

11、D A 为锐角，因此二面角 FCD A 的余弦值为 .669(2018安徽合肥二检，理) 如图，在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，点 E 为 AD 的中点，沿 BE 将ABE 折起至PBE，如图所示，点 P 在平面 BCDE 上的射影 O 落在 BE 上(1)求证：BPCE；(2)求二面角 BPC D 的余弦值答案 (1)略 (2) 3311解析 (1)点 P 在平面 BCDE 上的射影 O 落在 BE 上，PO平面 BCDE，POCE，由题意，易知 BECE，又 POBEO，CE平面 PBE，又BP 平面 PBE，BPCE.(2)以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 CD 的直线为

12、x 轴，过点 O 且平行于 BC 的直线为 y 轴，PO 所在的直线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系则 B( ， ，0)，C( ，0)，D( ，0) ，P(0，0， )，12 12 1232 1232 22 (1，0，0)， ( ， ， )， ( ， ， )， (0，2，0)CD CP 12 32 22 PB 12 12 22 BC 设平面 PCD 的法向量为 n1 (x1，y 1，z 1)，则 即 令 z1 ，可得 n1(0 ， )为平面 PCD 的一个法向量n1CD 0，n1CP 0，) x1 0， 12x1 32y1 22z1 0，) 2 23 2设平面 PBC 的法向量为 n2

13、(x 2，y 2，z 2)，则 即 令 z2 ，可得 n2(2，0， )为平面 PBC 的一个法向量n2PB 0，n2BC 0，) x2 y2 2z2 0，y2 0， ) 2 2cosn 1，n 2 ，n1n2|n1|n2| 3311由图可知二面角 BPCD 为钝角，故二面角 BPC D 的余弦值为 .331110(2017山东，理)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD(及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转 120得到的，G 是 的中点DF (1)设 P 是 上的一点，且 APBE ，求CBP 的大小；CE (2)当 AB3， AD2 时，求二面角 EAGC 的大小答案 (1)

14、30 (2)60 解析 (1)因为 APBE，ABBE ，AB，AP平面 ABP， ABAPA，所以 BE平面 ABP.又 BP平面ABP，所以 BEBP.又EBC 120 ，因此CBP30 .(2)方法一：取 的中点 H，连接 EH，GH，CH.因为EBC120，EC 所以四边形 BEHC 为菱形，所以 AEGEACGC .32 22 13取 AG 中点 M，连接 EM，CM，EC，则 EMAG，CMAG，所以EMC 为所求二面角的平面角又 AM1，所以 EMCM 2 .13 1 3在BEC 中，由于 EBC 120 ，由余弦定理得 EC22 22 2 222cos12012，所以 EC2

15、，因此EMC 为等边三角形，3故所求的二面角为 60.方法二：以 B 为坐标原点，分别以 BE，BP，BA 所在的直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得 A(0， 0，3) ，E(2 ，0，0) ，G(1， ，3)，C(1， ，0)，3 3故 (2 ，0，3) ， (1 ， ，0) ， (2，0，3)，设 m(x 1，y 1，z 1)是平面 AEG 的法向量AE AG 3 CG 由 可得mAE 0，mAG 0，) 2x1 3z1 0，x1 3y1 0.)取 z12，可得平面 AEG 的一个法向量 m(3， ，2)3设 n(x 2，y 2， z2)是平面 ACG 的法向量由

16、 可得 取 z22，可得平面 ACG 的一个法向量 n(3 ， ，2)所以nAG 0，nCG 0，) x2 3y2 0，2x2 3z2 0.) 3cosm，n .由图形可知二面角 EAGC 为锐二面角，因此所求的角为 60.mn|m|n| 1211(2017广州综合测试一)如图 ，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC ，BDDC，点 E 是 BC 边的中点，将ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD平面 BCD，连接 AE，AC，DE，得到如图所示的几何体(1)求证：AB 平面 ADC；(2)若 AD1，二面角 CABD 的平面角的正切值为 ，求二面角 BAD E 的余弦值6答案 (1)

17、略 (2)12解析 (1)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，又 BDDC ，所以 DC平面 ABD.因为 AB平面 ABD，所以 DCAB.又折叠前后均有 ADAB，DCADD，所以 AB平面 ADC.(2)由(1)知 AB平面 ADC，所以 ABAC，又 ABAD ，所以二面角 CABD 的平面角为CAD.又 DC平面 ABD，AD平面 ABD，所以 DCAD.依题意 tanCAD .CDAD 6因为 AD1，所以 CD .6设 ABx(x0)，则 BD .x2 1依题意ABDDCB，所以 ，即 .ABAD CDBD x1 6x2 1又 x0，解得 x ，故 AB

18、，BD ，BC 3.2 2 3 BD2 CD2方法一：如图 a 所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，则 D(0，0，0)，B( ，0，0) ，C(0， ，0)，3 6E( ， ，0) ， A( ，0， )，所以 ( ， ，0)， ( ，0， )32 62 33 63 DE 32 62 DA 33 63由(1)知平面 BAD 的一个法向量为 n(0，1，0) 设平面 ADE 的法向量为 m(x，y，z)，由 得mDE 0，mDA 0，) 32x 62y 0，33x 63z 0，)令 x ，得 y ，z ，6 3 3所以 m( ， ， )6 3 3所以 cosn， m .nm|n|m| 12由图可知二面角 BADE 的平面角为锐角，所以二面角 BADE 的余弦值为 .12方法二：因为 DC平面 ABD，过点 E 作 EFDC 交 BD 于 F，如图 b 所示则 EF平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 EFAD.过点 F 作 FGAD 于 G，连接 GE，又 EFFG 于点 F，所以 AD平面 EFG，因此 ADGE.所以二面角 BADE 的平面角为 EGF.由平面几何知识求得，EF CD ， FG AB ，12 62 12 22所以 EG .EF2 FG2 2所以 cosEGF .FGEG 12所以二面角 BADE 的余弦值为 .12