1、第十一章 第 6 讲A 级 基础达标 1如图所示，半径为 3 的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是 ，则阴影部分的面积是( )13A B 3C2 D3【答案】D【解析】设阴影部分的面积为 S，且 圆的面积 S3 29.由几何概型的概率，得 ，则 S3.SS 132在区间2,3上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为 ( )A B 35 25C D23 13【答案】A【解析】总体长度为 5，使得 “X1”的长度为 3，故 P(X1) .353(2017 年东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中 AB2，BC 1，则质
2、点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( )A B 2 4C D6 8【答案】B【解析】设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A，则 P(A) .阴 影 面 积长 方 形 面 积 121212 44已知ABC 中，ABC 60，AB2，BC 6，在 BC 上任取一点 D，则使ABD为钝角三角形的概率为( )A B 16 13C D12 23【答案】C【解析】如图，当 BE1 时，AEB 为直角， 则点 D 在线段 BE(不包含 B，E 点)上时，ABD 为钝角三角形；当 BF4 时， BAF 为直角，则点 D 在线段 CF(不包含 C，F 点)上时，ABD 为钝角三角形所以 ABD 为钝角
3、三角形的概率为 .1 26 125设不等式组Error!表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( )A B 4 22C D6 4 4【答案】D【解析】如图所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D，且区域 D 的面积为 4，而阴影部分表示的是区域 D 内到原点距离大于 2 的区域，易知该阴影部分的面积为4 ，因此 满足条件的概率是 .故选 D4 46由不等式组Error!确定的平面区域记为 1，不等式组Error! 确定的平面区域记为2，在 1 中随机取一点，则该点恰好在 2 内的概率为( )A B 18 14C D34 78【
4、答案】D【解析】如图，由题意知平面区域 1 的面积 S1S AOM 222. 1 与 2 的公共12区域为阴影部分，面积 S 阴 S1S ABC2 1 .所以所求概率 P .12 12 74 S阴S1 742 787如图，在边长为 e(e 为自然对数的底数 )的正方形中随机撒一粒大小可以忽略不计的黄豆，则它落到阴影部分的概率为_【答案】2e2【解析】ye x与 yln x 互为反函数， 直线 yx 两侧的阴影部分面积相等，S 阴 2(ee x)dx2(ex e x)Error! 2.又 S 正方形 e 2，所求概率 P .10 S阴S正 方 形 2e28如图所示，在长方体 ABCDA 1B1C
5、1D1 中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥 AA 1BD 内的概率为_【答案】16【解析】因为 VAA 1BDVA 1ABD AA1SABD AA1S 矩形 ABCD V 长方体 ，13 16 16故所求概率为 .VA A1BDV长 方 体 169已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1的小球 1 个，标号为 2 的小球 n 个若从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概率是 .12(1)求 n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取出的小球标号为 b，若在区间0,2内任取
6、 2 个实数 x，y，求事件“x 2y 2(ab) 2 恒成立”的概率【解析】(1)依题意共有小球 n2 个，标号为 2 的小球 n 个，从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球概率 为 ，得 n2.nn 2 12(2)(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为 ( x，y)|0 x 2,0y 2，x，yR(ab) 2 的最大值为 4，要使 x2y 2( ab) 2 恒成立，则x2y 24，构成的区域是半径为 2 的圆的 .由几何概型得概率 P 1 .14 22 142222 4B 组 能力提升10如图所示， “天宫一号”运行的轨迹是两个类同心圆，小圆的半径为 2
7、 km，大圆的半径为 4 km，卫星 P 在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，点 P 与点 O 的距离小于 3 km 的概率为( )A B 112 512C D13 15【答案】B【解析】根据几何概型公式，小于 3 km 的圆环面积为 (322 2)5；圆环总面积为(422 2)12 ，所以点 P 与点 O 的距离小于 3 km 的概率 P .512 51211已知平面区域 D(x，y)|1x1，1y 1 ，在区域 D 内任取一点，则取到的点位于直线 ykx( kR)下方的概率为( )A B 12 13C D23 34【答案】A【解析】由题设知，区域 D 是以原点为中心的正方形，根据图形的对
8、称性知，直 线ykx 将其面 积 平分，如图，故所求概率为 .1212(2017 年延边模拟)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为( )A B 14 13C D12 32【答案】C【解析】如图，BCD 是圆内接等边三角形，过直径 BE 上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为 2，则等边三角形 BCD 的内切圆的半径为 1，要使弦 长大于 CD 的长，必须使圆心 O 到弦的距离小于|OF |.记事件 A 弦长超过圆内接等边三角形的边长 弦中点在内切圆内，由几何概型概率公式得 P(A) .24 1213在区间2,3上任取一个数 a，则函数 f
9、(x) x3ax 2(a2) x 有极值的概率为13_【答案】25【解析】依题意2a3，对应 的区间长度为 3(2) 5.若 f(x) x3ax 2(a2) x13有极值，则 f(x )x 22ax( a2) 0 有两个不同的根，即判别式 4a 24(a2)0，解得 a2 或 a1，2a 1 或 2a3，则对应的区间长 度为1( 2)32112，由几何概型的概率公式可得对应的概率 P .2514已知关于 x 的二次函数 f(x)b 2x2(a1) x1.(1)若 a，b 分别表示将一质地均匀的正方体骰子( 六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求
10、yf (x)恰有一个零点的概率；(2)若 a，b1,6，求满足 yf(x)有零点的概率【解析】(1)设(a，b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有 6636个用 A 表示事件“y f(x )恰有一个零点 ”，即 (a1) 24b 20，则 a12b.则 A 包含的基本事件有(1,1)，(3,2)， (5,3)，共 3 个，所以 P(A) ，即事件“yf (x)恰有一个零点”的概率为 .336 112 112(2)用 B 表示事件“yf(x )有零点” ，即 a12b.试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|1a6,1b6，构成事件 B 的区域为( a，b)|1a6,1b6， a2b10，如图所示，所以所求的概率为 P(B) .1255255 14
